簡議新課程中高中數學反思性學習

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(余杭第二高級中學 浙江杭州 311100)

簡議新課程中高中數學反思性學習

●劉芳麗

(余杭第二高級中學 浙江杭州 311100)

在教學中,筆者常會有這樣的疑惑：這道題明明已經在課堂上講過，學生也已心領神會，為什么在作業中卻一錯再錯；明明是前兩天才出現過的題目，今天為什么學生如此迷茫.作為學生，也挺納悶：上課認真聽、努力做筆記，為什么作業永遠有不會的；很多題目今天會做，為什么過了一個晚上又不會了；做了那么多道題目，為什么成績卻每況愈下……

問題究竟出在哪里？

其實很多學生學數學猶如置身于迷霧中，有人帶路，亦步亦趨;一旦獨處，便會迷失方向.因此，在教學中,教師一定要教會學生學會反思自己的學習，從錯誤中成長，從似是而非中收獲.

1 改錯練習，激發反思

實踐表明：認知體驗最容易在重要的和困難的情境中產生，這種情境會引起學生思想的高度重視，使學生處于高度情緒喚醒之中.因此,要非常重視學生在解決數學問題時產生的錯誤.特別是有些錯誤的原因比較隱蔽、比較經典時，學生就容易產生反思認知體驗.這時,教師就要指導學生進行反思，究其原因.

例如，在算法的學習過程中，書寫算法一直是某些學生無法攻克的一個難點，經常會出現錯誤.筆者在教學中經常會把他們錯誤的程序整理出來，讓大家一起反思.

例1已知分段函數

編寫一個求該函數值的程序.

下面是學生編寫的程序：

INPUTx

IF -4≤x≤-1 THEN

y=x2

ELSE

IF -1

y=x

ELSE

y=2x/x+1

END IF

PRINTy

END

分析這是一道很典型的有關條件語句的程序題.上述程序是學生中出現的錯誤程序.在課堂上,筆者把該程序寫在黑板上，然后指導學生從書寫錯誤和語句錯誤2個方面進行反思.

學生在逐句閱讀后指出：程序中的不等式“-4≤x≤-1”應為“x>=-4 ANDx<=-1”；程序中的運算有特定的書寫格式，“y=x2”應為“y=x^2”；比較隱蔽的書寫錯誤為“y=2x/x+1”應改為“y=2x/(x+1)”.

接下來就是語句錯誤.很多學生一下子就能發現程序中少了一個“END IF”.

“還有沒有其他錯誤了呢？”很多學生覺得到此結束了.于是筆者開始帶領大家一起分析“ELSE”中所隱含的x的取值范圍：第1個“ELSE”中x的范圍應為“x>-1或x<-4”，那么第2個呢？在筆者的提示之下，很多學生恍然大悟：原來第2個“ELSE”隱含著“x>2或x<-4”，而不僅僅代表“x>2”.

通過這道題的改錯，學生明白編寫程序要注意書寫與語句的正確性，更重要的是要關注條件語句中“ELSE”所隱含的條件，更好地掌握“IF”語句.

有時候,通過正誤解法的比較也可以讓學生把握解題思路的本質.

例2已知-1

錯解因為-1

1<2a<7，-5<2b<1,

(1)

得

從而

正解令u=a+b，v=a-b,則

因為

-1

所以

故

但是很多學生根本就不明白為什么第1種解法錯了，究竟錯在哪里?

下面我們從線性規劃的角度來解釋第1種解法的錯誤所在：

圖1

如圖1所示,圖中的陰影部分即為根據題設條件畫出的可行域，而式(1)中表示的可行域為外面的正方形區域.由此可見，對條件進行處理后擴大了可行域的范圍，因此也影響到了2a+3b的范圍.這也是把“a+b”和“a-b”當成整體，采用第2種思路處理該問題的原因.通過這樣的分析，不僅為學生創設了主動參與學習的問題情境，而且也能引導其養成經常反思自己的認知過程的習慣.

例3已知an=2n2-13n，從n=________起，an+1>an.

解法1可利用作差法解得n=2.

有些學生想到數列也是函數，利用二次函數的性質解得n=3，由此得到了矛盾的結論.這時,可引導學生進一步理解：數列是一種特殊的函數，它的圖像是一些孤立的點,因此數列的單調性不等同于函數的單調性.從而指導學生要重視作業中所出現的錯誤，學會從錯誤中成長，因為有些錯誤可以帶領我們進入一個新的理解境界.

有些學生做題總是拿不到滿分，原因就是思維總存在漏洞.例如,已知f(x)=2+log2x，x∈[1,9]，求y=[f(x)]2+f(x2)的最小值.很多學生一看題目就知道可以利用二次函數求最值，但卻忽略了函數的定義域發生了變化.針對這一情況，教師可以先呈現錯誤的解法，讓學生來發現漏洞，這樣可以激發學生自覺進行反思，加深對解題思路的印象，完善解題思路中的缺陷.

與之類似的錯誤還有:很多學生一看到“ax2+bx+c”，就想當然地認為這是二次表達式，因此在解題過程中往往會遺忘對“a=0”的情況的討論；一看到“集合A是集合B的子集”就忘了集合A有可能是空集的情況；一看到求直線方程就設“所求直線方程為y=kx+b”，也不管k是否存在.針對這些錯誤，多做幾次糾錯練習，就能不斷地完善學生的解題思維.通過反思，可以找出錯誤的根源所在，可以發現知識或思維方法上的薄弱環節.

2 變式問題，誘導反思

變式問題的解決有助于數學知識的靈活遷移.在教學中,要提倡一題多變、一題多解、多題一解的變式訓練，精心創設一個符合學生認知規律，能激發學生求知熱情的由淺入深、多層次、多變化的問題情境.在變式訓練中,反思各種變式所共有的本質要素，揭示問題的條件與結論之間的內在聯系及其隱含較深的知識規律.

