用能量守恒與轉化定律分析洛倫茲力的做功問題

梁玉娟

(河池學院 物理與電子工程系,廣西 宜州 546300)

用能量守恒與轉化定律分析洛倫茲力的做功問題

梁玉娟

(河池學院 物理與電子工程系,廣西 宜州 546300)

運動電荷在磁場中所受的洛倫茲力為 f=qv×B,洛倫茲力的方向總是垂直于運動速度的方向,洛倫茲力不做功;而產生動生電動勢的非靜電力是洛倫茲力,但這個洛倫茲力對電荷卻做功了,這兩種說法是否矛盾?如何理解?用能量守恒與轉化定律分析洛倫茲力的做功問題并給出明確的回答 .

運動電荷;洛倫茲力;能量守恒與轉化定律;功

0 引言

在許多大學物理、普通物理教材[1～4]關于穩恒磁場的章節中,定義運動電荷在磁場中受磁場力的作用為洛倫茲力,計算公式為:f=qv×B,其中q為運動電荷的電量,v為運動電荷的運動速度,B為磁場的磁感應強度 .設電荷的運動方向與磁場方向的夾角為θ,則按上述公式,電荷所受洛倫茲力的大小為qvBsinθ,正電荷受洛倫茲力的方向總與 v×B方向相同,負電荷受洛倫茲力的方向總與 v×B方向相反,洛倫茲力的方向既垂直于磁場方向,又垂直于電荷的運動方向 .正是因為洛倫茲力的方向總是與電荷的運動方向垂直,所以洛倫茲力只能使帶電粒子的運動方向偏轉,而不會改變其速度的大小,對運動電荷永遠都不做功,這是洛倫茲力的一個重要特征 .而在電磁感應的章節中,產生動生電動勢的非靜電力是洛倫茲力,這個洛倫茲力對運動電荷做功了,與前面講的洛倫茲力不做功是否矛盾呢?

能量守恒與轉化定律是自然界最普遍、最重要的基本定律之一,其文字表述為:自然界中一切物質都具有能量,能量有各種不同的形式,在一定條件下能夠從一種形式轉化為另一種形式,由一個物體傳遞給另一個物體,而在轉化和傳遞的過程中,能量的總和保持恒定,一種形式的能量減少多少,則必定伴隨著相同數量的其它形式能量的增加[5].這個定律建立了物質運動變化過程中能量的等量關系,自它建立以來,對現代物理學的發展和完善起了極為重要的作用,它是人類認識自然、利用自然和改造自然的有力武器 .本文就用這一武器來分析產生動生電動勢的洛倫茲力的做功問題.

1 動生電動勢的形成

如圖 1所示,導體棒ab可在 U型導體框上自由地滑動 .把這一回路放入勻強磁場 B中,B垂直于回路平面 .當導體棒ab以速度 v在磁場中向右運動時,導體棒內每個自由電子也就具有隨棒一起運動速度 v,因而每一個自由電子都受到洛倫磁力 f1=-ev×B的作用,這里 -e為自由電子的電量,由右手螺旋定則可知,f1的方向由a指向b,f1⊥v,在水平方向上不做功 .但在洛倫茲力 f1的作用下,電子相對于棒以速度 u沿著導體棒由a向b運動,u的方向與 f1的方向相同,f1對自由電子做了正功 .自由電子在b端聚積,使b端帶負電,而a端則出現了過剩的正電荷,a端電勢高于b端電勢,建立起由a端指向b端的靜電場 E,該靜電場又使電子受到電場力 f電=-eE作用,方向由b端指向a端,與 f1方向相反,隨著棒兩端電荷增多,靜電場 E逐漸增強,f電也逐漸增大,當 f1=-f電時,就達到了平衡狀態,a、b兩端之間有穩定的電勢差,運動的導體棒ab就相當于一個電源,a端為正極,b端為負極,a、b兩端之間的電勢差就是電源的電動勢,此電動勢是由于導體棒ab在磁場中運動而產生的,因而稱為動生電動勢,洛倫茲力 f1就是產生動生電動勢的非靜電力 .根據電源電動勢的定義,電動勢等于把單位正電荷從負極經電源內部移到正極,非靜電力所做的功 .作用在單位正電荷的洛倫茲力為 fk=f1/(-e)=v×B,根據場強的定義,v×B即是非靜電場的強度 .每一小段導體上的電動勢為 dε=fk·dl=v×B·dl,dl代表小段導體線

