知識(shí)點(diǎn)集及其偏序特性的研究

畢保祥 ，龔平娟，柳幼松

(1.溫州大學(xué) 甌江學(xué)院信息系，浙江 溫州 325035；2.溫州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，浙江 溫州 325035)

知識(shí)點(diǎn)集及其偏序特性的研究

畢保祥1，龔平娟2，柳幼松1

(1.溫州大學(xué) 甌江學(xué)院信息系，浙江 溫州 325035；2.溫州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，浙江 溫州 325035)

從知識(shí)點(diǎn)的概念、劃分方法及其特性出發(fā)，運(yùn)用偏序理論對(duì)高校計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)部分課程知識(shí)點(diǎn)集的偏序特性進(jìn)行分析，研究表明C語(yǔ)言高級(jí)程序設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)集和它們的并集都屬于偏序集；并依據(jù)前驅(qū)和后繼知識(shí)點(diǎn)、知識(shí)點(diǎn)間的直接依賴(lài)及知識(shí)點(diǎn)鏈闡述了研究知識(shí)點(diǎn)集偏序性的現(xiàn)實(shí)意義.

知識(shí)點(diǎn)集；偏序性；知識(shí)點(diǎn)鏈

人們的知識(shí)是由許許多多知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成的. 文中所述的知識(shí)點(diǎn)(Knowledge Point)是指人們?cè)讷@取新知識(shí)或從事其它智力活動(dòng)的過(guò)程中發(fā)揮幫助作用的概念、定義、術(shù)語(yǔ)、句子、原理、定理和方式方法等. 知識(shí)點(diǎn)并不是孤立存在的，在一定的范圍內(nèi)，知識(shí)點(diǎn)之間相互關(guān)聯(lián)，它在人們已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中或者在獲取新知識(shí)的過(guò)程中發(fā)揮著不同的作用. 這種作用或大或小，或重或輕，或主或次. 每個(gè)知識(shí)點(diǎn)一般都具有若干屬性，如知識(shí)點(diǎn)的類(lèi)型、范圍和重要程度等，以概括該知識(shí)點(diǎn)的特性，確立其在相關(guān)知識(shí)點(diǎn)集中的地位. 本文主要以大學(xué)生專(zhuān)業(yè)知識(shí)點(diǎn)為討論對(duì)象，首先探討知識(shí)點(diǎn)的劃分和知識(shí)點(diǎn)的特性，再給出與偏序關(guān)系相關(guān)的定義，然后以計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)《C語(yǔ)言高級(jí)程序設(shè)計(jì)》與《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》(C語(yǔ)言版)課程中知識(shí)點(diǎn)集為例，展示知識(shí)點(diǎn)之間所存在的偏序關(guān)系及其特性，并闡述研究的實(shí)際意義.

1 知識(shí)點(diǎn)的劃分及其特性

1.1 知識(shí)點(diǎn)的劃分方法

根據(jù)研究和應(yīng)用的情況可以采用不同的方法來(lái)劃分知識(shí)點(diǎn). 這里總結(jié)出三種知識(shí)點(diǎn)的劃分方法，即層次法、平行法和混合法[1-2].

1)層次劃分法 在進(jìn)行知識(shí)歸納總結(jié)和試題庫(kù)建設(shè)時(shí)常用的一種劃分方法，是根據(jù)章、節(jié)和小標(biāo)題確定知識(shí)點(diǎn)，其中章、節(jié)和小標(biāo)題都是知識(shí)點(diǎn). 這種劃分方法使得知識(shí)點(diǎn)之間存在包含關(guān)系，即每個(gè)章知識(shí)點(diǎn)可以包含若干個(gè)節(jié)知識(shí)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)知識(shí)點(diǎn)可以包含若干個(gè)段知識(shí)點(diǎn)，同樣每個(gè)段知識(shí)點(diǎn)還可以包含若干個(gè)更小的知識(shí)點(diǎn)，如有必要還可以進(jìn)一步地劃分. 知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系表現(xiàn)為樹(shù)型結(jié)構(gòu)，樹(shù)中葉子結(jié)點(diǎn)是最小的知識(shí)點(diǎn). 2)平行劃分法 不以知識(shí)點(diǎn)所屬的章、節(jié)和小標(biāo)題為依據(jù)，即不關(guān)注知識(shí)點(diǎn)之間是否存在包含關(guān)系，而是重點(diǎn)關(guān)注知識(shí)點(diǎn)的自身屬性和作用，劃分后每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的地位都是平等的. 這種劃分方法使得知識(shí)點(diǎn)成為相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)中最基本的單位. 3)混合法 綜合上述兩種方法對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行劃分，如按章和節(jié)進(jìn)行層次劃分，而節(jié)以下的知識(shí)點(diǎn)則不再分層，采用平行劃分法. 本文使用平行劃分法.

