質(zhì)點(diǎn)在中心勢(shì)場(chǎng) V(r)中的運(yùn)動(dòng)

潘繼環(huán)

(河池學(xué)院 物理與電子工程系,廣西 宜州 546300)

質(zhì)點(diǎn)在中心勢(shì)場(chǎng)V(r)中的運(yùn)動(dòng)

潘繼環(huán)

(河池學(xué)院 物理與電子工程系,廣西 宜州 546300)

討論中心勢(shì)場(chǎng)中有心力為引力的情況下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),對(duì)中心勢(shì)場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況作了一般分析,給出了質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的守恒量、運(yùn)動(dòng)方程、軌道方程及其運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典特征.

有心力;中心勢(shì)場(chǎng);有心力場(chǎng);質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

0 引言

天體、人造衛(wèi)星、電子的運(yùn)動(dòng)等,是一類廣泛存在于自然界中的質(zhì)點(diǎn)在中心勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)的束縛態(tài)的問(wèn)題.研究質(zhì)點(diǎn)在中心勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況,除了促進(jìn)太空安全外,也是促進(jìn)先進(jìn)通訊、地球資源探測(cè)和軍事偵探等方面發(fā)展的一種不可或缺的工具.質(zhì)點(diǎn)在中心勢(shì)場(chǎng)中受到有心力的作用,所以研究質(zhì)點(diǎn)在中心勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況時(shí),將用有心力場(chǎng)的規(guī)律分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況.

1 歷史回顧

在歷史上,對(duì)有心力的研究是由天文學(xué)的行星運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和玻爾原子中的軌道問(wèn)題引起的 .從希臘著名學(xué)者拖勒密提出的“地心說(shuō)”,到波蘭天文學(xué)家哥白尼提出的“日心說(shuō)”,都沒(méi)有非常準(zhǔn)確地描述行星的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.直到 17世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒利用第谷多年積累的觀測(cè)資料,經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析研究,發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道運(yùn)行,并且提出行星運(yùn)動(dòng)三定律 (即開(kāi)普勒定律),為牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律打下了基礎(chǔ).1687年,牛頓根據(jù)開(kāi)普勒定律及分析大量實(shí)驗(yàn) (包括天文學(xué)方面的實(shí)驗(yàn))結(jié)果的基礎(chǔ)上,總結(jié)出一條規(guī)律:

自然界中任何兩個(gè)物體之間都存在著相互吸引的力,如果物體可視為質(zhì)點(diǎn),那么這兩質(zhì)點(diǎn)的相互吸引力F沿兩質(zhì)點(diǎn)連線的方向,與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和的乘積成正比,同它們之間距離r的平方成反比,即

其中G為引力常量[2].

萬(wàn)有引力定律成功地解釋了太陽(yáng)系中,各行星在太陽(yáng)的強(qiáng)大引力作用下,都是按各自的軌道和方向圍繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn).將萬(wàn)有引力定律推廣到整個(gè)宇宙,同樣可以解釋宇宙星系之間的相互作用及相互制約的關(guān)系.

2 質(zhì)點(diǎn)在中心勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一般分析

2.1 有心力

對(duì)相互作用的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn),如圖 1所示,以一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置為原點(diǎn),從原點(diǎn)

到另一點(diǎn)的位置矢量為 r,沿著 r作用有力 F,F的大小是兩點(diǎn)間距離r的函數(shù).把K(r)作為位置的標(biāo)量函數(shù),有

這里r=|r|.作曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn),所受的力指向某一點(diǎn),如果是作圓周運(yùn)動(dòng),則指向圓心.例如作用于天體間的萬(wàn)有引力,點(diǎn)電荷上的靜電力如圖 2等等,都由(1)式表示.這樣的力被稱為有心力,K(r)>0時(shí)是斥力,K(r)<0時(shí)是引力.例如萬(wàn)有引力

就是有心力.

我們知道,各大行星都是繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)的,這是因?yàn)樗鼈冎g存在著萬(wàn)有引力的作用.對(duì)任一行星例如 (地球)而言,它所受到的力主要是太陽(yáng)對(duì)它的引力,即有心力.人造地球衛(wèi)星也是這樣,它所受到的力幾乎僅僅是地球?qū)λ囊?也就是受到有心力的作用.在有心力的作用下,質(zhì)點(diǎn)始終在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng).有心力構(gòu)成的力場(chǎng)即為有心力場(chǎng).有心力場(chǎng)是自然界中最普遍、最重要的力場(chǎng)之一.

