三坐標(biāo)測量機(jī)測頭半徑補(bǔ)償技術(shù)及應(yīng)用

王紅敏

(山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東淄博 255049)

各種曲線與曲面形狀復(fù)雜，有時(shí)還有較高的精度要求，因此很難測量。在精密測試領(lǐng)域，計(jì)算機(jī)輔助測試技術(shù)(Computer Aid Test簡稱CAT)使得復(fù)雜工件的測量簡單化，不僅能完成尺寸、曲線、曲面的精密測量，還能進(jìn)行形位誤差的精確評定。其最典型的代表是三坐標(biāo)測量機(jī)(Coordinate Measuring Machines簡稱CMM)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著計(jì)量儀器從傳統(tǒng)的手動(dòng)測量向現(xiàn)代化的自動(dòng)測試技術(shù)過渡的一個(gè)里程碑。三坐標(biāo)測量機(jī)通用性強(qiáng)，測量范圍大，性能好，效率和測量精度高，當(dāng)測球與被測工件接觸并沿著被測工件的幾何型面移動(dòng)時(shí)，就可獲得被測幾何型面上各測點(diǎn)的幾何坐標(biāo)，并由計(jì)算機(jī)計(jì)算出被測的幾何尺寸和相互位置關(guān)系，完成各種復(fù)雜零件的測量，符合機(jī)械制造業(yè)中柔性自動(dòng)化發(fā)展的需要。因此，它已發(fā)展成為一種大型精密測量儀器，成為與加工中心對應(yīng)的測量中心［1］。本文著重進(jìn)行三坐標(biāo)測量機(jī)測頭半徑補(bǔ)償技術(shù)研究。

1 二維補(bǔ)償技術(shù)

三坐標(biāo)測量機(jī)接觸式測頭測量曲線、曲面時(shí)，坐標(biāo)測量機(jī)給出的是測頭球心的軌跡。由于測球總是有一定的半徑r，當(dāng)被測點(diǎn)的表面法矢方向和測軸方向一致時(shí)，測點(diǎn)坐標(biāo)和測頭中心相差一個(gè)測頭半徑r值，因此它是與被測曲線、曲面相距r的包絡(luò)面。所以應(yīng)對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行測頭補(bǔ)償，即在用三坐標(biāo)測量機(jī)測得代表球心軌跡的曲線、曲面后，需要進(jìn)行測頭半徑補(bǔ)償，求出與球心軌跡相距r的包絡(luò)線、包絡(luò)面，從而構(gòu)建出所要求的曲線、曲面［1-4］。

如圖1所示，測量點(diǎn)連線為平面曲線。當(dāng)測頭的壓力矢和測量截面不在一個(gè)平面時(shí)，測量點(diǎn)連線為空間曲線。

如果被測曲面的形狀已知，并可以用一定的解析函數(shù)表示，那么就可以用解析的方法求出曲面各點(diǎn)的法線方向，按照求得的法線方向確定測得的球心軌跡上與之相對應(yīng)的點(diǎn)，對它進(jìn)行測頭半徑補(bǔ)償。

(1)常用二維補(bǔ)償

目前的CMM測量中，廣泛采用一種二維自動(dòng)補(bǔ)償方法。即在測量時(shí)，將測量點(diǎn)和測頭半徑的關(guān)系都處理成二維情況，并將補(bǔ)償計(jì)算編入測量程序中，在測量時(shí)自動(dòng)完成數(shù)據(jù)的測頭補(bǔ)償，如圖2a的斜面測量。這種補(bǔ)償方法簡化了補(bǔ)償計(jì)算，不影響測量采點(diǎn)和掃描速度，對一些規(guī)則形狀的表面測量更為簡便、精確。

因?yàn)闇y頭接觸工件時(shí)，三坐標(biāo)測量機(jī)接收到的坐標(biāo)值是紅寶石球頭中心點(diǎn)的坐標(biāo)。顯然，測量軟件將自動(dòng)從接觸點(diǎn)沿著測量逼近方向回退一個(gè)測頭半徑值。但補(bǔ)償后的點(diǎn)并非真正的接觸點(diǎn)P1，如圖2b所示，而是測頭沿著測量逼近方向上的點(diǎn)P2。這樣就會(huì)在正確的逼近方向上產(chǎn)生補(bǔ)償誤差δ。產(chǎn)生誤差的大小與測頭的直徑及該工件與直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的夾角有關(guān)，夾角越大，誤差越大［5］。