1.2 知識(shí)點(diǎn)的特性

按照平行劃分法，知識(shí)點(diǎn)主要具有如下幾個(gè)特性：

1)原子性 當(dāng)采用平行劃分法對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行劃分之后，認(rèn)為它是不可再分的最基本的知識(shí)點(diǎn)單位. 知識(shí)點(diǎn)的這種原子特性表明了知識(shí)點(diǎn)是構(gòu)成某種知識(shí)系統(tǒng)的最基本單位. 人們學(xué)習(xí)并掌握某種知識(shí)就是要學(xué)習(xí)和掌握其一系列知識(shí)點(diǎn). 知識(shí)點(diǎn)的原子性也是研究一定范圍內(nèi)知識(shí)點(diǎn)之間相互關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ). 2)前驅(qū)性 一般來(lái)說(shuō)，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都可作為其他相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的前導(dǎo)，表明只有掌握好本知識(shí)點(diǎn)，才能更好地學(xué)習(xí)和掌握相關(guān)的后續(xù)知識(shí)點(diǎn). 3)后繼性(或稱(chēng)后續(xù)性) 與前驅(qū)性相對(duì)，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握都建立在其他已掌握的知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)之上，即以其他知識(shí)點(diǎn)為前驅(qū). 雖然在某一特定范圍內(nèi)有些知識(shí)點(diǎn)不存在后續(xù)知識(shí)點(diǎn)，但是這些知識(shí)點(diǎn)總會(huì)在后來(lái)的學(xué)習(xí)和創(chuàng)新中直接或間接地運(yùn)用到. 這種后繼性也說(shuō)明了對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)是無(wú)止盡的. 前驅(qū)性和后繼性表明知識(shí)點(diǎn)之間不是獨(dú)立存在的，而是相互關(guān)聯(lián)的，這種關(guān)聯(lián)具有方向性，表明知識(shí)的學(xué)習(xí)應(yīng)該按先后順序進(jìn)行，要循序漸進(jìn). 4)類(lèi)屬性 任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都會(huì)屬于某一類(lèi)型的知識(shí)，如概念型、定義型和定理型等. 研究其類(lèi)屬性有助于對(duì)相同類(lèi)型知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，也便于掌握相同類(lèi)型知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法. 5)局部強(qiáng)關(guān)聯(lián)性 任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都屬于某一知識(shí)范圍，而且在這一范圍內(nèi)相互關(guān)聯(lián)的程度比較強(qiáng). 例如高校中開(kāi)設(shè)的每一門(mén)課程都是一個(gè)知識(shí)范圍，其內(nèi)部知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)程度要強(qiáng)于它們與其他課程中知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)程度；再如大學(xué)專(zhuān)業(yè)，各專(zhuān)業(yè)內(nèi)部的知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)程度要強(qiáng)于它們與其他專(zhuān)業(yè)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)程度. 知識(shí)點(diǎn)的這種局部強(qiáng)關(guān)聯(lián)性表明專(zhuān)業(yè)知識(shí)是由本專(zhuān)業(yè)內(nèi)一系列相互關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)聚集構(gòu)成，有機(jī)地構(gòu)建了本專(zhuān)業(yè)的知識(shí)系統(tǒng).

2 偏序關(guān)系的理論基礎(chǔ)

先引出偏序理論中一些相關(guān)定義和性質(zhì)[3-4].

定義1 設(shè)R是非空有限論域U上的一個(gè)二元關(guān)系，其中R?U×U，如果R滿足自反性、反對(duì)稱(chēng)性和傳遞性，那么稱(chēng)R為偏序關(guān)系，記為≤, (U，≤)稱(chēng)為偏序集. 對(duì)?x,y∈U，x≤y, 且x≠y，若不存在其他元素z∈U，使x≤z和z≤y，則稱(chēng)元素y蓋住x，或稱(chēng)y是x的直接后繼(反過(guò)來(lái)稱(chēng)x是y的直接前驅(qū))，并記COVU={|x,y∈U, y蓋住x}.

