淺談高中立體幾何的學習

在我從教8年的時間中，我對立體幾何有著濃厚的興趣，自然研究的也多，立體幾何的研究對象是立體圖形，它是平面圖形的延伸和拓展，是中學數學的一個飛躍，同時還是學生學習的難點。作為初學立體幾何的同學，就需要特別注意圖形的學習和運用，對立體幾何中的一些基本圖形要了如指掌，一些基本圖形，如正方體與四面體等，其特有的數量關系和位置為大多數學生所熟悉。如果掌握這些基本圖形，那么，我們就會發現，有相當多的題目實際上就是以這些圖形為背景的，我們完全可以從基本圖形中進行聯想，從而學好立體幾何。值得一提的是，在近幾年的高考中，也有相當一部分題目，就是這些基本圖形中進行命題的。立體幾何要求同學們有較強的空間想象能力。當然也要能把立體圖形畫到平面上。

興趣是最好的老師。要學好立體幾何必須讓同學們感興趣，多想像，把空間圖形在腦子里想象出來，所以我每次上課都舉一些生活中的實例激發同學們的興趣，在第一節幾何課上我記得我提出這樣一個問題，“一個有四個角的桌子，砍掉一個角，還剩幾個角?”一個學生不假思索的大聲說：“還剩三個角!”另一個學生立馬提出反駁說：“不對，應該有五個角。”說完心中還會為沒有受到表面的迷惑而沾沾自喜。結果仍然不對!其他的學生都在想著，回答著，六個，七個，八個等等，結果都不對，原因在于缺乏整體意識!桌子所剩角的個數，會受到所切位置的影響!因此應該分類討論!合理恰當的分類是正確解決問題的開始，是從整體考慮問題的具體體現。根據需要將研究對象進行分類，然后對劃分的每一類分別求解，綜合后得到一個完整的答案，說完這些，同學們都恍然大悟，怪自己太盲目。從而也激起了同學們學習的興趣。

其實立體幾何的題型不多，很容易掌握，常考的題型有：點到線的距離。線到線的距離，線面角，二面角，求體積，面積等問題。

在教學方面我采用

一、變式教學，培養學生抽象意識

抽象是數學及一切理論科學的共同特點，科學抽象是理性思維的一種。抽象意識是指學生通過學習數學養成的一種思維習慣：不迷戀于事物的表面現象，自覺的從本質上看問題：自覺的把適當的問題抽象概括出數學模型，轉化為數學問題。

變式是指變換問題的條件和結論，變換問題的形式，而問題的實質不變，以便從不同的角度、不同的方面來說明問題的實質，使本質的東西更全面、更突出的顯露出來。這個不斷的尋找問題本質的過程就是抽象的過程。

例如：已知兩條直線a、b交于點P，所成角為50°，則過點P與a、b所成角都是30°的直線有且僅有____條。

學生利用手里的三支筆，很快就可以擺出圖形，得到答案是兩條。

再問：如果將結論中的30°改成其它的角度，會不會影響結論呢?

很快有人回答“會影響結論，因為如果改成90°，滿足題意的直線就只有一條了。”經過同學們的相互補充總結出：過點P與直線a、b所成角相等且在范圍(0，25°)的直線不存在，所成角都是25°的直線有一條，所成角相等且在范圍(25°，65°)的直線有兩條，所成角都是65°的直線有三條，所成角相等且在范圍(65°，90°)的直線有四條，所成角都是90°的直線有且僅有一條。

至此，我們由一個簡單的題目出發，不斷的改變它的條件，逐漸的發現了它的一般化命題，這種由特殊到一般的過程就是抽象的過程，實際上也是發現問題本質的過程通過改變問題呈現的形式，最終準確的發現問題的本質。是數學對思維的一個最直接的影響。

二、探究方法，培養創新意識

創造性思維是指：在分析問題和解決問題過程中。能廣泛的深刻的進行思維，發現和解決自己或別人所未發現或未解決的問題。創造性的特征是：探索，進攻，突破。創新。因此，一個具有創造性思維的人也就具有了創新意識。

立體幾何來源于生活，教師有目的的針對某一問題，提出幾個探案的方向和要求，讓學生進行觀察、試驗、分析、比較、綜合、整理，使之條理化、系統化，再給出證明，這個過程就是探究的一種形式。

常見問題(俗稱墻角問題)：觀察(長方體形狀的)教室的一個墻角，看到三個互相垂直的平面。作一個截面可得一個四面體，這個四面體有三個面為直角三角形。請問：另一個面是什么三角形?其所對頂點的射影落在什么位置?你還能發現哪些性質?

這個問題與學生離的很近，容易引起學生的興趣。教師走下講臺。與同學們一起討論。不時提醒同學所猜想的結論可能出現的問題，將一些同學的發現公之于眾，以引起更大范圍的猜想，并提醒同學對認為錯誤的猜想舉出反例，認為正確的猜想給出證明。同學們的猜想五花八門。

推理意識包括歸納、類比、演繹推理的自覺意識，培養學生的推理意識就是使學生養成落筆有據，言之有理的習慣。立體幾何教學的重點就包括使學生掌握演繹推理的基本思想。另外教學中對于歸納推理和類比推理也要給與充分的重視，這兩種推理具有發現新知識、新結論的功能，對鍛煉思維的靈活性很有好處，但要特別注意，歸納類比的結論不一定正確，必須經過嚴格的證明才能確信。

以上兩，最是我在教學中常采用的方法，針對立體幾何與平面幾何的關系，依據立體幾何的直觀模型精心選擇內容，適當選擇教學的方式，就可以使問題簡單化，知識系統化，同時體現立體幾何獨特的思維方式。

在同學們做題方法上我建議同學們善于采用向量法。傳統方法解決立體幾何問題，通常都必須添加輔助線，并且要經過各種手段進行轉化，它具有較大的靈活性，學生掌握起來比較困難。空間向量的引入，給傳統的立體幾何內容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有圖形的直觀性，又有代數推理的嚴密性，是數形結合的一個很好的橋梁。而空間向量是處理空間問題的重要方法，通過將空間元素問的位置關系轉化為數量關系。將過去的形式邏輯證明轉化為數值計算，化繁難為簡易，化復雜為簡單，為學生處理某些立體幾何問題提供了的新視角。借助空間向量這一工具，可以降低思維難度，增加了可操作性，從而減輕了學生負擔，使他們對立體幾何更容易產生興趣。

由上述的解答，可以看到傳統方法解決立體幾何問題，過程、圖形都比較復雜，特別是第(II)問。而用向量解答目標明確，在未計算之前，就已經知道結果了，證明的過程只是計算驗證，通過空間直角坐標系，把復雜的幾何證明轉化為簡單的代數計算，學生對于代數運算較熟悉。避免了傳統方法造成邏輯推理上的不便和由于輔助線的添加造成圖形的復雜化等問題，相比傳統方法更容易接受和掌握。因此，空間向量是處理立體幾何問題的強有力工具。

對于常見的正方體、長方體、正棱柱、正棱錐，由于容易建立空間直角坐標系和確定坐標，以算代證的優勢更容易體現。培養和發展學生的邏輯思維能力是教學立體幾何的重要任務，因此，傳統的方法也不能放棄，應注重二者的有機結合，使之相互呼應，相得益彰。

以上就是我對立體幾何學習的淺顯認識，有不當之處還請各位專家多多指教。