在知識網絡交匯點設計試題
——2010年數學高考不等式試題評析

● (湖州中學 浙江湖州 313000)

不等式一直是中學數學的重要內容之一，它滲透到了中學數學課本的很多章節，在實際問題中被廣泛應用，可以說是解決其他數學問題的一種有利工具．隨著以培養創新精神和實踐能力為重點的素質教育的深入發展，高考命題越來越關注開放性、探索性等創新型問題，尤其是與函數、導數、數列、解析幾何等綜合的不等式證明問題以及涉及不等式的應用題等.

1 教學要求與大綱對比

2 命題特點和知識類型

2.1 命題特點

縱觀2010年全國及各省市共37套文、理高考試卷，筆者發現對不等式重點考查的有4種題型：解不等式、證明不等式、不等式的應用、不等式的綜合性問題(如含參問題、恒成立問題等).這些不等式問題主要體現了等價轉化、函數與方程、分類討論等數學思想．

2.2 知識類型

不等式的解法問題常常出現在選擇題中,譬如求最值問題、簡單的線性規劃問題、含參的不等式恒成立問題、不等式的證明問題.不等式知識在高考中很少單獨成題，但作為工具解決問題的作用不會降低，即不等式的工具性；注重知識之間的交叉、滲透和綜合，對考生在知識及思維方面的不斷轉化提出了較高的要求，有較強的綜合性和一定的思維深度.

3 亮點掃描

( )

(2010年遼寧省數學高考理科試題)

分析本題將導數的幾何意義、求導運算、三角函數和基本不等式知識有機地結合在一起.因為

3.2 線性規劃問題

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(2010年福建省數學高考理科試題)

圖1

3．3 函數不等式中的高等背景

數學科《考試大綱》指出：“數學科考試，要發揮數學作為基礎學科的作用，既重視考查中學數學知識的掌握程度，又注重考查進入高校繼續學習的潛能”.

(2010年山東省數學高考理科試題)

分析本小題主要考查導數的概念以及利用導數研究函數性質的能力，考查分類討論思想、數形結合思想、等價變化思想，以及綜合運用知識解讀新情境、新問題的能力.

①當a=0時，h(x)=-x+1，x∈(0,+∞)，因此當x∈(0,1)時，h(x)>0,此時f′(x)<0,函數f(x)單調遞增；當x∈(1,+∞)時，h(x)<0，此時f′(x)>0，函數f(x)單調遞增.

②當a≠0時，由f′(x)=0，即

ax2-x+1-a=0，

解得

x1=1,x2=3?(0,2),

①當b<1時，因為

[g(x)]min=g(1)=5-2b>0,

矛盾.

②當b∈[1,2]時，

[g(x)]min=4-b2≥0,

矛盾.

③當b∈(2,+∞)時，

[g(x)]min=g(2)=8-4b,

4 復習建議

4.1 改進教學方式

在教學方式的改進中，最重要的是要讓學生有積極、獨立地進行數學思考的空間.在具體細節上讓學生自己多動手、多閱讀、多思考、多交流，讓學生多發表意見.教師可參與到學生的活動中去，多聽少講，在關鍵點上讓學生有機會提出自己的見解.課堂教學應加強問題引導學習、教學重心前移、典型豐富例證、提供概括時機、保證思考力度、加強思想聯系、使用變式訓練、強調反思遷移.

4.2 追求有效教學

有效的課堂教學關鍵是要解決好讓學生想學、能學、會學、學好這樣一系列的問題，使學生真正參與到學習活動中來，使教和學的各個環節緊密銜接，相互適應，并能取得最大效益和最佳效果.在當前客觀的教學形勢下，一問就會、一答就對的演示性課堂并不是我們的追求.結合自身的教學經歷，筆者認為要提高高三數學復習的有效性，抓住“3個有效”是重點：教學理念有效、教學方式有效、教學過程有效.

通常復習課上有一個突出的矛盾，就是時間太緊，既要處理足量的題目，又要充分展示學生的思維過程，二者似乎很難兼顧.我們可采用“焦點·感悟法”解決這個問題，大多數題目其解法是“入口寬，上手易”，但在連續探究的過程中，常在某一點或某幾點上擱淺受阻，這些點被稱為“焦點”，其余的則被稱為“外圍”.我們大可不必在外圍處花精力和時間去進行淺表性的啟發誘導,而只要在焦點處啟發學生探尋突破口，通過感悟集中學生的智慧，讓學生的思維在關鍵處閃光、能力在要害處增長、弱點在隱蔽處暴露、意志在細微處磨礪.

4.3 宜“廣積糧”而非“深挖洞”

由《考試大綱》所提供的命題原則——“在知識網絡交匯點設計試題”，考查能力的題目往往是幾個重點和熱點內容的有機組合，其實它們都來自于簡單題.在備考過程中，不需要“深挖洞”——在各個考點上向深度、難度進軍，而只需“廣積糧”——系統掌握知識，再綜合運用之.