球面配流副二維穩(wěn)態(tài)壓力場的數(shù)值求解方法研究

李小金 苑士華 胡紀濱

北京理工大學車輛傳動國家重點實驗室,北京,100081

0 引言

缸體與配流盤之間的平衡分析是軸向柱塞液壓元件設計中不可缺少的環(huán)節(jié),而精確求得配流副間油膜的壓力場則是平衡分析的關鍵。國內(nèi)外學者針對平面配流副進行了大量的研究工作。Shute等[1]通過電模擬法計算了平面配流副上高低壓油槽間過渡區(qū)域的壓力分布,并給出了等效延伸角。Yamaguchi等[2-3]、Pan等[4]、陳卓如等[5]、王有榮等[6]利用不同形式的數(shù)值計算方法給出了平面配流副壓力場分布的數(shù)值解。而針對目前應用較多的球面配流副的研究則極少,且多數(shù)為以測量油膜形狀為目的的試驗研究[7-8]。在壓力場研究方面,基本上采用忽略過渡區(qū)壓力場的方法,只研究一維徑向壓力場分布[9],這與實際的情況通常有較大的偏差。

油膜的二維壓力場可由雷諾方程求得。雷諾方程是非線性二階偏微分方程,通常很難求得解析解,需要使用計算流體力學方法進行數(shù)值求解。有限差分法是其中發(fā)展最為成熟、應用最為廣泛的數(shù)值求解方法之一。有限差分法采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進行計算,由于配流副油膜形狀復雜,因此,為保證網(wǎng)格質(zhì)量及求解精度,需要在求解的物理區(qū)域建立貼體網(wǎng)格,貼體網(wǎng)格在計算域中將被映射為矩形網(wǎng)格。貼體網(wǎng)格的生成方法主要有三種:代數(shù)方法、微分方程方法和保角變換方法[10],其中微分方程方法可以處理各種不規(guī)則邊界,應用最為廣泛。但微分方程法需要以平面直角坐標系作為物理區(qū)域的坐標系,而對于球面配流副,其物理區(qū)域為球面,因此,無法將物理區(qū)域通過平面直角坐標系表示。本文探討球面坐標系下貼體網(wǎng)格的生成方法,解決球面配流副二維壓力場的求解問題。

1 貼體坐標系下球面配流副的雷諾方程

本文在文獻[11]中提到的雷諾假設條件下,利用不可壓縮黏性流體的雷諾方程求解球面配流副壓力場。張量形式的雷諾方程表達式為:

由雷諾假設,在油膜厚度方向不計壓力的變化,因此球面配流副的壓力場可以簡化為二維穩(wěn)態(tài)壓力場。式(1)是可以直接在球坐標系下進行數(shù)值求解的,但由于配流副的形狀復雜,求解時會給邊界條件的描述帶來很大困難,同時數(shù)值求解的精度也不高。因此通常選擇在與油膜邊界貼合的貼體坐標系下對雷諾方程進行求解[12-13]。設貼體坐標系為(ξ,η),球面油膜所在球面坐標系為(θ,φ)。應用張量分析的相關知識[14],并將貼體坐標系下的速度分量以球坐標系下的缸體的轉(zhuǎn)速 ω表示。最終,式(1)在貼體坐標系下可展開為

2 貼體網(wǎng)格的生成方程

球面配流副屬于空間曲面,因此已有的網(wǎng)格生成方程并不適用。本文將推導適用于球面配流副的貼體網(wǎng)格生成方程。由微分幾何學可知,空間曲面上的坐標系均應滿足方程[15]:

式中,r為曲面上任意一點的矢徑;rα、rβ為坐標曲線在該點的切矢量;ξα、ξβ為坐標系的坐標;L為微分算子;g為度規(guī)張量分量gαβ的行列式的值;Δ2為Beltrami二階微分算子;n為空間曲面的單位法矢量為空間曲面的平均曲率。

式中,P、Q為控制函數(shù)。

式(4)、式(5)即為油膜貼體網(wǎng)格的生成方程。通過生成方程求解貼體坐標系中每個網(wǎng)格點在球坐標系中的坐標值即可自動生成油膜貼體網(wǎng)格。當不對貼體網(wǎng)格進行特定控制時,可令P=Q=0,而使用不同形式的控制函數(shù)可以對貼體網(wǎng)格的局部密度產(chǎn)生不同的控制效果。常用的控制函數(shù)為[13]