2.2 質(zhì)點(diǎn)在中心勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的守恒量

2.2.1 角動(dòng)量守恒

取力心為極坐標(biāo)的極點(diǎn),則由

式中h是常數(shù).(9)式為角動(dòng)量守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式,它與開(kāi)普勒第二定律存在一定的聯(lián)系 .[3]

如圖 2所示,在曲線軌道上的質(zhì)點(diǎn),在微小時(shí)間 dt內(nèi)從點(diǎn)P移到點(diǎn)Q,r增加了 dr成為 r+dr,角度變化為 dθ;設(shè)從P向OQ所作垂線的垂足為P′,可以認(rèn)為PP′=rdθ.把dt時(shí)間內(nèi)動(dòng)徑OP掃過(guò)的面積 ds看成ΔOPQ的面積,略去高階小量,得

2.2.2 機(jī)械能守恒

既然有心力是保守力,那么它所做的功與其路徑無(wú)關(guān),因而它一定存在勢(shì)能V,且 F=-▽V[4].因?yàn)閯?shì)能差與原點(diǎn)選取無(wú)關(guān),故可寫出

這時(shí)勢(shì)能函數(shù)V當(dāng)然也是矢徑r的函數(shù),即V=V(r).所以機(jī)械能是恒定的具體表達(dá)式是

其中E是質(zhì)點(diǎn)的總能,它是一個(gè)常數(shù).

2.3 兩體問(wèn)題

實(shí)際碰到的中心力場(chǎng)問(wèn)題,常常是兩體問(wèn)題.由兩個(gè)物體組成的孤立系統(tǒng),若內(nèi)力是有心力,則它們的質(zhì)心將作勻速運(yùn)動(dòng)[5].為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),把質(zhì)心取作坐標(biāo)系原點(diǎn)如圖 3所示,并設(shè) r1和r2相應(yīng)的表示質(zhì)點(diǎn)m1和m2相對(duì)于質(zhì)心的位置矢量,用 R表示質(zhì)點(diǎn) 1相對(duì)于質(zhì)點(diǎn) 2的位置矢量.

由在質(zhì)點(diǎn)組中,質(zhì)心C對(duì)同一原點(diǎn)O的位矢 rc滿足的關(guān)系:

又因?yàn)槲覀儼奄|(zhì)心取作坐標(biāo)系原點(diǎn),則rc=0.所以根據(jù)(14)式,得

質(zhì)點(diǎn) 1相對(duì)于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的微分方程為

(19)式表示質(zhì)點(diǎn) 1相對(duì)于質(zhì)點(diǎn) 2的運(yùn)動(dòng),這個(gè)方程與一個(gè)質(zhì)量為μ的質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程完全相同.所以,兩個(gè)物體相對(duì)于他們質(zhì)心的有心力運(yùn)動(dòng)總是能夠歸結(jié)為一個(gè)等效的一體問(wèn)題.

對(duì)于兩個(gè)彼此受到萬(wàn)有引力作用的物體來(lái)說(shuō),有

這與一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平方反比的有心力場(chǎng)下的運(yùn)動(dòng)方程是一樣的.若把地球和月亮看作一個(gè)孤立系統(tǒng),則月球的軌跡是一個(gè)橢圓,以地心為焦點(diǎn);地球的軌跡也是一個(gè)橢圓,但它以月心為焦點(diǎn).

2.4 軌道方程

2.4.1 由運(yùn)動(dòng)方程消去參數(shù)t導(dǎo)出軌道微分方程

中心勢(shì)場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的基本方程為

這就是所要求的軌道微分方程,即比耐公式.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受的是引力時(shí),F為負(fù)號(hào);當(dāng)為斥力時(shí),F為正號(hào).該公式對(duì)質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的描述有著重要地位.

2.4.2 由能量守恒和角動(dòng)量守恒導(dǎo)出軌道方程

這就是利用能量守恒和角動(dòng)量守恒結(jié)合起來(lái),作為解決有心力問(wèn)題的基本方程,從而求出的含有能量E的軌道方程.

2.5 行星運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典特征

若考慮一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在中心勢(shì)場(chǎng)中的經(jīng)典運(yùn)動(dòng).行星圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)就是這種運(yùn)動(dòng)的典型例子.

2.5.1 按偏心率e對(duì)軌道分類

現(xiàn)在讓我們利用比耐公式來(lái)求質(zhì)點(diǎn)在與距離平方成反比的引力作用下的軌道方程.