定義2 設(shè)(U，≤)為一個(gè)偏序集，對(duì)于確定的x∈U，稱(chēng)[x]s={y| y∈U，y≤x}為(U，≤)上的一個(gè)偏序類(lèi). 稱(chēng)[x]c={y| y∈U，x蓋住y }為(U，≤)上的一個(gè)直接偏序類(lèi).

定義3 設(shè)(U，≤)為一個(gè)偏序集，A?U是U的一個(gè)子集，對(duì)于a∈U，若?x∈A，有a≤x，則稱(chēng)a為A的一個(gè)下界. A的下界可能有多個(gè)，若A的下界集合中存在一個(gè)最大元素，則稱(chēng)該元素為A的下確界.同樣有A的上界和上確界的定義.

定義4 設(shè)(U，≤)為一個(gè)偏序集，A?U是U的一個(gè)子集，對(duì)于a∈A，若不存在x∈A，且x≠a,使x≤a，則稱(chēng)a為A的一個(gè)極小元. 同理可得到A的極大元的定義.

定義5 設(shè)(U，≤)為一個(gè)偏序集，A?U是U的一個(gè)子集，若?x∈A和?y∈A，有x≤y或y≤x，則稱(chēng)A為鏈. 設(shè)另有一個(gè)鏈B?U，若A∩B=Φ，則稱(chēng)A和B為兩條平行鏈，否則稱(chēng)A與B為兩條相交鏈，稱(chēng)A∩B中的點(diǎn)為交點(diǎn).

“我也可以進(jìn)便宜的肥料，多一些利潤(rùn)，但是我就是沒(méi)把利潤(rùn)看得太重。我只是一心為農(nóng)民服務(wù)，一心為我們縣的老百姓服務(wù)。”吉林省乾安縣的70歲老太太翟桂芝面對(duì)記者的采訪時(shí)，緊張的神情下透漏出些許年輕人的羞澀，但是說(shuō)起自己做農(nóng)資的經(jīng)歷卻是滔滔不絕。

從幾何的直觀上看，鏈A中的元素可以按照a1，a2，…，an順序的排列在一條直線上.

定義6 設(shè)(U，≤)為一個(gè)偏序集，A?U是U的一個(gè)鏈，則稱(chēng)A的最小元素為鏈A的源點(diǎn)，稱(chēng)A的最大元素為鏈A的目標(biāo)點(diǎn). 設(shè)A={a1，a2，…，an}，且a1≤a2≤…≤an,則稱(chēng)從源點(diǎn)a1經(jīng)過(guò)a2，…，最后到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)an為一條從源點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的路徑，且路徑長(zhǎng)度為n-1.

3 偏序模型下知識(shí)點(diǎn)集的特性及含義

根據(jù)上述偏序理論，文中以計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言課程和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程的部分知識(shí)點(diǎn)集為例，探討知識(shí)點(diǎn)集的偏序特性，如表1所示. 這里U1和U2分別表示C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)課程和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C語(yǔ)言版)課程的部分知識(shí)點(diǎn)集.

表1 C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)部分知識(shí)點(diǎn)及其直接前驅(qū)知識(shí)點(diǎn)

續(xù)表1

設(shè)R1表示U1中知識(shí)點(diǎn)之間關(guān)系的集合，則具體表示如下：

U1={k14,k15,k19,k21,k22,k23,k24,k26,k28,k29,k30,k31,k32,k33,k35,k36,k37,k40,k41,k42,k43},

R1={,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,}，對(duì)應(yīng)關(guān)系圖如圖1所示. 現(xiàn)約定對(duì)R1進(jìn)行擴(kuò)展，向R1中增加一些關(guān)系元素：1)所有的∈R1；2)若和∈R1，則∈R1，并約定對(duì)R1進(jìn)行擴(kuò)展后仍然沿用R1. 從知識(shí)點(diǎn)的依賴(lài)關(guān)系上解釋?zhuān)@兩個(gè)擴(kuò)展約定是具有實(shí)際意義的，并不矛盾. 從而可以證明，R1是U1上的一個(gè)偏序關(guān)系. 同理，設(shè)R2表示U2中知識(shí)點(diǎn)之間關(guān)系的集合，則結(jié)論與R1相同，在此省略.