球面配流副上存在多個油口(對于液壓泵/液壓馬達為2個,對于液壓變壓器為3個),而且各個油口的包角、壓力邊界條件也不盡相同。為了簡化雷諾方程的求解,形成一套統(tǒng)一的建模方法,本文采用在各個油口分別建立貼體坐標系生成貼體網(wǎng)格,然后采用將其兩兩耦合的方法建立整個球面配流副上的貼體網(wǎng)格。這種建模方法的優(yōu)點在于貼體網(wǎng)格的生成與油口數(shù)量及包角無關,而且對于各個貼體坐標系,雷諾方程都有相同的形式,僅僅邊界條件的數(shù)值不同而已。如圖1所示,斜軸式液壓變壓器的球面配流副共有A、T、B 3個油口,因此作切口7—8、9—10、11—12,將物理域分為3塊,分別建立3個貼體坐標系。可以看出,在物理域中邊界復雜的空間曲面在計算域中被映射為3個矩形平面。A、T、B口復雜的壓力邊界在計算域中分別被映射為橫坐標ξ的等值線1—1′、3 —3′和5—5′;回油壓力邊界在計算域中分別被映射為橫坐標ξ的等值線2—2′、4—4′和6—6′,其中 ,切口邊界 7—8 、9 —10、11—12為油口間的耦合邊界,并不是壓力邊界,該處的壓力值需在計算過程中確定。綜上所述,物理域中原本復雜的油膜邊界條件在計算域中變得十分簡單,而求解區(qū)域在計算域中也轉(zhuǎn)化為標準的矩形區(qū)域,從而大大降低了雷諾方程的求解難度,提高了求解精度。

3 網(wǎng)格生成方程與雷諾方程的求解

網(wǎng)格生成方程(式(4)、式(5))與雷諾方程(式(2))均為二階偏微分方程,可以用常規(guī)的有限差分迭代法在圖1b所示的計算域中求解。圖2所示為完整的求解流程。

這里需要說明的是,在迭代求解網(wǎng)格生成方程(式4)時,會發(fā)現(xiàn)在該方程的若干系數(shù)中還包含待求變量θ的三角函數(shù)項,這樣迭代方程將是隱式方程,直接求解將極大影響計算速度。為此,本文提出:在迭代過程中使用待求變量θi,j周圍的4個點的均值替換三角函數(shù)項中出現(xiàn)的θi,j,進而將迭代方程轉(zhuǎn)化為顯式方程的形式,從而大大提高計算速度。表1所示為網(wǎng)格密度不同、但精度相同條件下使用顯式方程與隱式方程求解所花費的時間。從表1可以看出,采用近似平均的方法將隱式方程轉(zhuǎn)化為顯式方程求解明顯縮短了求解時間。

表1 隱式方程與顯式方程求解時間對比

求解雷諾方程前,還需確定配流副上各點的油膜厚度。球面配流副的間隙可認為是由兩個球面半徑相同的球面沿軸向偏移形成的偏心圓球縫隙。球面配流副上各點油膜厚度可表示[9]為

4 算例及討論

本文在MAT LAB環(huán)境下以斜軸式液壓變壓器為例,對球面配流副的二維穩(wěn)態(tài)壓力場進行了編程求解,并針對不同油膜狀態(tài)下的壓力分布特性進行比較分析。計算時液壓變壓器球面配流副的相關參數(shù)為:球面半徑R=112mm,密封帶半徑 r1=6.75mm、r2 = 10.35mm、r3=20.75mm、r4=24mm,油口包角 120°均布,配流盤控制角度60°,A口壓力20MPa,T口壓力0.5MPa,B口壓力20MPa,回油壓力0.1MPa。

圖3所示為求解網(wǎng)格生成方程生成的球面配流副貼體網(wǎng)格。為顯示清晰,圖中所示的網(wǎng)格數(shù)量為30×300(3個計算域,每個計算域劃分為10×100個網(wǎng)格)。

