關于極值點的必要條件

趙 堅,高 夯

(1.中央廣播電視大學數學系,北京 100031; 2.東北師范大學數學與統計學院,吉林長春 130024)

關于極值點的必要條件

趙 堅1,高 夯2

(1.中央廣播電視大學數學系,北京 100031; 2.東北師范大學數學與統計學院,吉林長春 130024)

介紹了函數極值問題、泛函極值問題和最優控制問題,給出極值點與最優控制的必要條件,闡述了最優控制問題的新進展及它們之間的聯系.

極值點;最優控制;必要條件

1 函數的極值點問題

2 泛函極值問題

泛函極值問題如同函數極值問題一樣,具有大量的實際問題作為背景,如捷線問題、最小曲面問題、等周問題等.設集合

可以證明,集合Y(Y?C2[a,b])是一開集.設f是關于其各變量連續可導的函數,在Y上定義如下的泛函:

3 最優控制問題

其中,U?R是緊集.

假設f滿足如下的條件:

(C1)f關于變量t可測,關于變量y連續可微,關于變量u連續.

注8在(3.1)式中,若A是有界算子,則方程(3.1)是常微分方程,且X=Rn.若A是無界算子,則方程(3.1)可以是偏微方程.例如A=Δ(拉普拉斯算子).則可選擇X=W2,p0(Ω).對于任意的u∈U ad,在條件(C1)下,方程(3.1)存在唯一解.因此,可以在U ad上定義如下的泛函:

以及Uad=L2(Ω)等情形下,利用變量置換與懲罰泛函等手段,得到了相應的最優性條件.

在文獻[12-13]中,作者在問題(3.9)中U是有限點集的情形,通過構造拋物控制系統,得到拋物系統最優控制的必要條件,證明了擾動的拋物系統的最優對收斂到原橢圓系統的最優對,從而得到橢圓系統最優對的必要條件.

在文獻[14]中,作者為了克服U ad不凸的困難,采用了松弛方法[15].將松弛方法用到多解控制系統是作者的一個重要創新之處.同時,我們也看到了松弛控制方法也很難使用到很一般的情形.

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On the necessary conditions of m in imal element

ZHAO Jian1,GAO Hang2

(1.Department of Mathematics,China Central Radio and TV University,Beijing 100031,China; 2.School of Mathematics and Statistics,Northeast Normal University,Changchun 130024,China)

In this paper,discuss the p roblem s of function minimal element,functional m inimal element and p roblem of op timal control.Give the necessary conditions of m inimal elements and op timal control.On one hand,the new p rogress is introduced on op timal control research,on the other hand, give the relation of minimal elements and op timal control.

m inimal element;op timal control;necessary condition

O 231.2

120·30

A

1000-1832(2010)04-0001-05

2010-09-15

國家自然科學基金資助項目(10871039).

趙堅(1958—),女,碩士,副教授,主要從事應用數學研究;通訊作者:高夯(1956—),男,博士,教授,博士研究生導師,主要從事控制理論研究.

(責任編輯:陶 理)