一類Cartan型余分裂李代數的例子

沈彩霞,夏利猛

(江蘇大學理學院,江蘇鎮江 212013)

一類Cartan型余分裂李代數的例子

沈彩霞,夏利猛

(江蘇大學理學院,江蘇鎮江 212013)

研究了正特征域上的一類Cartan型單李代數,得到了這類李代數的余分裂結構,同時得到了一類非半單的余分裂李代數.這一結果無法使用Carsimir算子方法得到.

余分裂;半單李代數;對偶;正特征域

0 引言

在文獻[1]中,作者介紹了余分裂李代數的概念,即在李代數結構上帶有一個容許的李余代數結構,簡單地說,一個李余代數就是滿足下面條件的三元組(L,μ,δ):

(1)(L,μ)是一個李代數;

(2)(L,δ)是一個李余代數;

(3)(容許條件)μ°δ=idL.

特別是對于復半單李代數來說,它們的伴隨作用就是一個李余代數的余乘法運算,可以配以適當的系數使之滿足余分裂李代數的容許條件,在文獻[1]中已經證明了這一結果.

文獻[1]中,得到了特征零的代數閉域上的余分裂定理,通過余分裂結構建立了Killing型和伴隨作用之間的關系.

任意有限維復單李代數具有余分裂結構.設Xl型李代數是sln的子李代數L,則

其中,B表示sln的對偶空間到sln的同構,實際上和sln的Killing型有關,δres是X l的余乘法,等式右端則是Xl的伴隨表示.

在文獻[2]中,作者用Casimir算子(相關內容可見文獻[3])和非退化對稱不變雙線性型的觀點解釋了余分裂性質,并將余分裂李代數的結構推廣到了一般特征域上具有非退化對稱不變雙線性型的所有李代數上.在文獻[4-5]中,余分裂的結構分別被推廣到A(m,n)和一般具有非退化Killing型的李超代數上,使有關余分裂內容的研究更加豐富.

現在已知的余分裂單李代數的例子中(還有一些非半單的例子),無論零特征還是正特征,只有典型李代數的情形存在(A,B,C,D,E,F,G型在適當的特征域上).一個很自然的問題是,一般的Cartan型沒有非退化對稱不變雙線性型,是否存在余分裂結構呢?

另外,假設L是一個特征p(p＞2)域上的Cartan型單李代數,沒有非平凡的不變雙線性型,則它和其對偶作為L模一定不是同構的.否則可定義同構映射

由于

因此在L上定義了一個非退化的對稱不變雙線性型,顯然是矛盾的.因而作為L-模L和L＊是不同構的.

當L是余分裂的,則L＊也是余分裂李代數,那么L和L＊作為李代數一定是不同構的,因此另外一個問題是L＊會是什么樣的?一定也是單李代數嗎?

在本文中,我們將構造一類Cartan型單李代數的余分裂結構,特別是它們的對偶不再是單李代數的(甚至不是半單的).

1 一個李余代數的例子

在我們的構造中,一個李余代數的結構起到了重要的作用.設犉是一個特征不等于2的數域,在線性空間L=spanF{e,f,h,u,v}上定義余乘法:

2 一類Cartan型的余分裂李代數

引理得證.

其中每個M r均是sl2的自然表示,并且[M r,M s]=0.

注2.1在以往有關余分裂李代數的工作中,有一大部分單李代數被證明是余分裂的,而它們由于都具有非退化對稱不變雙線性型,因而都是自對偶的,或者說還不知道是否能有其他的余分裂結構(余分裂是否唯一的問題).而本文中給出的例子拓展了這方面的研究范圍,即某些單余分裂李代數的對偶不再是(半)單的,某些半單李代數與某些非半單李代數之間存在的密切聯系將是一個比較有意義的問題。

[1] XIA L,HU N.Introduction to co-split Lie algebras[J/OL].Algebra and Rep resentation Theory,to appear,DOI 10.1007/ s10468-009-9183-0.

[2] FARNSTEINER R.Lie algebras with a coalgebra splitting[J/OL].Algebra and Rep resentation Theory,to appear,DOI 10.1007/s10468-009-9178-x-0.

[3] KAC V.Infinite dimensional Lie algebras[M].3rd edition.Cambridge:Cambridge Press,1990:22-23.

[4] 夏利猛,胡乃紅.A(m,n)型余分裂李超代數[J].中國數學年刊,2009,30A(1):127-130.

[5] 夏利猛,沈彩霞.具有非退化Killing型的余分裂李超代數[J].東北師大學報:自然科學版,2009,41(4):9-12.

A class of co-split L ie algebras of Cartan type

SHEN Cai-Xia,XIA Li-meng

(College of Science,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China)

In this paper,a classof Cartan type simp le Lie algebras are studied and their co-sp lit stucture is obtained,aswell as a class of non-semi-simp le co-sp lit Lie algebras are given.

co-sp lit;semi-simp le Lie algebras;duality;positive characteristic field

O 152.5

110·2125

A

1000-1832(2010)04-0017-04

2010-04-12

國家自然科學基金天元基金資助項目(10726036);國家自然科學基金青年基金資助項目(11001110);江蘇大學高級人

才啟動資金資助項目(07JDG035,07JDG038);江蘇大學博士后基金資助項目(1143001034).

沈彩霞(1977—),女,博士,講師;夏利猛(1976—),男,博士,副教授,主要從事李代數及其表示理論研究.

(責任編輯:陶 理)