sin+sin+sin≥3·的一個(gè)隔離及類似
2010-12-01 02:10:19
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2010年1期
●
(天津港口管理中專 天津 300456)
●黃兆麟
(天津港口管理中專 天津 300456)
以上是《數(shù)學(xué)通報(bào)》2009年第2期刊出的1 779號(hào)問題,本文給出其一個(gè)隔離及其類似命題,供參考.
命題1△ABC的外接圓與內(nèi)切圓半徑分別為R,r,證明：
(1)
引理1若△ABC的外接圓與內(nèi)切圓半徑分別為R,r,則
證明設(shè)△ABC的3條邊長分別為a,b,c,則由面積公式及正弦定理,可得
因此 2RsinB·2RsinC·sinA=
(2RsinA+2RsinB+2RsinC)r.
于是
從而
故
引理2(Euler不等式)若△ABC的外接圓與內(nèi)切圓半徑分別為R,r,則R≥2r.
R≥2r.
下面證明命題1.
證明先證式(1)中的第1個(gè)不等式.
所以
同理可得
以上3個(gè)式子相加化簡(jiǎn)即得
再利用2個(gè)引理證式(1)中的第2個(gè)不等式.
可得
至此,式(1)得證.
命題2△ABC的外接圓與內(nèi)切圓半徑分別為R,r,證明：
(2)
證明先證式(2)中的第1個(gè)不等式.
所以
同理可得
以上3個(gè)式子相加化簡(jiǎn)即得
再證式(2)中的第2個(gè)不等式.
可得
于是
至此,式(2)得證.