2 定性分析洛倫茲力做功

如圖 2所示,棒中的每一個自由電子都受到兩個洛倫茲力 f1和 f2的作用,他們的矢量和為總洛倫茲力 f=f1+f2;另外棒中的每一個自由電子不僅具有隨著導體棒向右運動速度 v,還有相對于棒向下運動的速度 u(在洛倫茲力 f1的作用下),自由電子同時參與了兩種運動,這兩種運動的速度的矢量和為 V=v+u.在圖 2中,設自由電子所在位置為O點,f1的大小為evB,f2的大小為euB,則有

所以∠f2Of和∠vOV互余,而∠f2Of、∠vOV、∠fOV這三個角構成平角,

因而∠fOV=90°,即總洛倫茲力 f垂直于合速度 V.

雖然洛倫茲力 f1與自由電子速度的 u分量方向相同,對自由電子做了正功,洛倫茲力 f2與自由電子速度的 v分量方向相反,對自由電子做了負功,但是總洛倫茲力 f總是垂直于合速度 V,因而總的洛倫茲力不做功,不改變系統的能量 .

3 用能量守恒與轉化定律分析洛倫茲力做功

假設導體棒ab的長度為l,規定向下(a指向b)、向右的方向為正方向,則自由電子從a端以速度 u運動到b端所需要的時間為t=l/u,在t時間內導體棒向右移動的距離為s=vt=lv/u,u與 f1方向相同,則 f1對自由電子做正功為A1=f1.l=-ev×B·l=evB l(l的方向向下);而 v與 f2方向相反,f2總是阻礙導體棒向右運動,因而 f2對自由電子做負功為A2=f2·s=-eu×B·s=-euB s=-euB lv/u=-evB l,這里有A1=-A2,f2對自由電子做的負功A2與 f1對自由電子做的正功A1大小相等,合洛倫茲力 f對自由電子做的總功為A=A1+A2=0,即洛倫茲力 f1和 f2均做功,但做功的代數和為零,洛倫茲力不提供能量 .從能量轉化角度來看:在磁場 B中棒向右運動,棒中每個自由電子都受 f2的作用,整根導體棒要受一個合力∑f2的作用,即安培力,此力的方向向左 .要想使棒向右勻速運動,就需要給棒一個持續的向右的外力F去平衡安培力∑f2,外力 F克服安培力對棒做了機械功 .而隨棒向右運動的每個自由電子都受到向下的洛倫茲力 f1,在 f1的作用下,自由電子向b端運動,致使棒的b端聚集負電荷,a端聚集正電荷,形成了電源,即有了電能 .電能就是外力 F克服安培力∑f2所做的機械功,通過洛倫茲力 f1分量對自由電子做功轉化而來的,f1只是起到傳遞能量的作用 .假設圖 1中回路的電流為I,因為 l⊥B,所以安培力∑f2=Il×B=IlB,外力的大小與安培力∑f2的大小相等,即F=IlB.在時間t=l/u內,外力克服安培力∑f2所做的功為:A=Fs=IlB lv/u=Il2B v/u,而電源的能量為Q=Iεt=IB lvl/u=Il2Bv/u,電源的能量Q與外力的功A相等.

