2010年數(shù)學(xué)高考解析幾何試題評析

● (嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314001)

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，在高考中占有重要的地位．由于“能力立意”是新課程高考的主要命題思想，因此在新課程高考中解析幾何處于高考命題的主體位置．在當(dāng)前《新課程標(biāo)準(zhǔn)》與《教學(xué)大綱》并存時(shí)期，研究新課程高考中解析幾何命題的基本特征有助于提高現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)效．

1 課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)大綱比較

隨著新課程改革的推進(jìn)，高考對解析幾何的考查要求有很大的變化，其中對直線方程、圓的方程的考查要求有所加強(qiáng)，這點(diǎn)在2010年各省市的新課程數(shù)學(xué)高考試卷中得到了充分的體現(xiàn)．例如,湖南省數(shù)學(xué)高考文科試題第14題，山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題，江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第9題等．在對圓錐曲線的考查上，新課程高考也有自己的特色，尤其是浙江省數(shù)學(xué)高考試題.從2009年及2010年的考試說明及高考試卷來看，解析幾何的綜合問題往往涉及直線與圓、橢圓及拋物線的位置關(guān)系，而對于傳統(tǒng)意義上的直線與雙曲線的位置關(guān)系則有了較大的淡化甚至回避．

解析幾何的核心內(nèi)容是用代數(shù)方法研究解決幾何問題，它把數(shù)學(xué)的2個(gè)基本對象——形與數(shù)有機(jī)地聯(lián)系起來.通過形與數(shù)的結(jié)合，使幾何問題代數(shù)化，把幾何要素及其關(guān)系用代數(shù)的語言加以描述;通過處理代數(shù)問題，分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題．通過對解析幾何的學(xué)習(xí)能夠使學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.在這一點(diǎn)上，無論是新課程標(biāo)準(zhǔn)還是教學(xué)大綱，都是一致的．

2 2010年解析幾何考情直播

2010年全國各地新課程的高考數(shù)學(xué)試卷(每套試題含文、理各1份，江蘇省文、理合一)中以解析幾何為主要考查內(nèi)容的題目有59道(不含線性規(guī)劃部分，有的是文、理姊妹題)，其中解答題25道，這說明每套試卷都有解析幾何的解答題，而且解答題的題目在數(shù)學(xué)試卷中處于壓軸位置．因此解析幾何在每份試卷中所占分值較大，2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題中有1道選擇題，1道填空題，1道解答題，分值為24分；文科卷中有1道選擇題，1道解答題，分值為20分．其他省份的新課程數(shù)學(xué)試卷中涉及解析幾何的題目一般也有20分以上，題量一般在2～5題．

從試題來看，有關(guān)解析幾何的小題，其考查的重點(diǎn)在于解析幾何的基礎(chǔ)知識.例如浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8,10題，北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第13題，全國數(shù)學(xué)高考理科試題中第5,13題等都突出了對解析幾何中直線與圓、圓錐曲線等內(nèi)容中的基礎(chǔ)知識的考查，譬如求直線方程、圓的方程、圓錐曲線的離心率等．有關(guān)解析幾何的解答題中，例如浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題、文科試題第22題，廣東省數(shù)學(xué)高考文科試題第21題，湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題等都重點(diǎn)考查了拋物線、橢圓、雙曲線的相關(guān)內(nèi)容，考查直線與圓錐曲線之間的關(guān)系問題(浙江省數(shù)學(xué)高考試題主要涉及直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系).問題涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、向量等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用，綜合考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、函數(shù)與方程、運(yùn)動變化、邏輯推理等能力，考查學(xué)生對基本知識、基本方法、基本技能的理解、掌握和應(yīng)用的情況．

3 亮點(diǎn)掃描

縱觀2010年全國各地新課程數(shù)學(xué)高考試卷，其中許多解析幾何試題設(shè)計(jì)新穎、構(gòu)思巧妙、耐人尋味，令人賞心悅目，體現(xiàn)了“能力立意”的指導(dǎo)思想，凸顯了數(shù)學(xué)試題的選拔功能．

亮點(diǎn)1試題設(shè)計(jì)背景新穎，考查學(xué)生的閱讀理解能力.

圖1

(1)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時(shí)，求直線l的方程.

(2)設(shè)直線l與橢圓C交于點(diǎn)A,B，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G,H．若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

亮點(diǎn)2試題設(shè)計(jì)關(guān)注交匯，考查綜合運(yùn)用能力.

(1)求橢圓的方程；

(2010年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

亮點(diǎn)3試題設(shè)計(jì)聯(lián)系實(shí)際，考查學(xué)生用數(shù)學(xué)的能力.

(1)求考察區(qū)域邊界曲線的方程；

(2)如圖2所示，設(shè)線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界線)，當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2 km,以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間．

(2010年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖2

圖3

亮點(diǎn)4試題設(shè)計(jì)重視探究，考查學(xué)生的探究能力.

(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2，證明:k1·k2=1.

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.

(2010年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

由題意得

|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|

恒成立．第(3)小題的解決還需要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，這也是解析幾何的特點(diǎn)之一．培養(yǎng)學(xué)生的探究能力是新課程對學(xué)生的重點(diǎn)要求之一，因此在新課程的數(shù)學(xué)高考試卷中，通過解析幾何問題來考查學(xué)生的探究能力顯得比較普遍.例如山東省數(shù)學(xué)高考文科試題第22題、北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第19題、陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題、安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題等都對學(xué)生的探究能力提出了較高的要求．

4 啟示

(1)新課程高考中對解析幾何的考查突出對解析幾何基礎(chǔ)知識與基本技能的考查，穩(wěn)中有變，但變中又有“定”，因此在復(fù)習(xí)時(shí)要實(shí)行“以不變應(yīng)萬變”的策略.

(2)從2010年新課程高考數(shù)學(xué)試卷中可以看出解析幾何問題中的“交匯”已突破解析幾何的圈子，解析幾何問題與向量、三角甚至數(shù)列、不等式內(nèi)容相交匯已并不鮮見，因此在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)以整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識為背景，全方位地復(fù)習(xí)，不能有絲毫的僥幸心理.

(3)從2010年新課程高考中的解析幾何問題可以看出，在解析幾何的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力固然重要，但是繁雜、冗長的推演、計(jì)算、變換過程也不可少，這是新課程高考對考生提出的能力要求之一.因此在復(fù)習(xí)中,既要重視對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，又要重視計(jì)算能力的訓(xùn)練，必須努力克服學(xué)生中輕視計(jì)算，容易出錯(cuò)的“眼高手低”的毛病．