平面幾何中定值問題的探究

〔關(guān)鍵詞〕 平面幾何;定值問題;不變量

〔中圖分類號(hào)〕 G633.63〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463(2010)11(A)—0047—01

平面幾何中的定值問題實(shí)質(zhì)就是研究運(yùn)動(dòng)圖形中不變量的問題，由于圖形在運(yùn)動(dòng)，所以給問題的解決帶來(lái)了較大的困難.下面通過一個(gè)具體題目給出探究平面幾何中定值問題的常用方法.

【題目】等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離和為定值.

已知:如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一點(diǎn)，PR⊥AB，PQ⊥AC，BD⊥AC，垂足分別為R、Q、D.

求證:PQ+PR為定值.

分析:因?yàn)镻是BC上任意一點(diǎn)(即P是動(dòng)點(diǎn))，所以當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B的位置時(shí)，R和Q也隨之分別運(yùn)動(dòng)到B和D的位置，此時(shí)PR=0，PQ=BD，由此猜想BD就是所要求的定值.

下面我們證明這個(gè)猜想是正確的.

解法一截長(zhǎng)、補(bǔ)短法

證明1:如圖2所示，在BD上截取HD=PQ，連接PH.

∵PQ⊥AC，BD⊥AC，∴ PQ∥BD，即PQ∥HD.

∴四邊形HPQD是平行四邊形.

∵∠BDQ=90°，即∠HDQ=90°，∴平行四邊形HPQD是矩形.∴ ∠PHB=90°.

∴ HP∥AC，∴∠HPB=∠C.

但由AB=AC知∠C=∠ABC， ∴∠HPB=∠ABC，

即∠HPB=∠RBP.

∵ BP=PB，∴ Rt△BHP≌Rt△PRB(AAS).

∴ BH=PR， ∴ PQ+PR=HD+BH=BD.

證明2:如圖3所示，延長(zhǎng)QP到S，使PS=PR，連接BS.

∵ AB=AC，∴ ∠BPR=90°-∠ABC=90°-∠C.①

同理，由PQ⊥AC可得，∠CPQ=90°-∠C.②

而∠CPQ=∠BPS.③

綜合①、②、③得∠BPR=∠BPS.

∵ BP=BP，∴ △BPR≌△BPS(SAS).

∴ ∠BRP=∠BSP=90°.

又∵ PQ⊥AC、BD⊥AC，∴ ∠1=∠2=90°.

∴四邊形BSQD是矩形.

∴ SQ=BD，即SP+SQ=BD，亦即PR+PQ=BD.

解法二 三角形面積法

證明3:如圖4所示，連接AP，則S△ABC=S△ABP+

S△ACP=AB#8226;PR+AC#8226;PQ.

∵ AB=AC，∴ S△ABC= AC(PR+PQ).①

而△ABC的面積還可被表示成

S△ABC= AC#8226;BD.②

比較①、②可得PR+PQ=BD.

解法三 三角函數(shù)法

證明4:如圖5所示，設(shè)∠C=α，BC=a，PC=x(0≤x≤a)，則PB=a-x.

∵PR⊥AB、PQ⊥AC、BD⊥AC，∴△BPR、△CPQ和△CBD皆為Rt△.

由AB=AC知∠C=∠ABC=α，∴∠RBP=α.

在Rt△CPQ中，由sinC=知PQ=PC#8226;sinC=x#8226;sinα.

同理，在Rt△BPR中，PR=PB#8226;sin∠RBP=(a-x)#8226;sinα;在Rt△CBD中，BD=BC#8226; sinC=a#8226;sinα.

∴ PQ+PR=x#8226;sinα+(a-x)#8226;sinα=BD.

從上述探究過程可得出:幾何中的定值問題，在定值沒有明確地被給出時(shí)，可通過取特殊位置先猜想出定值，然后不失一般性地證明猜想的正確性即可.這是解決平面幾何中定值問題的常用方法之一.