例:圖 1中,假設回路的總電阻R=0.2Ω,勻強磁場的磁感應強度B=0.5 T,導體棒ab的長度為l=0.5 m,現使ab以速率v=4.0m/s向右勻速運動 .求:

(1)維持ab向右做勻速運動所需的外力F;

(2)在時間t=2s內,外力F對棒ab做了多少功?電源提供的電能為多少?電阻上消耗了多少能量?

解:(1)回路中動生電動勢的大小為 ε=B lv=0.5×0.5×4.0=1.0(V)

根據歐姆定律,回路電流的大小為I=ε/R=1.0/0.2=5.0(A)

導體棒ab上有電流,就要受到安培力 FB的作用,根據安培力公式,FB的方向向左,大小為

FB=B lI=0.5×0.5×5.0=1.25(N)

要維持ab向右做勻速運動,需要外力 F與 FB平衡,則有 F=-FB,F的方向向右,大小為 1.25N.

(2)在時間t=2s內,ab向右移動的距離為S=vt=4.0×2=8.0(m)

外力 F對棒ab所作的功為A=FS=1.25×8.0=10(J)

電源提供的電能為Q電源=Iεt=5.0×1.0×2=10(J)

電阻上消耗的能量為Q電阻=I2R t=5.02×0.2×2=10(J)

外力對導體棒ab所做功的大小與電源提供的能量、電阻上消耗的能量相等,即A=Q電源=Q電阻=10 J所以說外力對棒ab做了多少機械功,就有多少機械能轉化為電源的電能,當電流通過用電器時,電能又轉化為其他形式的能量,這也正是能量轉化與守恒定律在動生電動勢中的應用 .

4 結論

運動電荷在磁場中受到的洛倫茲力為 f=qv×B,這個公式中的 f是指總的洛倫茲力,總的洛倫茲力總是垂直于合速度,因而總的洛倫茲力 f永遠都不做功 .而在動生電動勢的產生過程中,運動導體中的每一個自由電子都參與了兩種運動,受到兩個洛倫茲力的作用,這兩個洛倫茲力都做功,但做功的代數和為零,即相當于總的洛倫茲力不做功,洛倫茲力不提供任何能量,只是傳遞能量而已 .平常所說的洛倫茲力不做功指的是運動電荷受到總的洛倫茲力,而不是指洛倫茲力的某個分力,分力仍然有可能做功,所以說產生動生電動勢的非靜電力是洛倫茲力,與合洛倫茲力不做功并不矛盾 .

[1]陳信義.大學物理教程 (上冊)[M].北京:清華大學出版社,2005:165,193-194.

[2]祝之光.物理學 (下冊)[M].北京:高等教育出版社,2004:57,101-102.

[3]程守洙,江之永.普通物理學 (第二冊,第五版)[M].北京:高等教育出版社,2004:232-233,335-338.

[4]馬文蔚.物理學 (中冊,第三版)[M].北京:高等教育出版社,1998:212-213,293-296.

[5]金仲輝,梁德余.大學基礎物理學[M].北京:科學出版社,2000:39.

An Analyse the Work of Lorentz Force by the Law of Conservation of Energy

L IANG Yu-Juan

(Department of Physics and Electron ics Engineering,Hechi Un iversity,Y izhou,Guangxi546300,Ch ina)

The Lorents force ofmoving charge in a magnetic field isf=qv×B,whose direction is always perpendicular to the direction of velocity and which does not do work;While the non-electrostatic force for the motional electromotive force is lorentz force,which doeswork on the charge.Do these two arguments conflict?How do we understand the two phenomena?How the Lorents force does work is analyzed and explained by the law of conservation of energy and transformation.

moving charge;Lorentz force;law of conservation of energy and transformation;work

O441

A

1672-9021(2010)02-0039-04

梁玉娟 (1968-),女 (仫佬族),河池學院物理與電子工程系副教授,碩士,主要研究方向:計算物理與非線性物理 .

廣西區精品課程 (力學)項目 (桂教高教 [2007]11號、179號)

2009-11-01

[責任編輯普梅笑 ]