對三元均值不等式加強的一串演變

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(咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 陜西咸陽 712000)

對三元均值不等式加強的一串演變

●安振平

(咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 陜西咸陽 712000)

《數學教學》1985年第3期上問題欄目的第73題為：

問題1若x,y,z為正數，求證：

x3+y3+z3≥ 3xyz+x(y-z)2+

y(z-x)2+z(x-y)2.

這顯然是三元均值不等式的一個加強.對這個不等式進行變形可得1975年全蘇數學奧林匹克競賽十年級的第2題：

問題2對于正數x,y,z，有下述不等式成立:

x3+y3+z3+3xyz≥

證明不妨假設x≥y≥z>0，則

(x-y)2(x+y-z)≥0,z(x-z)(y-z)≥0，

也就是

x3+y3+2xyz≥xy(x+y)+y2z+zx2,

z3+xyz≥yz2+xz2.

將這2個式子相加，即得不等式(1).

其實，不等式(1)還可以變形為:

問題3已知x,y,z為正數，求證：

xyz≥(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z).

(2)

這是一道1983年瑞士數學競賽試題.把不等式(2)進行變形，就有

問題4設正數a,b,c滿足abc=1，求證：

將問題2弱化，對不等式(1)的右邊應用二元均值不等式，得

x3+y3+z3+3xyz≥

xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≥

問題5對于正數a,b,c，有下述不等式成立:

利用這個不等式，容易證明2004年亞太地區數學奧林匹克競賽中的一道不等式題目：

問題6對于任意正實數a,b,c，均有

(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca).

證明所證的不等式等價于

(abc)2+2(a2b2+b2c2+c2a2)+

4(a2+b2+c2)+8≥9(ab+bc+ca).

(4)

由二元和三元均值不等式,易證

2(a2b2+b2c2+c2a2)+6≥4(ab+bc+ca),

3(a2+b2+c2)≥3(ab+bc+ca)，

將以上3個不等式與不等式(3)的2邊分別相加，立即得出不等式(4)，得證.

文獻[2]將問題6加強為:

問題7對于任意正實數a,b,c，均有

證明所證的不等式等價于

(abc)2+ 2(a2b2+b2c2+c2a2)+(a2+b2+c2)+8≥

仿照問題6的證法，由二元和三元均值不等式，容易得到

2(a2b2+b2c2+c2a2)+6≥4(ab+bc+ca),

將以上2個不等式與不等式(3)的2邊相加，立即得出不等式(6)，得證.

文獻[3]將問題7進一步深化為：

問題8對于任意實數a,b,c及非負實數m，均有

問題9對于任意實數x,y,z,均有

問題10對于任意實數a,b,c,均有

(8)

證明注意到

因此要證明不等式(8)，只要證明

即

(本文為咸陽師范學院重點科研課題(08XSYK110)資助項目.)

[1] 安振平.三元均值不等式的加強及應用[J].中學數學教學參考,1998(10):40-41.

[2] 楊志明.兩道賽題的統一加強[J].中學數學研究，2007(10):48-49.

[3] 杜旭安.一道競賽題的加強與推廣[J].數學通訊,2008(5):33.

[4] 羅增儒.數學解題學引理論[M].西安:陜西師范大學出版社，1997:228-329.