應用直線參數方程解比例競賽題

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(泰州實驗學校 江蘇泰州 225300)

應用直線參數方程解比例競賽題

●于志洪

(泰州實驗學校 江蘇泰州 225300)

眾所周知，由定比分點公式

可求出分點M的坐標(x,y).在此，若以變數λ為參數,l為過點M1(x1,y1),M2(x2,y2)的直線，則對于每一個不等于-1的參數λ，l上都有1個點與之對應；反之，對于l上的除點M2外的每一個點M都有一個值λ與之對應，即有下面的一一對應關系：

{λ：λ∈R,λ≠-1}?{M:M∈l,M≠M2}，

因此，方程

(1)

是直線l的參數方程.

下面用直線參數方程來解競賽題.

1 求比值

例1在△ABC中，已知D為BC的中點，E為AD的中點.又BE的延長線交AC于點F，求AF∶FC.

(2007年河南省焦作市初中數學競賽試題)

又直線AC的兩點式參數方程為

(3)

將式(3)代入式(2),得

(a+λ)b-(a+2)b+b(1+λ)=0,

解得

即

AF∶FC=1∶2.

圖1 圖2

2 求連比值

例2在△ABC中，D,E是BC的三等分點，M是AC的中點，BM分別交AD,AE于點G,H，則BG∶GH∶HM=

( )

A.3∶2∶1 B.4∶2∶1

C.5∶4∶3 D.5∶3∶2

(2008年江西省南昌市高中數學競賽試題)

解建立如圖2所示的直角坐標系.設A(2a,2b),C(6,0),則D(2,0),E(4,0),M(a+3,b).由兩點式得AD的方程為

bx+(1-a)y-2b=0,

(4)

AE的方程為

bx+(2-a)y-4b=0.

(5)

又BM的兩點式直線參數方程為

(6)

將式(6)代入式(4),得

解得

λ=1，

即

(7)

又將式(6)代入式(5),得

解得

即

(8)

設BG=m，GH=n，HM=p，則由式(7)，式(8)得

即

解得

因此

BG∶GH∶HM=m∶n∶p=

5∶3∶2.

故選D．

3 證四線段成比例

(2007年湖南省沅江市初中數學競賽試題)

證明建立如圖3所示的直角坐標系，則EDF的方程為

設A(a,b),C(c,d)，則B(-c,-d),從而直線AC的兩點式參數方程為

(10)

(11)

把式(10)代入式(9),可得

即

從而

把式(11)代入式(9)可得

即

因此

圖3 圖4

4 證線段比積的關系

例4(Menelaus定理)一直線截△ABC的邊BC,CA,AB或其延長線于點D,E,F，求證:

(2007年浙江省舟山市初中數學競賽試題)

證明建立如圖4所示的直角坐標系，則EDF的方程為

x=0.

(12)

設A(x1,y1),B(x2,y2)，C(x3,y3)，則直線CA的兩點式參數方程為

(13)

把式(13)代入式(12)可得

同理可得

因此

5 證線段比和的關系

(2008年貴州省畢節市高中數學競賽試題)

證明建立如圖5所示的直角坐標系，則l的方程為

y=0.

(14)

設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，則

又直線AB的兩點式參數方程為

(15)

把式(15)代入式(14),得

從而

從而

綜上所述，應用直線的兩點式參數方程解、證這類問題時，首先要建立直角坐標系，設置好有關各點的坐標，寫出一條直線的普通方程，再列出與這條直線相交的另一條直線的兩點式參數方程，然后將參數方程代入普通方程中求出λ的值，按照結論要求解、證即可.

圖5 圖6

一般說來，這類問題有如下推廣.

定理1已知D和E分別是△ABC的邊BC和CA(或其延長線)上的點，AD與BE交于點F.

證明建立如圖6所示的直角坐標系.設C(1，0)，A(a,b),則由定比分點坐標公式得

由兩點式得AD的方程為

b(1+m)x+(m-a-am)y-mb=0.

(16)

又直線BE的兩點式參數方程為

(17)

把式(17)代入式(16),得

λb(1+m)(1+na)+ (m-a-am)λnb-

mb(1+λ)(1+n)=0,

整理得

λ-m-mn=0,

從而

結論(1)得證.

結論(2)的證明與結論(1)類似，證明留給讀者完成.

通過上述研究可知,直線兩點式參數方程在競賽中的應用不可忽視，上述比例問題的推廣也通俗易懂.此專題內容不僅符合新課程改革關于“拓寬視野，加強研究”的理念要求，而且利于學生接受，適合教師講解.實踐表明，研究課本中定理、公式的應用及推廣，對于幫助學生融會貫通“雙基”知識，培養學生的創新意識和探索精神，對于幫助學生提高綜合解題水平、理解課本內容、啟迪思維、開拓視野，均很有益處.

為此，筆者認為，作為一名中學數學教師，在今后的教學過程中，有目的地引導學生對一些結合課本內容的專題進行研究，是很有必要的.

[1] 于志洪.應用直線兩點式參數方程解幾何題[J].海南教育學院學報:綜合版.1997,8(2):11-12.