Lagrange中值定理證明的幾點注記

張長記

(河池學院 數學系,廣西 宜州 546300)

Lagrange中值定理證明的幾點注記

張長記

(河池學院 數學系,廣西 宜州 546300)

證明 Lagrange中值定理的關鍵是構造一個滿足 Rolle定理條件的輔助函數,用代數和幾何的知識構造出幾個輔助函數,從而注明了構造輔助函數的思想方法 .

Lagrange中值定理;輔助函數;變換;旋轉;平移

0 引言

Lagrange中值定理:若函數f(x)滿足下列條件:1)在閉區間[a,b]上連續;2)在開區間(a,b)內可導,則在開區間(a,b)內至少有一點c,使

證明這個定理的關鍵是構造一個滿足 Rolle定理條件:φ(a)=φ(b)的輔助函數φ(x),在教科書中通常是直接給出一個函數

再驗證函數φ(x)滿足 Rolle定理條件:φ(b)=φ(a).缺少如何這樣構造輔助函數的思想方法說明,讀者看完后難免會想:“這方法是怎么想到和做到的?”

文獻[2]中比較明確地介紹了“函數與直線差”的方法:

如圖 1中,直線AB的方程為

1 主要結果

利用坐標變換和線性變換的思想構造出滿足 Rolle

定理條件的輔助函數.以下列出幾個滿足 Rolle定理條件的輔助函數,并注明構造這幾個輔助函數的思想方法的過程 .

1.1 平移加旋轉坐標系的方法

1)先把坐標系原點平移到A點則有

如圖 2.此時AB所在的直線方程為

2)坐標系x′o′y′逆時針旋轉 α角,如圖 3,由坐標變換公式有

1.2 旋轉坐標系的方法

去掉 1.1中平移坐標系這一環節,直接把坐標系xoy逆時針旋轉α角,如圖 4.由坐標旋轉公式:

從而φ(x)滿足 Rolle定理條件:φ(a)=φ(b).

1.3 平移加旋轉函數的圖象的方法

1)把函數圖象平移到A點與坐標原點O重合,如圖 5.即作變換

2)把平移后的圖象再順時針旋轉α角,如圖 6,即作變換

綜合 1)和 2),進行運算,方法同 1.1,其結果也和 1.1相同 .

1.4 旋轉函數的圖象的方法

省去 1.3中的 1),直接把y=f(x)的圖象以坐標原點o為中心順時針旋轉α角,如圖 7即作線性變換

后進行計算,計算方法和所得結果與 1.2的相同.

以上 4種方法盡管計算方法、過程和結果都十分相近,乃至相同,但是卻反映了 4種不同的思想方法.由于這些方法都很直觀,結論也優美,用到教學上可解決一些直觀問題,體現學科之間的交錯互用問題,對學生滲透變換和相對運動的思想,發展學生的思維能力和培養學生的創新能力應該有一定作用.

[1]劉玉璉,傅沛仁.數學分析講義 (上冊)[M].北京:高等教育出版社,1990.

[2]同濟大學應用數學系.高等數學 (第五版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]孟道驥.高等代數與解析幾何[M].北京:科學出版社,2002.

Several Remarks on Proving theM ean Valve Theorem of Lagrange

ZHANG Chang-ji

(Department ofMathematics,Hechi Un iversity,Y izhou,Guangxi546300,Ch ina)

Constructing auxiliary function to meet the condition of Rolle Theorem is very important in proving the mean valve theorem of Lagrange.This paper gives several methods and thoughts of constructing auxiliary functions.

the mean valve theorem of Lagrange;auxiliary function;transfor mation;revolution;paralleltranslation

O171

A

1672-9021(2010)02-0012-03

張長記 (1954-),男,廣西象州人,河池學院數學系副教授,主要研究方向:代數學及其教學 .

2010-03-28

[責任編輯普梅笑 ]