兩個數論定理的群論證明

劉合國,吳佐慧

(湖北大學 數學與計算機科學學院,湖北 武漢 430062)

本文中采用的術語和符號是標準的,按照文獻[1-2].

原根定理以及Wilson定理是初等數論中著名的定理,在解決素數模的高次同余式問題,判斷一個數是不是素數,證明同余式和整數的整除等問題上有重要的作用.同時也可以用來簡化和解決許多難度較高的相關問題,它們的證明方法較多,如文獻[2-3]中,主要是用整系數多項式、指數、既約剩余系等知識進行證明.其中Wilson定理在文獻[1]中以習題的形式出現,它促使我們思考用群論的方法來解決一些數論中的問題.

本文中將用群論的語言再次給出原根定理以及Wilson定理的證明,并通過原根定理給出Wilson定理的一個推廣.為敘述方便,先給出這兩個定理.

原根定理[2]模m有原根的充要條件是m=1,2,4,pα,2pα,其中p是奇素數,α≥1.

Wilson定理[2](p-1)!≡-1(modp),其中p是素數.

是循環群的充要條件是m=1,2,4,pα,2pα,其中p是奇素數,α≥1

(1)

引理1 G是偶階循環群,則G有唯一的2階元.

于是n整除m,am∈〈an〉,又因為|an|=|am|=2,故am=an.即G有唯一的2階元an.

引理2 群的結構為

?

引理2的證明當α=1時,模2的既約剩余系只有1,所以?1;

當α≥3時,顯然{±1,2α-1±1}是的子群,并且它同構于C2×C2,所以不是循環群,又因為〈3〉是的階為2α-2的子群,且〈-1〉∩〈3〉=1,|〈-1〉|·|〈3〉|=2α-1,所以此時?C2×C2α-2.

引理3[1]設G是有限Abel群,其元素的最大階為m,則G中所有元素的階都是m的因子.

引理3的證明令G中元g的階是m,假如有一元素g1的階n不是m,則存在素數p使得

m=pim1,(p,m1)=1;n=pjn1,(j>i).

令

則

|g2|=m1,|g3|=pj,

又因為(p,m1)=1,所以|g2g3|=pjm1>m,于是與m的最大性矛盾,故G中所有元素的階都是m的因子.

令

n?×××….

下面我們將給出(1)式的證明

(1)式的證明如果m不屬于(1)式中列出的情形,那么必有

或者

于是

(α≥3);××…×(α≥2,r≥1),

或者

××…×(α≥0,r≥2).

?

(ⅳ)由(ⅰ)和(ⅱ)并應用類似(ⅲ)的證明過程可得,在g+rp(r=0,1,2,…,p-1)中,定有一元g+ip使得

Wilson定理的證明考慮群,不難發現它為偶階循環群，由性質1可得有唯一2階元p-1，于是(p-1)!=p-1≡-1(modp).

Wilson定理也可以改寫成：設,x2,…xφp},則x1x2…xφp≡-1(modp).于是應用原根定理可以得到Wilson定理的一個推廣結論.這個結論是在文獻[3]中以習題的形式出現的,其常規的證明都是用數論的方法來做的,現在我們將結合原根定理給出它的群論證明.

定理1[3]設,x2,…,xφm},其中m為大于1的正整數,則

定理1的證明當m=2,22,pα,2pα時,由原根定理可得是偶階循環群,進而由引理1得有唯一2階元m-1.于是x1x2…xφm=m-1≡-1(modm);

當m≠2,22,pα,2pα時,考慮的所有2階元生成的子群Ω2(,則

Ω2(∈,其中k≥2,

令Ω2(×K,其中,K={1,a|a2=1}.則集合Ω2(與集合H∪aH相同,且|H|為偶數.于是x1x2…··a|H|≡1(modm).

參考文獻:

[1] Robinson D J S.A course in the theory of groups[M].Second edition.New York:Springer-Verlag,1996.

[2] 閔嗣鶴,嚴士健.初等數論[M].北京:高等教育出版社,1982.

[3] 潘承洞,潘承彪.初等數論[M].北京:北京大學出版社,2003.