關于等周長方體的幾個問題

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(沂水職教中心 山東沂水 276400) (許家湖鎮第一初級中學 山東沂水 276400)

關于等周長方體的幾個問題

●耿立順●耿立合

(沂水職教中心 山東沂水 276400) (許家湖鎮第一初級中學 山東沂水 276400)

對于2個長方體，若它們的三度(長、寬、高)均為整數且和相等，則稱這樣的2個長方體為等周長方體.關于等周長方體，本文給出并解答如下幾個問題:

問題1是否存在2個不同的長方體，等周且對角線相等.

問題2是否存在2個不同的長方體，等周且全面積相等.

問題3是否存在2個不同的長方體，等周且體積相等.

解決這些問題，利用“逆轉數組”較為容易.為了引出逆轉數組的概念，筆者需提及文獻[1]中曾給出的等式組：

一般地，若

結論1若2個長方體的三度互為逆轉數組，則這2個長方體等周且對角線相等.

結論2若2個長方體的三度互為逆轉數組，則這2個長方體等周且全面積相等.

若2個長方體的三度互為逆轉數組，則它們的體積相等嗎？

回答是否定的.用反證法可以證明之.

由逆轉數組作三度構成的2個長方體體積不相等，但仍可借助逆轉數組解決問題3.

即

(10a+b)(10b+c)(10c+a+x)=(10b+a)(10c+b)(10a+c+x).

展開并整理得

11(a-c)bx=10(a-b)(b-c)(c-a)，

解得

由此得到,長方體(110,202,38)與長方體(209,40,101)等周且體積相等.

[1] 耿立順.關于自然數與等冪和的一些性質[J].中學數學，1996(11):14-17.