方向差交會中水平位移可靠算法研究＊

陳德標

(麗水職業技術學院,麗水 323000)

方向差交會中水平位移可靠算法研究＊

陳德標

(麗水職業技術學院,麗水 323000)

針對當前方向差交會法數據處理中存在的問題,通過合理定義方向差的正負號,導出水平位移最大值可靠算法。基于“驗算”思路,推導了符號系數 K的實用判別式和最大位移方向可靠算法,避免了異常區域計算錯誤。最后模擬算例驗證了算法的可靠性和正確性。

方向差交會法;水平位移;最大值;位移方向;模擬算例

1 引言

前方交會在水平位移、主體傾斜等變形監測中應用廣泛,其水平位移計算方法有兩種：一是由兩周期觀測方向值之差,直接解算坐標變化量的“方向差交會法”;二是計算每周期觀測點的坐標值,再以坐標差計算水平位移[1,2]。當前由坐標差計算水平位移的方法成熟。在直接由方向差計算水平位移過程中,常以圖解方式作答 (如秒差作圖法[3]),或以圖解結果作為反三角函數項“±”號的取值依據[4],但文獻[5]未交代水平位移分矢量與矢量投影之間關系,文獻[6]給出了由“角差”計算最大傾斜量 e和傾斜方向αOO′的通用公式:

式中 eA、eB由α、β變化所決定,角值變大時為正,反之為負。同時規定三角函數項“±”的取值規則為“同號取正、異號取負,且以數值代入計算”。

多數情況下,兩式能正確求得水平位移最大值和位移方向,但存在一些不足和不嚴密之處。式(1)有“±”號,需人為判斷,不方便;式 (2)“±”號取值規則不嚴密,當 eA、eB絕對值差異大時,易出現計算錯誤。由上分析知,方向差交會中水平位移可靠算法研究具現實意義。

2 水平位移最大值可靠算法

如圖 1、圖 2所示,O為某建筑物底部觀測點或首期觀測位置,O′為頂部觀測點或后期觀測位置; A、B為基線端點,顧及坐標代碼選用習慣,A、B、O3點順時針編號,與文獻[6]編號相反;βA、βB為實測水平角,交角γ=180°-βA-βB;基線長度 SAB通過鋼尺丈量或坐標反算求得,測站至 O點的距離 SA、SB由正弦公式求出;Δ βA、Δ βB為瞄準 O、O′時的方向差,仿測量坐標系,規定右偏為正、左偏為負,注意在本文A點處,此約定與文獻[6]角差符號約定相同,B點處則相反。另外為了分析方便,以AO右側垂線為坐標主軸,建立局部坐標系 X′OY′。

因為Δ βA、Δ βB均為小角,故總水平位移 e在AO垂線上的投影值 eA=Δ βASA;在BO垂線上的投影值eB=Δ βBSB。

圖 1 γ＜90°方向差同號Fig.1 Same sign of direction difference asγ＜90°

圖 1中 eA、eB均為正,根據矢量求和三角形法則(或平行四邊形法則),在三角形OO′A′中,水平位移最大值 e的計算公式如下:

圖 2中,eA為負 ,eB為正,夾角為 180°-γ,分矢量夾角∠A′OB′=γ,在三角形OO′A′中,水平位移最大值 e的計算公式為:

注意此式與式(3)最終表達式完全相同。經分析 eA、eB均為負,或 eA正 eB負,式 (3)同樣適用,同時交角γ大小也不影響公式使用。

3 最大位移方向可靠算法

3.1 系數 K異常區域分析

如圖 1、圖 2所示,在局部坐標系 X′OY′中,水平位移最大值 e的方向,即OO′方向用αmax表示。

式中,反三角函數項符號系數 K=±1,具體取值與eA、eB正負號、γ大小及最大位移方向有關,現分述如下。

1)當γ=90°時

根據反余弦坐標方位角計算公式,顯然有 eB≥0,K=+1;eB＜0,K=-1。

2)當γ＞90°時

如圖 3所示,令ω=γ-90°,多數情況下,K的取值規則與γ=90°時相同。但最大位移方向在 (0, ω)∪(180°,180°+ω ]陰影區時,將出現異常,且注意到此時 eA、eB異號,絕對值差異大。

當最大水平位移處在OO′方向,其方位角在(0, ω)內。此時Δ βA右偏,eA為正;Δ βB左偏,eB為負。據圖解 K理應取 +1,規則與γ=90°時相反。

當最大位移方向位于 (180°,180°+ω]時,Δ βA左偏,eA為負;Δ βB右偏,eB為正。據圖解 K理應取-1,規則亦與γ=90°時相反。

3)當γ＜90°時

如圖 4所示,令ω=90°-γ,其情況與γ＞90°時類同。最大位移方向在[-ω,0)∪(180°-ω,180° )陰影區時,將出現異常,且注意到此時 eA、eB同號,絕對值差異大。此區域內 K取值規則亦與γ=90°時相反。

圖 3 γ＞90°時,K取值異常區Fig.3 Kabnor mal area ofKvalue asγ＞90°

圖 4 γ＜90°時,K取值異常區Fig.4 Kabnormal area ofKvalue asγ＜90°

3.2 K值可靠算法

鑒于上述分析,可知 K不能簡單依據 eA和 eB正負號取值,它還與γ大小及最大位移方向有關,經分析,可用下式確定 K值:

