以選修系列3為背景的數學高考試題賞析

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(內江師范學院數學與信息科學學院 四川內江 641112)

以選修系列3為背景的數學高考試題賞析

●趙思林

(內江師范學院數學與信息科學學院 四川內江 641112)

2003年4月，教育部頒布了《普通高中數學課程標準(實驗)》(以下簡稱《標準》)，從而使高中數學新課程改革穩步、有序地推進.高考數學命題受此影響，出現了以新課程理念為背景的命題新視角，涌現出了越來越多的體現新課程理念的好題目．《標準》中選修系列3由6個專題組成：數學史選講、信息安全與密碼、球面上的幾何、對稱與群、歐拉公式與閉曲面分類、三等分角與數域擴充．由此可以看出，選修系列3涉及較多的高等數學知識．這些課程過去在中學里沒有出現過，這對提高學生的學習興趣和開闊學生的數學視野是很有益的．雖然《標準》明確說明“系列3不作為高校選拔考試的內容”，但在近幾年的高考試題中出現了一些涉及選修系列3內容的優秀試題，這些試題背景新穎、設計獨特，有較高的思維價值和良好的檢測功能．它們對引導高中數學教學、推動高中數學課程改革起到了正面的導向作用．

1 以數學史為背景

數學史是數學文化的重要組成部分，加強數學史教育是培養學生人文素養的重要舉措．了解數學發展過程中的重要事件、重要人物與重要成果，對體會數學對人類文明發展的作用，提高學習數學的興趣，感受數學家的嚴謹態度和鍥而不舍的探索精神具有重要的意義．

例1古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數．譬如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數為正方形數．下列數中既是三角形數又是正方形數的是

( )

A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378

(2009年湖北省數學高考理科試題)

圖1

圖2

例22002年在北京召開的國際數學家大會的會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由4個全等直角三角形與1個小正方形拼成的1個大正方形(如圖3).如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于________．

(2007年北京市數學高考文、理科試題)

圖3

2 以信息安全與密碼為背景

數論是信息安全與密碼十分必要的數學基礎，它在現代信息理論、信息安全、保密通信中有著非常廣泛的應用．

例3為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按照一定規則加入相關數據組成傳輸信息．設定原信息為a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2)，傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2,⊕運算規則為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列接收信息一定有誤的是

( )

A.11010 B.01100 C.10111 D.00011

(2008年陜西省數學高考文、理科試題)

賞析本題涉及到選修3-2中的信息安全與密碼．由題意知，選擇支A的原信息為101，選擇支B的原信息為001，選擇支C的原信息若為011，則傳輸信息為10110，而不應該是10111，所以C是錯誤的．故選C．

(2006年湖北省數學高考理科試題)

圖4

賞析聯想楊輝三角可以發現:在萊布尼茨三角形中，每個數都等于它腳下的2個數字之和,即

點評此題涉及到選修3-2的信息安全與密碼中的初等數論，是數論中的單位分數．本題中的萊布尼茨三角形選自柯召院士、孫琦教授合著的《單位分數》第39頁．

例5為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密).已知加密規則為：明文a,b,c,d對應密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對應密文5，7，18，16．當接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文為

( )

A.4，6，1，7 B.7，6，1，4

C.6，4，1，7 D.1，6，4，7

(2007年陜西省數學高考文、理科試題)

圖5

賞析本題涉及到選修3-2中的信息安全與密碼．當考生讀懂題意后，運用方程思想列出4個線性方程，即可獲解．題目中定義了一個新映射(如圖5)，即知道了象，求原象．由條件得

a=6,b=4,c=1,d=7.

故選C．

點評學生通過此題可初步了解情報或重要信息傳輸的原理和方法，體會信息安全與密碼的重要作用．

3 以球面幾何為背景

球面幾何是一個重要的非歐幾何的數學模型，它在大地測量、天體分析、航天航空、全球定位等方面有著廣泛的應用．

( )

(2006年四川省數學高考理科試題)

賞析本題以球面幾何中的余弦定理為背景．球面三角形ABC的3條邊分別為

由球面三角形的余弦定理

cosa=cosbcosc+sinbsinccosA，

得

4 以“群”為背景

高等代數和近世代數是信息安全與密碼的重要基礎，它們在信息安全和網絡技術中有著非常廣泛的應用．

例7非空集合G關于運算⊕滿足：(1)對任意a,b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在e∈G，使得對一切a∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，則稱G關于運算⊕為“融恰集”．現給出下列集合和運算：

①G={非負整數}，⊕為整數的加法;

②G={偶數}，⊕為整數的乘法;

③G={平面向量}，⊕為平面向量的加法;

④G={二次三項式}，⊕為多項式的加法;

⑤G={虛數}，⊕為復數的乘法.

其中G關于運算⊕為“融恰集”的是________(寫出所有“融恰集”的序號).

(2006年四川省數學高考理科試題)

賞析由定義知,“融洽集”滿足2個條件：(1)G中任意2個元素經過運算⊕后結果還在G中，即非空集合G對運算⊕“封閉”；(2)集合G中存在一個“特殊元素”e.用方程的觀點來看，條件(2)實質上是一個方程組，任意給出的a是否能解出e．下面分別判斷這2個條件是否都成立．

①因為任意2個非負整數相加仍是非負整數，所以集合G對運算⊕“封閉”；又因為存在單位元e=0，使得對—切a∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，所以G關于運算⊕為“融洽集”．

②因為集合G中不存在單位元，所以G關于運算⊕不是“融洽集”．

③因為集合G對運算⊕“封閉”，且存在一個單位元e=0滿足條件，所以G關于運算⊕為“融洽集”．

④因為集合G對運算⊕“封閉”，但G中不存在單位元e，所以G關于運算⊕不是“融洽集”．

⑤因為2個虛數相乘可能為實數，所以集合G對運算⊕不“封閉”，故G關于運算⊕不是“融洽集”．

綜上所述，G關于運算⊕為“融洽集”的是①，③．

點評本題以近世代數中群的定義為背景，主要考查學生的閱讀理解能力、抽象與具體轉化能力、方程思想、反例思想方法，是一道能有效地考查學生創新意識的好題目．

5 以“數域”為背景

①整數集是數域；

②若有理數集Q?M，則數集M必為數域；

③數域必為無限集；

④存在無窮多個數域．

其中正確的命題序號是________(把你認為正確的命題序號填上).

(2008年福建省數學高考理科試題)

點評本題設計獨特、背景深刻，具有很強的抽象性、發散性和創新性．這類以高等數學知識為背景的問題，能有效地考查學生進一步學習的潛質，已成為高考試題的一大亮點和熱點，應予注意．

以選修系列3為背景的高考數學試題，具有立意鮮明、背景深刻、情境新穎、設計巧妙等特點，這些試題充分體現了《標準》的精神，它們對高中數學教師認真學習《標準》和實施高中數學課程改革具有良好的引領作用．