同樣令太陽(yáng)的質(zhì)量為M,行星的質(zhì)量為m,則由萬(wàn)有引力定律,我們可以知道它們之間的作用力為

式中k2=GM是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)而只與太陽(yáng)質(zhì)量有關(guān)的量,叫做太陽(yáng)的高斯常量,r為太陽(yáng)和行星的距離.把 (27)式代入 (23)式即比耐公式中,得

這個(gè)微分方程的形式與諧振動(dòng)方程完全一樣,所以它的解是

式(32)就是我們要求的軌道方程.把它和在極坐標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線方程

(33)式軌道方程表示的是:軌道的原點(diǎn)在焦點(diǎn)上的圓錐曲線,力心位于焦點(diǎn)上,p為圓錐曲線正焦弦長(zhǎng)度的一半,e為偏心率,此時(shí)θ應(yīng)從是從焦點(diǎn)至準(zhǔn)線所作的垂線量起.(32)、(33)兩式相比較,得

根據(jù)e的數(shù)值可畫出三種類型的曲線,分別如圖 4、圖 5和圖 6所示.

可見(jiàn),只要知道偏心率e的數(shù)值就能決定軌道是什么形狀,而偏心率e的數(shù)值需要根據(jù)起始條件來(lái)確定.

2.5.2 按能量E對(duì)軌道分類

我們已經(jīng)由能量守恒和角動(dòng)量守恒推導(dǎo)出包含有能量E的軌道方程

以此與標(biāo)準(zhǔn)式(33)式比較,即可得出軌道的偏心率由下式給出

那么,我們就得出用能量E作為軌道類別的判據(jù):

E<0,則e<1,軌道是閉合的(橢圓或圓);

E=0,則e=1,軌道為拋物線;

E>0,則e>1,軌道為雙曲線.

3 結(jié)語(yǔ)

中心勢(shì)場(chǎng)的問(wèn)題,實(shí)際上都遵從了共同的規(guī)律——質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,這體現(xiàn)出理論物理思維的一個(gè)特點(diǎn):用幾個(gè)最基本的原理、定律去解釋豐富多彩的物質(zhì)運(yùn)動(dòng).質(zhì)點(diǎn)在中心勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),角動(dòng)量和機(jī)械能都是守恒的,其運(yùn)動(dòng)的軌道會(huì)因?yàn)槠鹗紬l件的不同而分為三類即閉合軌道 (橢圓或圓)、拋物線軌道、雙曲線軌道.中心勢(shì)場(chǎng)中兩個(gè)物體相對(duì)于他們質(zhì)心的有心力運(yùn)動(dòng)總是能夠歸結(jié)為一個(gè)等效的一體問(wèn)題.我們用有心力場(chǎng)的規(guī)律分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況 (如研究質(zhì)點(diǎn)的守恒量、軌道方程以及其經(jīng)典的運(yùn)動(dòng)特征)時(shí),作了如下近似處理:假設(shè)太陽(yáng)不動(dòng),忽略了行星之間的相互作用.這些近似處理是必要的,因?yàn)榭紤]了太多因素,那么問(wèn)題求解很困難,有時(shí)甚至不能,作近似處理實(shí)際上抓住了主要因素忽略了次要因素.另外,近似處理所得結(jié)果必須與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果相符合,如果不符合,則要作進(jìn)一步修正.

[1]戈德斯坦.經(jīng)典力學(xué)[M].湯家鏞,陳為詢,譯.上海:科學(xué)出版社,1985:101.

[2]王志剛,王耀華,王莉,等.開(kāi)普勒定律的功績(jī)[J].河北能源職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2002,(1).

[3]江尻有鄉(xiāng).力學(xué) 15講[M].朱為群,譯.廣州:中山大學(xué)出版社,1993:58.

[4]周衍柏.理論力學(xué)教程 [M].北京:高等教育出版社,1986:67.

[5]陳家森,譚樹(shù)杰,汪宗禹,等.力學(xué)[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,1985:170.

An Analyse theW ork of Lorentz Force by the Law of Conservation of Energy

L IANG Yu-Juan

(Department of Physics and Electron ics Engineering,Hechi Un iversity,Y izhou,Guangxi546300,Ch ina)

The Lorents force ofmoving charge in a magnetic field isf=qv×B,whose direction is always perpendicular to the direction of velocity and which does not do work;While the non-electrostatic force for the motional electromotive force is lorentz force,which doeswork on the charge.Do these two arguments conflict?How do we understand the two phenomena?How the Lorents force does work is analyzed and explained by the law of conservation of energy and transformation.

moving charge;Lorentz force;law of conservation of energy and transformation;work

G427

A

1672-9021(2010)02-0046-08

潘繼環(huán) (1972-),男 (壯族),廣西都安人,河池學(xué)院物理與電子工程系講師,主要研究方向:粒子物理和原子核物理理論.

2009-11-01

[責(zé)任編輯普梅笑 ]