《盜夢空間》中的數學

好萊塢大片《盜夢空間》的熱映，不僅喚起了人們對夢境之謎的好奇心，而且還激發了人們對數學的興趣。《盜夢空間》中大量運用了數學知識，許多假設和現象其實都來源于現代數學中的幾何研究。

永遠沒有盡頭的樓梯

《盜夢空間》中運用最多的就是非歐幾何。最明顯的例子就是柯布的助理阿瑟帶著夢境設計師阿里阿德妮走上一個“無限的樓梯”，走了四段，一直覺得向上卻走進了一個死圈。初看似乎這個樓梯永遠也走不完，但如果經過仔細的觀察，會發現每一格的樓梯都略有向上傾斜。這其實便是畫家埃舍爾(Escher)著名的旋轉樓梯，它指出了夢中悖論的存在。埃舍爾把自己稱為一個“圖形藝術家”，他擅長利用人的視覺錯誤，讓他的作品在三維空間里游戲。曾有人說，艾舍爾代表了非歐幾何時代的空間感知覺，其基本特征是空間的彎曲。

非歐幾何的歷史

什么是非歐幾何呢?這還要從歐氏幾何講起。公元前3世紀初，古希臘數學家歐幾里得在總結前人研究和實踐成果的基礎上，用演繹法敘述平面幾何原理，一般稱為“歐氏幾何”。歐幾里得提出的5條基本公理，其中前4條是容易理解的，但是，第5條平行公理卻引起人們的爭議。一些數學家認為歐幾里得把它放在公理(公設)之列，不是因為它不能證明，而是找不到證明，這是歐幾里得幾何體系的唯一“污點”。2000多年來，許多幾何學家用不同的方法試圖證明第5公設，可是都失敗了。

高斯早在1792年，也就是他15歲時，已經有了非歐幾何的思想。這個思想包括兩個內容：一是他意識到除歐氏幾何外還存在一個無邏輯矛盾的幾何；二是在這幾何中歐氏幾何的平行公理不成立。從1813年起，高斯先后稱他所設想的幾何學為“星際幾何”、“非歐幾里得幾何”。高斯關于非歐幾何的思想盡管十分卓越，但他卻迫于當時的壓力沒有及時發表，直到1829年，俄國數學家羅巴切夫斯基正式出版了《論幾何學的原理基礎》一書，標志著非歐幾何的誕生。非歐幾何的出現從根本上拓寬了人們對幾何學的認識。引導人們對幾何學基礎的深入研究，而且對于物理學在20世紀初所發生的關于空間和時間的物理觀念的變革起了巨大推動作用。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的確已經認識到，在實際的宇宙之中，歐氏幾何學并非總是正確的。例如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強烈。在這種情況下，歐氏幾何無法準確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當特殊的。在大多數情況下，歐氏幾何可以給出十分近似于現實世界的結論。

將敵人永遠困在夢中的迷宮

“非歐幾何空間”通俗地說，就是看得到盡頭，但走不到盡頭。而阿里阿德妮最終設計的那個難倒柯布的迷宮，也是用圓圈套來套去。用數學上的語言來說，真實的世界是歐氏空間，而夢中的迷宮則是建立在非歐空間。在電影的迷宮設計中，造夢師如果想把一個人困住，就要給他一種無限的錯覺。如果是歐氏空間，就是一個平面，只能設計一個很大的圓，但人還是可能跑出去。但如果這是一個非歐空間，如球面，造夢者就可以將敵人永遠困在自己設計的夢中。

鏡像——分形世界

分形幾何在影片中也有應用。阿里阿德妮把柯布帶到一個地方，關上門，弄出兩面鏡子，兩面鏡子之中出現了數不清的人像。因為鏡子可以在鏡子中成像，于是就有了鏡中鏡中鏡中鏡……隨著鏡子層數的加深，鏡中像會越來越小。但即使是極小的一個像，經過放大，里面還是有鏡中鏡中鏡中鏡……這便是幾何上被稱為分形(fractal)的結構。我們可以將鏡中鏡看成《盜夢空間》故事結構的一種比喻。因為鏡中可以有鏡，所以就有鏡中鏡中鏡中鏡……同樣，因為夢中會產生夢，所以有夢中夢中夢中夢……

最早的分形結構卻不是來源于幾何，而是來源于對遞推規則的研究，具體說是微分方程的研究。分形結構是微分方程中混沌現象的一種，最早認識到混沌的人是法國數學家龐加萊。分形結構對應著無窮的遞歸的邏輯。物理學上的觀點“基本粒子可以再分”正是如此，分子分解成原子，原子分解成電子、質子和中子，現代物理學再進一步分解電子、質子和中子。但每得到一種基本的粒子，就要將其分解成更基本的粒子，這種邏輯就決定了世界的最基本的粒子是找不到的。

做夢的時候，時間為何會被幾何級拉長?

《盜夢空間》里最有趣的一個設定就是夢中時間流逝變慢，而且隨著夢境深入幾何級變慢——如果你在夢中做夢，時間流逝的速度會更慢。譬如5分鐘的現實時間等于1小時的夢境時間，而5分鐘的夢境時間又等于二級夢境中的1個星期，如此類推。 其實大家可能都有體會，有時候明明覺得做了一個很長的夢，醒來之后發現自己只不過睡了很短的時間。曾有科學研究表明人類做夢的時間實際上很短，有的只有幾秒鐘，通常也就幾分鐘。很多人都會有類似“夢中時間變慢”的體驗，實際上這源于我們的一種錯覺。

事實是，不是時間變慢了，而是接受信息的速度變快了。譬如，我們在夢中從一條街走到另一條街，可能只需1秒鐘就完成了，因為你的腦子根本沒有這么多資源把完成這個動作的細節和線索組織起來，在夢中其實是“跳”過去的。而在醒過來之后，我們會用清醒時完成同樣動作的標準去感知夢里的情節，從“跳”變成了“走”，因此就把夢境時間放大了。所以，夢境時間流逝變慢是一種錯覺而已，是因為我們以清醒時的時間標準去感知夢中情節而產生的錯誤。(文章代碼：102109)

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