量子外代數(shù)的2-Galois覆蓋的Hochschild上同調環(huán)

汪俊

(湖北大學 數(shù)學與計算機科學學院，湖北 武漢 430062)

0 引言

設Λ是域k上的有限維結合代數(shù)(含單位元1).它的包絡代數(shù)定義為Λe=Λop?kΛ,其中Λop是Λ的反代數(shù).則Λ是右Λe-模，通篇路的合成采用從左到右的順序.Λ第n階Hochschild上同調群定義為[1]

Hochschild上同調是結合代數(shù)較精細的不變量，如Marita等價不變量，Tilting等階不變量，及導出等價不變量等等.且它在Artin代數(shù)的表示理論中扮演著重要的角色，例如，它和代數(shù)的單連通性，可分性質及形變理論密切相關[2-7].

Koszul代數(shù)在表示理論的研究中扮演著重要的角色.量子外代數(shù)Aq=k〈x,y〉/(x2,xy+qyx,y2)是一類有趣的Koszul代數(shù)[14-15].設Λq為Aq的2-Galois覆蓋，韓陽在文獻[16]中證明Λq也是Koszul代數(shù).本文中首先計算出了Λq的各階Hochschild上同調群的k-基;其次，由于Buchweitz等人用Yoneda積描述的Λq的上同調環(huán)的乘法結構較抽象，本文中用平行路的語言刻畫了上同調環(huán)的乘法結構，且在此基礎上，找出了HH*(Λ)的生成元及關系.

1 Hochschild上同調群的k-基

這一節(jié)，我們將給出覆蓋代數(shù)Λq的各階Hochschild上同調群的k-基.對于kQ中的任意非零元素x，如果在Q0中存在點u和v，使得x=uxv,則稱x為一致(uniform)的.設X，Y是kQ中的一致元素組成的集合，記X∥Y={(x,y)∈X×Y|o(x)=o(y)且t(x)=t(y)},則(x,y)∈X∥Y稱為平行路，并記k(X∥Y)是以X∥Y為基的k-向量空間.

(1)

下面我們可以給出Λ在Λe上的一個極小投射雙模分解

將函子HomΛe(-,Λ)作用于極小投射雙模分解( P·,δ·),則有下面引理.

欲找出Λ的各階上同調群的k-基，由公式HHm(Λ)=Kerσm+1/Imσm知，我們需找出子空間Kerσm+1和Imσm的k-基.

顯然，對任意的(b,f)∈B∥Γ(m),易知l(b)和m具有相同的奇偶性，因此dimkMm=4(m+1).

對m=0,1,2,直接計算可得

欲找出Λ高階的Hochschild上同調群的k-基，我們需要對q進行分類討論，即

當q≠0不是單位根時，有下列引理.

引理1.2 如果q≠0不是單位根，則HHm(Λ)=0(m>2).

當q≠0是單位根時，將分下面3種情況進行討論:(1)q≠0是一個r次本原單位根且r為奇數(shù)(r>2);(2)q≠0是一個r次本原單位根且r為偶數(shù)(r>2);(3)q=±1.

引理1.3 如果q≠0是一個r次本原單位根(r>2)且r為奇數(shù)，則對于m>2,

引理1.3的證明由已有文獻知

又因為dimkKerσm+1+dimkImσm+1=dimkMm=4(m+1),所以

類似地，我們有下列引理.

引理1.4 如果q≠0是一個r次本原單位根(r>2)且r為偶數(shù)，則對于m>2,

引理1.5 如果q=±1,則對于m>2,

2 乘法結構

引理2.1的證明對r作歸納法.

(1)當r=0時，結論顯然成立.當r=1時

所以r=1時，結論成立.

(2)假設該式對于≤r-1時均成立，下證對于r也成立.

由假設，有

(*)

(a)0≤i≤r-1時.

(*)式變?yōu)?/p>

(b)r-1

(*)式變?yōu)?/p>

(c)m-r+1≤i≤m時.

(*)式變?yōu)?/p>

下面定義平行路的乘法.

我們將向量空間HomΛe(Pm,Λ)到k(B∥Γ(m))的同構映射及其逆映射分別記為φ與ψ[18],Yoneda積記為*，則有下列定理.