例如,在算法的學習中，循環結構是算法一個重點和難點.很多學生一遇到循環結構就搞不清循環的次數及輸出的結果該是什么.

例4編寫求1×2×3×…×n>108的最小正整數n.

n=1

T=1

WHILET<=10^8

T=T*n

n=n+1

WEND

PRINT________

END

思考：(1)在橫線上到底該填“n”，“n+1”還是“n-1”呢？

(2)循環體兩行互換，橫線又該填什么？

(3)若要求“編寫求1×2×3×…×n<108的最大正整數n”，則該程序又該怎么改寫？

通過變式練習，加強學生對循環結構的訓練，有利于他們總結反思循環結構的特征，攻克程序學習中的這一難點.這樣的變式訓練也有助于提高學生的學習效率.

同時,通過變式練習還可以區分似是而非的題目，使學生能有效地把握題目的本質，從而采取快捷并行之有效的解題方法.

例5在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊,設f(x)=a2x2-(a2-b2)x-4c2.

(2)當f(2)=0時,求角C的取值范圍.

粗一看，這2個小題是一樣的問題.做了之后，我們才發現,第(1)小題化簡后得到的是兩邊兩角的關系，用正弦定理解決該問題比較合適；而第(2)小題化簡后得到的是三邊關系，求一角，利用余弦定理更容易解決問題.整道題目的解決，誘使學生對正、余弦定理的區別使用進行反思.

3 合理聯想，促成反思

數學中有很多定理都是從大膽猜想開始的，可以說猜想是數學思維中的火花.新課程中也對“合情推理”做出了要求，因此在教學中要不斷引導學生進行大膽猜想，反思自己的認知過程.一旦猜想正確，學生就能處于一種成功的喜悅之中，并迸發出前所未有的學習熱情；即使失敗，學生也能從中得到創新的訓練，能更自覺、主動地參與到學習中.

同時,合理聯想也能幫助我們優化思維，形成新的知識結構.例如,在三角函數學習中，經常會碰到“sinx+cosx”、“sinx-cosx”、“sinxcosx”這3個式子.經過研究后發現這些式子是相互聯系的,從這3個式子出發可以得到很多結論.從另一角度看，它們其實就是“a±b”及“ab”在三角函數中的具體表現.而“a±b”及“ab”在數學中還有很多表象：韋達定理、圓錐曲線中求弦長問題的策略、三角函數tan(α+β)的展開式中含有tanα+tanβ及tanαtanβ.既然這些都有相同的形式，在解題中也可以類似地處理,從而可以大大提高學習效率和解題的有效性.

4 積極反思，優化知識

在數學學習中，應重視知識的概括和提煉，反思探究知識的縱橫聯系，歸納出有更高抽象、概括和包容水平的觀念，融會貫通并有序儲存，形成活化的知識組塊，優化知識結構.

圖2

向量是高中數學中的一個有效的工具，尤其是幾何問題.下面介紹如何用向量方法統一幾何結論.在初中學過矩形的判定定理：“有一個角為直角的平行四邊形是矩形”，“對角線長相等的平行四邊形是矩形”,那么這2個判定定理有何聯系呢？

例6如圖2，求證:

利用向量證明后發現,原來這2個判定定理是一樣的.同理，其余四邊形的判定定理也都是異曲同工.通過這道題的訓練可以強化向量數量積的應用，優化知識.

這樣,知識點經過反思優化后就更容易記憶，解題時也可以盡量減少錯誤的出現.

知識在不斷吸收的過程中會對原有的知識體系發生沖擊,這時要特別反思究竟是原有的認識有問題，還是現在的知識有漏洞.例如,在初中一講到切線，就認為是圓的切線，且與圓只有1個交點.但是隨著學習的不斷深入，尤其是經過曲線方程的學習，我們發現與曲線只有1個交點的直線可以是曲線的交線，而非切線.那么會不會有些曲線的切線與曲線的交點不止一個呢？答案是肯定的，例如曲線y=sinx與直線y=1.這樣就完全顛覆了我們原有對切線的認識，使得對切線的認識更全面、更正確！因此，養成良好的反思習慣可以不斷完善知識體系，達到事半功倍的效果.

5 全面反思，持之以恒

除了引導學生對相關知識進行反思之外，還要引導學生全面反思學習的各個環節(預習、上課、作業、復習等),以及反思影響學習的非智力因素.對于作業中的錯誤要分析原因，尋根問底，及時訂正，及時小結.另外,反思是一種持續的活動，并不是一時的心血來潮,它需要學習者有著學習的毅力和堅持不懈的精神.否則，反思就會流于形式，達不到預期的效果.

學習需要反思，沒有反思的學習是不可能深刻的；學習是反思的，反思有助于學生主動探究，重構自己的經驗，形成自己的解題策略和方式.南京師范大學涂榮豹教授也曾指出:“堅持反思性數學學習，才可能洞察數學活動的本質特征.”[2]因此,在教學中,要引導學生養成良好的反思習慣.曹才翰教授及張建躍教授也非常重視并倡導培養學生對學習過程的反思習慣，他們認為“培養學生對自己的學習過程進行反思的習慣，提高學生的思維與自我評價水平，這是提高學習效率、培養數學能力的行之有效的方法”[3].相信反思能幫助每位學生與數學“風雨同行”！

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京:人民教育出版社，2003.

[2] 涂榮豹.試論反思性數學學習[J].數學教育學報，2000(4):17-21.

[3] 曹才翰,章建躍.數學教育心理學[M].北京:北京師范大學出版社，1999.