圖2b中r為測球半徑，α為測量逼近方向和正確逼近方向之間的夾角，δ為補(bǔ)償誤差。由圖2可知

由式(1)可以看出，測球半徑r越小，補(bǔ)償誤差δ也越小，因此當(dāng)進(jìn)行點(diǎn)位測量時(shí)，應(yīng)選用盡可能小的測球。當(dāng)角度α為0時(shí)，其補(bǔ)償誤差δ也為0；角度α越大，其補(bǔ)償誤差δ也越大，所以，測量時(shí)要盡可能使測量逼近方向與被測表面法矢相一致，以使測頭沿著被測表面的法線方向移動(dòng)。下表為測球半徑r=1 mm時(shí)的二維補(bǔ)償誤差。

表1 測頭半徑二維補(bǔ)償誤差

目前CMM的測量程序中都具有進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償功能，即在數(shù)據(jù)測量過程中，每次采點(diǎn)后，測量程序自動(dòng)計(jì)算其補(bǔ)償量，最終記錄輸出補(bǔ)償過的數(shù)據(jù)點(diǎn)集，但多采取上述的二維補(bǔ)償方法。顯然，由上述誤差分析可知：經(jīng)過補(bǔ)償?shù)墓ぜ叽绫葘?shí)際工件實(shí)體尺寸略大。如果所測表面為規(guī)則形狀，α為定值，則可以通過修正δ來加以消除；但當(dāng)被測表面為自由曲面，表面是撓曲的，則隨測點(diǎn)位置不同?角也在改變，就必須采用三維的測頭半徑補(bǔ)償。

(2)三點(diǎn)共圓法補(bǔ)償

在精度要求不高、曲線比較簡單時(shí)，先測量被測表面，得到測頭中心的數(shù)據(jù)，可用作圖的方法，求得包絡(luò)線來得到實(shí)際曲線［2］。但為了提高精度，需要數(shù)學(xué)方法求得測頭中心坐標(biāo)的法線方向，依此求得實(shí)際輪廓，具體過程如下：

假設(shè)在曲線、曲面上測得n個(gè)點(diǎn)，先取曲線上三個(gè)連續(xù)的測量點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，如圖3所示。

當(dāng)三點(diǎn)連續(xù)曲線段很小時(shí)，可看作是一段圓弧上的點(diǎn)，P1、P2、P3三點(diǎn)均滿足圓方程，求解該方程，得到P1、P2、P3所在圓弧的圓心坐標(biāo) O(a，b)及圓半徑 R。連接P2和O，P2O即為過P2點(diǎn)的圓弧法線，以P2為圓心，半徑為測頭半徑r的圓與P2O交點(diǎn)P'2(x2，y2)，即為實(shí)際曲線上的點(diǎn)。再根據(jù)三個(gè)連續(xù)測點(diǎn)，求出P'3，以此類推，求出 P'4、P'5、…、P'n-1。三點(diǎn)共圓法僅適于二維狀態(tài)下的測頭半徑補(bǔ)償，如平面凸輪測量時(shí)可采用該方法。測頭半徑的二維補(bǔ)償實(shí)例如圖4。

2 三維補(bǔ)償技術(shù)

由以上分析可知，對一些規(guī)則形狀表面(如平面、二次曲面等)的測量，二維補(bǔ)償是精確的。但對于一些由自由曲面組成的復(fù)雜曲面，測量時(shí)測點(diǎn)位置的曲面法矢通常和測軸方向不同，此時(shí)按二維補(bǔ)償計(jì)算會(huì)存在誤差。在誤差不能忽略的情況下，必須考慮對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行測頭半徑的三維補(bǔ)償［6-7］。要實(shí)現(xiàn)測頭半徑補(bǔ)償，必須知道被測輪廓或者測量探頭與曲面接觸點(diǎn)的法矢。因此，進(jìn)行測頭半徑補(bǔ)償?shù)暮诵膯栴}就是確定被測輪廓各點(diǎn)的法矢。

我們知道，自由曲面一般無法用解析函數(shù)表示，因此也難以用解析方法求其包絡(luò)面。如果在測得大量測球中心軌跡數(shù)據(jù)后，能用建模的方法得到一個(gè)近似的解析表達(dá)式逼近它、代替它，也就可以根據(jù)這一解析式求出測球中心軌跡面各點(diǎn)的法線方向，從而進(jìn)行測球半徑補(bǔ)償。根據(jù)建模理論，可以用曲面擬合法實(shí)現(xiàn)自由曲面測量時(shí)測頭的三維補(bǔ)償。為了求測球球心軌跡的包絡(luò)面，必須知道曲面的法線方向，由測得的球心O沿著曲面的法線方向向曲面移過距離r，即可以得到測頭與被測曲面的接觸點(diǎn)P。很顯然，測頭半徑補(bǔ)償需沿三維曲面的法向進(jìn)行，如圖5所示。