圖4a所示為e=5μ m 、ω=0時的油膜壓力場分布。可以看出壓力場關于x軸呈對稱分布。當兩相鄰油口壓力水平較為接近時,油口間過渡區(qū)域大部分的壓力水平接近油口壓力。顯然,在這種情況下過渡區(qū)域的壓力場是不能假設為零的。圖4b為e=10μ m、ω=2000 r/min時的油膜壓力場分布。可以看出,壓力場分布與圖4a完全相同。

綜上,缸體與配流盤處于偏心狀態(tài)(對配流副進行理論分析時常假設為這一狀態(tài))時壓力場分布與偏心距、缸體轉(zhuǎn)速無關。這一點與常規(guī)的理論計算結(jié)果是一致的,這也是應用剩余壓緊力理論對配流副進行設計以及計算時無法直接確定油膜厚度的原因。此外,本文完全按照真實油膜區(qū)域求解,因而可以獲得包括過渡區(qū)域在內(nèi)的二維穩(wěn)態(tài)壓力場分布。值得注意的是,過渡區(qū)域的壓力場在相鄰油口壓力接近時不能假設為零,其產(chǎn)生的分離力是不能被忽略的,否則將給分離力的計算造成較大的誤差。

李小寧[9]給出了忽略過渡區(qū)壓力場(認為只在徑向上存在壓力梯度)的情況下,同軸偏心時球面配流副密封帶徑向壓力場分布的解析解。這一解析解雖然不能描述過渡區(qū)的壓力分布,但是在描述油口區(qū)域密封帶的壓力分布時是準確的。圖5所示為配流盤A口區(qū)域內(nèi)外密封帶壓力分布的數(shù)值解與解析解的對比圖。可以看出,在貼體坐標系下求出的數(shù)值解與解析解非常接近。

由于配流副尺寸通常較小,壓力場也很難通過試驗測得。有關球面配流副過渡區(qū)域的壓力場分布的試驗數(shù)據(jù)幾乎沒有,因此無法直接對計算結(jié)果進行驗證。而平面配流副是進行理論與試驗研究時最常使用的配流副,對其過渡區(qū)域壓力場的研究則相對較多一些。當球面半徑很大時,可以認為球面配流副即近似為平面配流副。因此,作為對比和驗證,本文使用球面配流副的貼體網(wǎng)格生成方程及相應的雷諾方程進行平面配流副的近似計算,計算時取球面半徑R=100m、配流盤半徑r4=30mm。由簡單的幾何計算可知,此時配流盤的球面高度僅為4.5μ m,完全滿足通常平面配流盤平面度不大于5μ m的要求,這樣的近似是可行的。圖6所示為取量綱一寬度=0.4、量綱一槽寬=0.4、高低壓槽端部區(qū)夾角ε=32°時,計算所得量綱一等壓力分布線與文獻[1]中電模擬法結(jié)果的對比。可以看出,兩者非常接近。圖7所示為取=0.4時,計算得出的等效延伸角與文獻[1]中結(jié)果的對比。可以看出,兩者誤差很小,絕大部分結(jié)果誤差小于0.5°。在實際應用中等效延伸角變化1°大約相當于分離力變化1%,這樣的誤差完全可以接受。

5 結(jié)論

(1)推導出了基于球面坐標系的貼體網(wǎng)格生成方程,在貼體坐標系下求解雷諾方程得到了球面配流副的二維穩(wěn)態(tài)壓力場,為今后進一步開展球面配流副二維壓力場特性的理論研究提供了條件。

(2)針對迭代求解貼體網(wǎng)格生成方程時迭代方程為隱式方程的問題,提出了通過近似平均將隱式方程轉(zhuǎn)化為顯式方程的方法,可在不降低求解精度的條件下大大縮短求解時間。

(3)對液壓變壓器球面配流副不同工況下的壓力場分布進行了計算求解。計算結(jié)果表明壓力場分布與油膜厚度、缸體轉(zhuǎn)速無關。油口區(qū)域密封帶徑向壓力分布的計算結(jié)果與解析解相吻合。此外,當兩相鄰油口壓力接近時,過渡區(qū)域的壓力場不能忽略。

(4)用球面配流副近似平面配流副進行了壓力場計算。結(jié)果表明本文得出的計算結(jié)果與采用電模擬法得到的壓力場分布、等效延伸角等結(jié)果非常接近,證明本文提出的二維壓力場計算方法正確、可行。

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