因為Λ是Koszul代數(shù)，對于任意的η∈HomΛe(Pn,Λ),θ∈HomΛe(Pm,Λ),它們的Yoneda積η*θ可由下面的映射合成

另一方面

3 上同調環(huán)的結構

這一節(jié)我們將給出覆蓋代數(shù)Λq的Hochschild上同調環(huán)的結構.如果R→k,S→k是兩個環(huán)同態(tài)，記R與S的纖維積為R×kS.

下面我們通過對q分類討論給出Λq的Hochschild上同調環(huán)HH*(Λq)的結構.將HH*(Λq)，HHn(Λq)分別簡記為HH*，HHn.

定理3.1 設Λq是二元量子外代數(shù)Λq的2-Galois覆蓋.如果q≠0不是單位根，則HH*作為環(huán)同構于纖維積k[z0,z1]/,z0z1,×kΛ*(u0,u1),其中Λ*(u0,u1)是由u0,u1生成的二元外代數(shù).

引理3.2 如果q≠0是一個r次本原單位根(r>2),且r為奇數(shù)，則HH2s r=HH2(s-1)r∨HH2r,HH2s r+1=HH2(s-1)r+1∨HH2r,HH2s r+2=HH2(s-1)r+2∨HH2r,s≥1.

下面通過對s作歸納法進行證明.

s=1時，由定義2.2給出的乘法有如下乘法表.

根據(jù)引理1.3有，HH2r=HH0∨HH2r,HH2r+1=HH1∨HH2r,HH2r+2=HH2∨HH2r.故結論成立.

假設對于

再根據(jù)引理1.3有，HH2s r=HH2(s-1)r∨HH2r,HH2s r+1=HH2(s-1)r+1∨HH2r,HH2s r+2=HH2(s-1)r+2∨HH2r.證畢.

同理有如下兩個引理.

引理3.3 如果q≠0是一個r次本原單位根(r>2)且r為偶數(shù),則HHs r=HH(s-1)r∨HHr,HHs r+1=HH(s-1)r+1∨HHr,HHs r+2=HH(s-1)r+2∨HHr,s≥1.

引理3.4 如果q=±1,則HH2k+1=HH2k-1∨HH2,HH2k+2=HH2k∨HH2,k≥1.

定理3.5 設Λq是二元量子外代數(shù)Aq的2-Galois覆蓋，如果q≠0是一個r次本原單位根(r>2),且r為奇數(shù)，則HH*作為環(huán)同構于纖維積k[z0,z1]/,z0z1,×k(Λ*(u0,u1)[w0,w1,w2]/,其中wi=(e0,,,i=0,1,2,Λ*(u0,u1)是由u0,u1生成的二元外代數(shù).

根據(jù)引理3.3和定義2.2，類似地我們有下面的定理.

定理3.6 設Λq是二元量子外代數(shù)Aq的2-Galois覆蓋，如果q≠0是一個r次本原單位根(r>2)且r為偶數(shù)，則HH*作為環(huán)同構于纖維積k[z0,z1]/,z0z1,×k(Λ*(u0,u1)[w0,w1,w2]/,其中wi=(e0,,i=0,1,2,l≡r(mod4),Λ*(u0,u1)是由u0,u1生成的二元外代數(shù).

根據(jù)引理3.4和定義2.2，即有下列定理.

定理3.7 設Λq是二元量子外代數(shù)Aq的2-Galois覆蓋，如果q=±1,則HH*作為環(huán)同構于纖維積,w1,w2]/Iq,其中u2=(y0,,,u3=(x0,,,wi=(e0,,,i=0,1,2,Λ*(u0,u1,u2,u3)是由uk,k=0,1,2,3生成的外代數(shù)，理想Iq由集合Rq={z0wi-qz1wi,u0u2+z0w0,u1u2+z0w0,u2u3-2qz0w1,u0u1-qz0w1,u0u3-qz0w2,u1u3+qz0w2,u2w1+q(u1w0-u0w0),u2w2+u1w1-u0w1,u3w0-q(u0w1+u1w1),u3w1-u0w2-u1w2,生成，i=0,1,2.

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