關(guān)于向量的最小多項(xiàng)式

鄭大彬,劉合國

(湖北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

Cayley-Hamilton定理是矩陣論的基本結(jié)論之一,對(duì)此已很多證明.文獻(xiàn)[1]通過比較矩陣多項(xiàng)式系數(shù)給出了一個(gè)證明;文獻(xiàn)[2]運(yùn)用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型給出了證明;文獻(xiàn)[3-4]運(yùn)用Shur引理給出了證明;文獻(xiàn)[5]運(yùn)用矩陣初等運(yùn)算,給出了幾個(gè)有理證明;文獻(xiàn)[6]從Vandemonde行列式出發(fā),證明了無限域上有限維向量空間不等于其有限個(gè)真子空間的并,由此證明對(duì)無限域上的有限維向量空間及其線性變換A存在某個(gè)向量關(guān)于A的最小多項(xiàng)等于A的最小多項(xiàng)式,這樣自然地證明了Cayley-Hamilton定理.值得指出的是,文獻(xiàn)[6]的推理僅對(duì)無限域有效,但是文獻(xiàn)[6]關(guān)于最小多項(xiàng)式的結(jié)論對(duì)有限域也是成立的.現(xiàn)在,我們就在一般域上討論某些最小多項(xiàng)式的問題.

設(shè)F是一個(gè)域,V是F上的一個(gè)n維向量空間,A是V上的一個(gè)線性變換,把A的最小多項(xiàng)式記為mA(x).對(duì)任意0≠α∈V,我們稱滿足f(A)α=0的次數(shù)最低的首一多項(xiàng)式f(x)為α關(guān)于A的最小多項(xiàng)式,記為mA,α(x),并簡記為mα(x),關(guān)于向量的最小多項(xiàng)式我們有下面的引理.

引理1[6]設(shè)α∈V是一個(gè)非零向量,我們有

(1)設(shè)f(x)∈F[x],則f(A)α=0當(dāng)且僅當(dāng)mα(x)|f(x);

(2)mα(x)|mA(x).

記線性變換A的特征多項(xiàng)式為ΔA(x),它與V中非零向量的最小多項(xiàng)式有如下關(guān)系.

引理2 設(shè)α∈V是一個(gè)非零向量,則mα(x)|ΔA(x).

引理2的證明設(shè)mα(x)=xm+am-1xm-1+…+a1x+a0,可以驗(yàn)證α,Aα,…,Am-1α線性無關(guān),且

Amα=-am-1Am-1α-…-a1Aα-a0α

(1)

事實(shí)上,若存在不全為零的ci∈F,i=0,1,…,m-1使得 c0α+c1Aα+…+cm-1Am-1α=0.

表明存在次數(shù)比m小的多項(xiàng)式零化α,這與假設(shè)矛盾.

把α,Aα,…,Am-1α擴(kuò)充成V的一組基: α,Aα,…,Am-1α,β1,…,βn-m.

于是線性變換A在這組基下的矩陣為

從而A的特征多項(xiàng)式

不難驗(yàn)證|xEm-M|=mα(x),因此mα(x)|ΔA(x).

定理1(Cayley-Hamilton) 設(shè)A是n維線性空間V的一個(gè)線性變換,ΔA(x)是A的特征多項(xiàng)式,則

ΔA(A)=0.

定理1的證明對(duì)任意0≠α∈V,由引理2可知mα(x)|ΔA(x),則由引理1得 ΔA(A)α=0，

所以ΔA(A)=0.

對(duì)任意方陣A，我們把它當(dāng)作一個(gè)線性變換，則有Gayley-Hamilton的矩陣形式的下面定理.

定理1′(Cayley-Hamilton) 設(shè)A是n階方陣,ΔA(x)是A的特征多項(xiàng)式,即ΔA(x)=|xE-A|,則

ΔA(A)=0.

為了證明V中存在向量α使其最小多項(xiàng)式mα(x)等于A的最小多項(xiàng)式mA(x),先證明幾個(gè)引理.下面用lcm和gcd分別表示多項(xiàng)式的最小公倍式和最大公因式.

引理3 設(shè)α1,α2,…,αn是V的一組基,A是V的一個(gè)線性變換,則

mA(x)=lcm(mα1(x),mα2(x),…,mαn(x)).

引理3的證明記L(x)=lcm(mα1(x),mα2(x),…,mαn(x)).由引理1可得

mαi(x)|mA(x)， i=1,2,…,n.

于是L(x)|mA(x).反過來，顯然

L(A)αi=0, i=1,2,…,n,

即L(x)是αi,i=1,2,…,n的零化多項(xiàng)式.因?yàn)棣?,α2,…,αn是V的一組基,所以對(duì)任意α∈V

L(A)α=0,

從而L(A)=0.由最小多項(xiàng)式的定義,mA(x)|L(x).從而命題成立.

引理4 設(shè)A是n維向量空間V的一個(gè)線性變換,對(duì)任意0≠β,γ∈V,存在α∈V滿足

mα(x)=lcm(mβ(x),mγ(x)).

引理4的證明對(duì)β,γ的最小多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解,并適當(dāng)排序后為

且ki≥li,i=1,2,…,r,ki≤li,i=r+1,r+2,…,s.顯然他們的最小公倍式

lcm(mβ(x),mγ(x))=u1(x)v2(x),

而且gcd(u1(x),v2(x))=1.

由最小多項(xiàng)式次數(shù)的極小性可知u2(A)β和v1(A)γ的最小多項(xiàng)式分別為

mu2(A)β(x)=u1(x),mv1(A)γ(x)=v2(x).

記α=u2(A)β+v1(A)γ,直接驗(yàn)證可得

u1(A)v2(A)α=0,

表明mα(x)|u1(x)v2(x).反之,由u2(A)β=α-v1(A)γ可得 mα(A)mv1(A)γ(A)(u2(A)β)=0,

這說明

mu2(A)β(x)|mα(x)mv1(A)γ(x),即u1(x)|mα(x)v2(x).

由gcd(u1(x),v2(x))=1,從而u1(x)|mα(x).同理v2(x)|mα(x),進(jìn)而u1(x)v2(x)|mα(x).所以

mα(x)=u1(x)v2(x)=lcm(mβ(x),mγ(x)).

定理2 設(shè)A是n維向量空間V的一個(gè)線性變換,則存在a∈V滿足 mα(x)=mA(x).

定理2的證明設(shè)α1,α2,…,αn是V的一組基,由引理3

mA(x)=lcm(mα1(x),mα2(x),…,mαn(x)).

由引理4,存在β3∈V滿足

mβ3(x)=lcm(mα1(x),mα2(x))

(2)

反復(fù)利用引理4,存在βi+1∈V,i=3,4,…,n使得

mβi+1(x)=lcm(mβi(x),mαi(x)),i=3,4,…,n

(3)

令α=βn+1,由(2)式和(3)式得 mA(x)=lcm(mα1(x),mα2(x),…,mαn(x))=mα(x).

參考文獻(xiàn):

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].3版.北京:高等教育出版社,2008.

[2] 樊惲.代數(shù)學(xué)詞典[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,1994.

[3] 樊惲,鄭延履,劉合國.線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京:科學(xué)出版社,2003.

[4] Roger A Horn, Charles R Johnson.矩陣分析(英文版)[M].北京:人民郵電出版社,2005.

[5] 楊艷,劉合國.Cayley-Hamilton定理的有理證明[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,31(2):109-112.

[6] 楊艷,劉合國.Cayley-Hamilton定理的一個(gè)證明[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2009,39(9):235-238.