能夠?qū)崿F(xiàn)三維補(bǔ)償確定曲面法向經(jīng)常用的是微平面法、微球面法、曲面擬合法等［8-10］，簡單介紹如下：

(1)微平面法 為了確定被測曲面的法向，如圖6所示，可以在P點(diǎn)附近測若干個(gè)點(diǎn)，例如測P1、P2、P3三個(gè)點(diǎn)(也可以取多點(diǎn))，然后通過 P1，P2，P3三點(diǎn)作一個(gè)平面，這一微小平面的法線即可視為曲面的法線。

實(shí)際測量中，往往采用網(wǎng)格法(三角網(wǎng)格法或多點(diǎn)網(wǎng)格法)，如圖7所示。為了確定P點(diǎn)的法線方向，這里采用方形網(wǎng)格，但不是簡單地在P點(diǎn)附近再去測4個(gè)點(diǎn)，而是利用與它相鄰近的4個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)P1、P2、P3、P4，然后用最小二乘法確定它的最佳擬合平面及其法線方向。值得注意的是，在實(shí)際測量中，直接得到的并不是測量點(diǎn)P與 P1、P2、P3、P4的坐標(biāo)，而是測量 P 點(diǎn)和Pi點(diǎn)時(shí)測端球心位置O及Oi的坐標(biāo)，必須根據(jù)這些擬合平面的法向進(jìn)行測頭半徑補(bǔ)償，才能得到P和Pi諸點(diǎn)坐標(biāo)值。在測點(diǎn)的布置上，P1～P4等點(diǎn)的距離要適中，不能相距太遠(yuǎn)，也不能相距太近。相距太遠(yuǎn)，求得的平面就會(huì)偏離被測曲面的切面，不能得到準(zhǔn)確的補(bǔ)償半徑；也不能相距太近，因?yàn)槊恳稽c(diǎn)的測量都伴隨有測量誤差，在相同的測量誤差情況下，點(diǎn)與點(diǎn)的距離越小，求出法線方向誤差越大，因此相鄰點(diǎn)的位置，需根據(jù)被測曲面的曲率半徑、測量誤差的大小選擇。

(2)微球面法 微球面法同微平面法相似，是對點(diǎn)P及其相鄰的4個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)P1、P2、P3、P4用最小二乘法擬合一個(gè)最佳微球面，同樣這個(gè)微球面為測端球心點(diǎn)位置Oi形成的球面，需要進(jìn)行測頭半徑補(bǔ)償才能得到被測點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)該微球面中心為C、半徑為R，則在CO連線上，與C相距R±r的點(diǎn)(其中r為測球半徑)，才是經(jīng)測端半徑補(bǔ)償后求得的被測曲面上的點(diǎn)。用微球面法進(jìn)行半徑補(bǔ)償，同樣存在各個(gè)Pi點(diǎn)不能相距太近或太遠(yuǎn)，測量不確定度的大小直接影響求得的法線方向。

(3)曲面擬合法 對沒有數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式的曲面，不能用解析的方法求取自由曲面各點(diǎn)的法線方向。如果在測得大量測球中心軌跡數(shù)據(jù)后，用建模的方法將一個(gè)近似的解析表達(dá)式逼近它、代替它，也就可以根據(jù)這一解析式求出測球中心軌跡面各點(diǎn)的法線方向，從而進(jìn)行測球半徑補(bǔ)償。

曲面擬合法屬于測量完成后事后數(shù)據(jù)處理，即根據(jù)測頭半徑、表面曲面的性質(zhì)和所采取的測量方法來計(jì)算每個(gè)點(diǎn)的補(bǔ)償量或采取其他方法處理補(bǔ)償問題。同微球面法一樣，計(jì)算較為煩瑣，工作量也大，適合處理復(fù)雜曲面和輪廓曲線的補(bǔ)償問題。核心是根據(jù)測量點(diǎn)云信息計(jì)算接觸點(diǎn)的法矢。

本實(shí)驗(yàn)研究中采用微平面法補(bǔ)償，計(jì)算簡單，精度可靠。測量時(shí)測頭在應(yīng)測點(diǎn)P的一個(gè)小鄰域內(nèi)，分別采集三個(gè)參考點(diǎn)P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)、P3(x3，y3，z3)，如圖6 所示。由于 P1、P2、P3距被測點(diǎn) P 較近，故可以用該三點(diǎn)組成的微小平面的法矢近似作為P點(diǎn)的法矢(nx，ny，nz)，進(jìn)行半徑補(bǔ)償。其計(jì)算方法為