3.1 知識(shí)點(diǎn)鏈

知識(shí)點(diǎn)偏序集中存在若干條知識(shí)點(diǎn)鏈，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都屬于某個(gè)(些)知識(shí)點(diǎn)鏈.圖1是U1在沒(méi)有對(duì)R1進(jìn)行擴(kuò)展約定前提下的自然依賴(lài)關(guān)系圖. 從圖1中可知，存在多條知識(shí)點(diǎn)鏈，如{k22,k37}、{k14,k23,k24,k30,k31}和{k19,k42,k43}等. 知識(shí)點(diǎn)鏈表明知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)先后順序不同，如欲學(xué)習(xí)k37必先學(xué)習(xí)k22、學(xué)習(xí)k31必先學(xué)習(xí)k30、學(xué)習(xí)k30必先學(xué)習(xí)k24，……，依此按鏈路逆向推理；對(duì)于處在平行鏈上的知識(shí)點(diǎn)，其學(xué)習(xí)路徑不同，在學(xué)習(xí)時(shí)間的安排上可不必考慮其學(xué)習(xí)時(shí)間的先后順序，如{k14,k23,k24,k30,k31}和{k19,k42,k43}是兩條并行鏈，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)k24和k42，彼此沒(méi)有學(xué)習(xí)時(shí)間上先后順序的關(guān)系；對(duì)于處在相交鏈上的交點(diǎn)，必須等待以該交點(diǎn)為目標(biāo)點(diǎn)的鏈上所有知識(shí)點(diǎn)(即其前驅(qū)知識(shí)點(diǎn))的學(xué)習(xí)完成之后才能開(kāi)始學(xué)習(xí)，因此為了盡快學(xué)習(xí)交點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，必須盡早安排鏈上其前驅(qū)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，如{k19,k21,k22,k24,k33}和{k26,k32,k33}兩條鏈交于k33，為盡快學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)k33，必須盡早安排學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)k19、k21、k22、k24、k26和k32. 顯然在不考慮每個(gè)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)時(shí)間長(zhǎng)短的情況下，應(yīng)該盡早安排路徑長(zhǎng)的鏈上知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)[5].

在圖1中存在同源同目標(biāo)的多條知識(shí)點(diǎn)鏈，即源點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)都相同的鏈有多條，此時(shí)可以忽略那些長(zhǎng)度為1的鏈，并不影響對(duì)此目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí). 因?yàn)檫@n條鏈都屬于相同的源和目標(biāo)，并且存在長(zhǎng)度大于1的其他鏈. 對(duì)于學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)而言，僅僅學(xué)習(xí)源知識(shí)點(diǎn)是不夠的，必須學(xué)完目標(biāo)點(diǎn)的其他所有前驅(qū)知識(shí)點(diǎn)才可，而這些前驅(qū)知識(shí)點(diǎn)中已經(jīng)包含了源點(diǎn). 例如，源點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)分別為k19和k36的鏈路有三條：{k19,k36}、{k19,k21,k35,k36}和{k19,k21,k22,k35,k36}，鏈{k19,k36}的長(zhǎng)度為1，忽略此鏈并不影響對(duì)k36知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí).

圖1 R1的關(guān)系圖

3.2 知識(shí)點(diǎn)之間的直接依賴(lài)

由偏序集覆蓋的定義可知，COVU1即是所有知識(shí)點(diǎn)之間的直接依賴(lài)關(guān)系集的最小集，知識(shí)點(diǎn)之間的直接依賴(lài)關(guān)系，即直接前驅(qū)和直接后繼的關(guān)系，表明在時(shí)間上學(xué)習(xí)這些知識(shí)點(diǎn)的直接前后關(guān)系. U1中任一知識(shí)點(diǎn)的偏序類(lèi)都是以該知識(shí)點(diǎn)為目標(biāo)點(diǎn)的所有鏈路上知識(shí)點(diǎn)的集合. 比如知識(shí)點(diǎn) k36的偏序類(lèi)[k36]s={k35,k22,k21,k19}，表明知識(shí)點(diǎn)k35、k22、k21和k19都是U1集合中學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)k36的預(yù)備知識(shí)點(diǎn)，即前驅(qū)知識(shí)點(diǎn)，|[k36]s|為4，是k36前驅(qū)知識(shí)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，表示影響學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)k36的其他知識(shí)點(diǎn)數(shù)目.

