集合論觀點(diǎn)下的一類恒成立問題的辨析

● (三門教育局教研室 浙江臺州 317100) ● (黃巖教育局教研室 浙江臺州 318020)

集合論觀點(diǎn)下的一類恒成立問題的辨析

●祝敏芝(三門教育局教研室 浙江臺州 317100) ●洪秀滿(黃巖教育局教研室 浙江臺州 318020)

集合論是19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家康托(Cantor)創(chuàng)立的，現(xiàn)在已發(fā)展為獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，其基本概念與方法已滲入到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石.對于含有存在量詞的存在性問題與含有全稱量詞的恒成立問題，本文試用集合論的基本概念與方法對恒成立進(jìn)行辨析，挖掘這類問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓其思想更深刻，形式更簡約.

1 問題的提出

筆者在一次聽課過程中聽到授課教師講解了這樣一道題目.

授課教師是這樣講解的：原不等式可化為

即

分離變量得

對不等式右邊求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，于是

2 集合論觀點(diǎn)下的命題辨析

邏輯詞“或”給問題帶來了復(fù)雜性，求交集與并集的運(yùn)算順序很容易混淆.如果用集合表示命題的外延，用集合的交、并運(yùn)算表示命題轉(zhuǎn)換，問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)就會(huì)變得清晰.

我們對這個(gè)式子作如下的變式：

成立,求a的取值范圍.

分析不等式可化為

成立,求a的取值范圍.

對于帶有邏輯詞的、較為復(fù)雜的恒成立命題，集合論觀點(diǎn)下的辨析會(huì)使得問題清晰、明了.

3 集合論觀點(diǎn)解決恒成立與存在問題的普適性

康托成功地運(yùn)用集合對應(yīng)計(jì)數(shù)的思想，通過將自然數(shù)集與有理數(shù)集中元素建立一一對應(yīng)的方法，說明這2個(gè)集合有相等的勢.同樣地，對于集合之間的包含關(guān)系，運(yùn)用集合對應(yīng)思想分析就會(huì)有高屋建瓴之感，輕松地對問題建立深層次的理解.

對于第(1)小題，區(qū)間[m-1,m]中有一個(gè)元素為0，即

0∈[m-1,m]，

得

0≤m≤1.

對于第(2)小題，區(qū)間[m-1,m]中的所有元素都大于0，即m>1.

例3已知函數(shù)f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2，g(x)=k2x2+kx+1，其中k∈R．

(1)設(shè)函數(shù)p(x)=f(x)+g(x),若p(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，求k的取值范圍.

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

若運(yùn)用集合對應(yīng)思想分析，則能使問題變得簡單、明了.

當(dāng)x<0時(shí),

q′(x)=f′(x)=3x2-2(k2-k+1)x+5,

易知q′(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>0時(shí)，

q′(x)=g′(x)=2k2x+k，

q′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增．

對于任何一個(gè)x1>0的函數(shù)值q′(x1),都有一個(gè)x2<0的函數(shù)值q′(x2)與之對應(yīng)，那么q′(x)在(0,+∞)上的值域是q′(x)在(-∞,0)上的值域的子集．反之，q′(x)在(-∞,0)上的值域是q′(x)在(0,+∞)上的值域的子集．

記q′(x)在(0,+∞)上的值域?yàn)锳=(5,+∞)，q′(x)在(-∞,0)上的值域?yàn)锽=(k,+∞)．由集合的相互包含,可得k=5；另一方面，當(dāng)k=5時(shí),A=B，則對任意x1<0，q′(x1)∈B=A,即存在x2>0,使得q′(x2)=q′(x1)成立.因?yàn)閝′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以x2的值是唯一的.同理，對任意x1<0，即存在唯一的非零實(shí)數(shù)x2(x2≠x1)，要使q′(x2)=q′(x1)成立，故k=5滿足題意．

對于恒成立與存在性問題，我們一直自覺或不自覺地用集合思想進(jìn)行分析，直覺的東西遇到復(fù)雜的問題會(huì)受阻礙.本文是從形式邏輯上歸納了這類問題的解題思路，首先用集合表示命題的外延，然后用集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示命題轉(zhuǎn)換，或者用集合對應(yīng)計(jì)數(shù)思想表示命題之間的包含關(guān)系.可以說，集合論觀點(diǎn)辨析恒成立問題充分凸顯了數(shù)學(xué)的精確之美、簡約之美.