對上述數(shù)值進(jìn)行單位化處理，即可得到被測點(diǎn)的單位法向矢量，表面被測點(diǎn)的坐標(biāo) P(xP，yP，zP)為

其中O(xO，yO，zO)為球心點(diǎn)的坐標(biāo)。這種方法適用于復(fù)雜曲面的手動(dòng)和自動(dòng)測量。在多點(diǎn)測量的情況下，可進(jìn)行多點(diǎn)網(wǎng)格化處理。本文所采取的方法即是微平面法的多點(diǎn)網(wǎng)格化處理方法，該補(bǔ)償方法針對測點(diǎn)較多的情況，簡單實(shí)用，可用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，從而計(jì)算出被測點(diǎn)的坐標(biāo)值，測量實(shí)例如圖8所示。

以意大利Coord3公司的ARES10-7-5橋式測量機(jī)為測量工具，凸輪輪廓經(jīng)三坐標(biāo)測量機(jī)測量后，以文本文件格式輸出，直接讀取測量結(jié)果，可以根據(jù)需要設(shè)定直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)輸出。圖9所示為得到的紅寶石測球中心點(diǎn)的坐標(biāo)及測頭經(jīng)過補(bǔ)償后的被測輪廓點(diǎn)的坐標(biāo)，以直角坐標(biāo)的形式顯示，補(bǔ)償后的點(diǎn)形成的輪廓線即為凸輪的實(shí)際廓線。

將上述數(shù)據(jù)讀入 UG、PRO/E、ImageWare(Surfacer)等各種逆向工程軟件，即可快速得到凸輪的實(shí)際表面廓線。然后根據(jù)軟件的功能，可以根據(jù)需要與理論廓線進(jìn)行比較，或做出所需的零件三維實(shí)體模型，快速直觀地了解產(chǎn)品的形狀，為設(shè)計(jì)制造提供可靠的理論依據(jù)。如圖10所示，是在ImageWare軟件中的凸輪輪廓線，外側(cè)的曲線為測量形成的測頭球心軌跡線，內(nèi)側(cè)的曲線為測頭直徑φ4.001 mm經(jīng)過補(bǔ)償以后的凸輪實(shí)際輪廓線。如果凸輪為內(nèi)凹型，則應(yīng)向外側(cè)補(bǔ)償測頭半徑，以得到實(shí)際的凸輪輪廓線。

3 結(jié)論

本文通過對三坐標(biāo)測量機(jī)測頭半徑的二維和三維補(bǔ)償技術(shù)的分析及應(yīng)用研究，進(jìn)一步闡明了測頭補(bǔ)償技術(shù)的核心問題與關(guān)鍵技術(shù)，具有較強(qiáng)的適用性，將對曲線、曲面的測量具有重要的意義。

(1)對一些規(guī)則形狀表面(如平面、二次曲面等)的測量，二維補(bǔ)償是精確的。但對于一些由自由曲面組成的復(fù)雜曲面，測量時(shí)測點(diǎn)位置的曲面法矢通常和測軸方向不同，此時(shí)按二維補(bǔ)償計(jì)算會(huì)存在誤差，在誤差不能忽略的情況下，必須考慮對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行測頭半徑的三維補(bǔ)償；

(2)要實(shí)現(xiàn)測頭半徑補(bǔ)償，必須知道被測輪廓或者測量探頭與曲面接觸點(diǎn)的法矢，因此，進(jìn)行測頭半徑補(bǔ)償?shù)暮诵膯栴}就是確定被測輪廓各點(diǎn)的法矢；

(3)能夠?qū)崿F(xiàn)三維補(bǔ)償?shù)氖俏⑵矫娣ā⑽⑶蛎娣ā⑶鏀M合法、三角網(wǎng)格法等。由于曲面擬合法和三角網(wǎng)格法屬于測量完成后事后數(shù)據(jù)處理，且同微球面法一樣，計(jì)算較為煩瑣，工作量大，故適合處理復(fù)雜曲面和輪廓曲線的補(bǔ)償問題。其核心是根據(jù)測量點(diǎn)集信息計(jì)算接觸點(diǎn)的法矢。微平面法適用于復(fù)雜曲面的手動(dòng)和自動(dòng)測量，計(jì)算簡單，精度可靠，微平面法的多點(diǎn)網(wǎng)格化處理方法，對測點(diǎn)較多的情況，方法簡單實(shí)用，且可計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，從而可方便快速計(jì)算出相應(yīng)被測點(diǎn)的坐標(biāo)值。

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