U1中任一知識(shí)點(diǎn)的直接偏序類(lèi)則是被該點(diǎn)蓋住的所有知識(shí)點(diǎn)的集合，是該知識(shí)點(diǎn)直接前驅(qū)的最小集，是覆蓋COVU1的子集. 如k36的偏序類(lèi)[k36]c={k35}，表明知識(shí)點(diǎn)k35是學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)k36的不可缺少的直接前驅(qū)知識(shí)點(diǎn)，k35知識(shí)點(diǎn)學(xué)過(guò)之后即可學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)k36. 其實(shí)，從圖1中可知，k36的直接前驅(qū)知識(shí)點(diǎn)為{k35,k19}，但是由前面討論可知，k19并非k36的必要的直接前驅(qū)[6].

3.3 課程之間知識(shí)點(diǎn)集的偏序性

綜合U1、R1和U2、R2，可知U1∩U2={k28,k30,k33,k36,k40,k41,k43}是C語(yǔ)言中的知識(shí)點(diǎn)，表明數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(C語(yǔ)言版)課程直接依賴(lài)C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)知識(shí)，在學(xué)習(xí)以C語(yǔ)言為算法描述工具的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程之前必須具備C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)知識(shí). U1∪U2是這兩門(mén)課程中部分知識(shí)點(diǎn)集合，R1∪R2則是U1∪U2中知識(shí)點(diǎn)之間關(guān)系的集合. 可以證明，按照上述擴(kuò)展約定擴(kuò)展R1∪R2后，它也是一個(gè)偏序關(guān)系，U1∪U2則是一個(gè)偏序集. 這表明兩個(gè)互為直接前驅(qū)和直接后繼的課程知識(shí)點(diǎn)集可以合并為一個(gè)更大的知識(shí)點(diǎn)偏序集.

4 結(jié)語(yǔ)

知識(shí)點(diǎn)是構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)的基本單位. 知識(shí)點(diǎn)之間的偏序性表明在學(xué)習(xí)上存在先后順序. 知識(shí)點(diǎn)偏序關(guān)系中存在許多條知識(shí)點(diǎn)鏈，每一條鏈都是一條知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)的路徑. 本文中僅研究了課程內(nèi)知識(shí)點(diǎn)集的某些偏序性問(wèn)題，其實(shí)整個(gè)專(zhuān)業(yè)的知識(shí)點(diǎn)集也具有類(lèi)似的偏序性，因此隨后的研究?jī)?nèi)容還有很多，如知識(shí)點(diǎn)屬性研究、關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)鏈的研究和核心知識(shí)點(diǎn)集的研究等. 關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)對(duì)學(xué)習(xí)其他知識(shí)起著重要的作用，對(duì)教師教學(xué)具有指導(dǎo)意義，抓住關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，有的放矢，采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法；對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)，掌握關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，有助于理順學(xué)習(xí)思路，取得事半功倍之效，因此尋找關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)將是今后研究?jī)?nèi)容. 此外，尋找專(zhuān)業(yè)的核心知識(shí)點(diǎn)集也將是今后研究的內(nèi)容.

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Knowledge Point Set and Its Characteristics of Partial Order

BI Bao-xiang1, GONG Ping-juan2, LIU You-song1
(1. Department of Information Science & Technology, Oujiang University, Wenzhou University, Wenzhou 325035, China; 2. College of Mathematics & Information Science, Wenzhou University, Wenzhou 325035,China)

The concept, division method and characteristics of knowledge point are discussed in this paper. The characteristics of partial order about the part of knowledge point sets ,which are part of the two selected college curriculums, are researched on the theory of partial order, and the two knowledge point sets and their merger are proved a posets. By means of researching on precursor and successor of knowledge points, direct dependence on the relationship between knowledge points and knowledge chain, the practical meanings in researching the characteristics of partial order of knowledge point sets are elaborated.

Knowledge point set; Partial Order; Knowledge-point link

TP301

A

1009-2854(2010)08-0009-04

2010-07-28;

2010-08-15

畢保祥(1961― )，男，湖北襄樊人，溫洲大學(xué)甌江學(xué)院信息系副教授.

陳 丹）