式中,sign(x)為符號函數,abs(x)為絕對值函數。

式(5)含義是:總水平位移 e在 BO右側垂線(局部坐標方位角為γ)上的投影反演值,必須與實測值相等。當αmax確為 cos-1(eA/e)時,位移投影反演驗算值等于實測值 eB,abs(x)項為 0,顧及計算誤差和符號取值需要,引入 e/1 000項,K取值 +1。當αmax不為 cos(eA/e)時,位移投影反演驗算值與實測值 eB差異明顯,abs(x)項遠大于 0,K取值 -1。判別式(5)經大量數據驗算正確可靠。

3.3 最大位移方向統一方位角計算

參見圖1、圖2,設直線AB在統一坐標系中的方位角為αAB統一,最大位移方向為αmax統一,則:

4 算法驗證

基于 Excel,擬定測站坐標A(200,200)、B(100, 100);交會三角形內角βA=45°、βB=18°。計算得交角γ=117°,首期交會點坐標 O(200,150.9525),方位角αAO=270°、αBO=27°,距離 SAO=49.047 5 m、SBO=112.232 6 m,AO右側垂線方位角為 0°(局部坐標系與統一坐標系重合)。接著以 O為基準點,起始方位 5°,步長 20°,半徑 0.2 m,算出驗算圓圓周上各 Ci點坐標。進而算出測站A、B至 Ci的方位角,并與αAO、αBO比較,得方向差Δ βA、Δ βB。然后顧及距離 SAO、SBO,得投影值 eA和 eB。再按式 (3)、(5)、(4)計算水平位移最大值 e、系數 K和位移方向αmax。最后根據文獻[6]的計算思路,參照本文點號順序和方向差正負號的約定,且暫不考慮 eA=0或 eB=0之特例,式 (2)修正為式 (7),算出最大位移方向,相關計算結果見表 1。

從表 1可以看出,水平位移最大值的計算值與理論值 0.2 m相差甚微。因方向差交會法本身不是嚴密算法,最大位移方向αmax與理論值有所差異,誤差大的可能有數分,這對一般工程沒實質影響。同時注意到,e理論方向為 5°或 (25°、185°、205°)∈(0°,27°)∪(180°,207°]時,K取值異常,即與 eB符號相反,應用式(5)避免了錯誤。

反觀式(7),絕大部分計算正確,但 e理論方向為 105°或 (285°)∈(90°,117°)∪(270°,297°)時,計算所得 128°55′46″、309°04′11″,與正確方向的差數分別是 23°55′46″、24°04′11″,該差值為 2cos-1(abs(eB)/e),表明此時反三角函數項的符號系數錯了。進一步分析知,最大位移方向αmax位于BO過O點垂線與AO所夾之銳角(交角γ與 90°之差)區域內時,式(7)計算結果均不正確。

上述分析表明,本文算法比式 (2)及修正后的式(7)可靠。

5 結束語

針對性地提出“右偏為正、左偏為負”的方向差正負號定義規則,導出方向差交會中水平位移最大值可靠算法,去除“±”,方便計算。并指出反三角函數項符號系數 K取值存在異常區域,基于“驗算”思路,推得實用判別式,得出最大位移方向可靠算法。最后模擬算例驗證了該算法的可靠性、正確性和易編程性,完善了方向差交會法,可有效地減少水平位移計算錯誤。

表 1 水平位移可靠算法驗算結果Tab.1 Results from checking horizontal displacement algorithm

1 JGJ 8-2007.建筑變形測量規范 [S].2007.(JGJ 8-2007.Standard for defor mation measurement for building and structure[S].2007)

2 GB 50026-2007.工程測量規范[S].2007.(GB 50026-2007.Standard for engineering surveying[S].2007)

3 陳龍飛,金其坤.工程測量[M].上海：同濟大學出版社, 1990.(Chen Longfei and JingQikun.Engineering surveying [M].Shanghai：TongjiUniversity Press,1990)

4 王再華,柳廣杰.塔形建構主體傾斜測量[J].測繪通報, 2005,(9)：29-31.(Wang Zaihua and Liu Guangjie.Inclination surveying for tower building[J].Bulletin of Surveying andMapping,2005,(9)：29-31)

5 平海慶,等.高屋建筑物傾斜觀測的一種新方法[J].北京測繪,2006,(3)：34-37.(Ping Haiqing,et al.A new method of tall building oblique observation[J].Beijing Surveying andMapping,2006,(3)：34-37)

6 彭偉平.煙囪傾斜變形觀測的新方法及其應用[J].測繪通報,2004,(10)：38-41.(PengWeiping.A new method for deformation measurement of chimney inclination and its application[J].Bulletin of Surveying and Mapping,2004, (10)：38-41)

STUDY ON REL IABLE ALGORITHM FOR HORIZONTAL D ISPLACEM ENT IN D IRECTION D IFFERENCE INTERSECTION

Chen Debiao
(L ishui Vocationalamp;Technical College,Lishui 323000)

Aiming at the problem in data processing of direction difference intersection,a reliable algorithm for the maximum horizontal displacement is derived through defining direction differencec’s plus-minus.To avoid incorrect calculation of abnormal area,practical discriminant of the code coefficientKand the reliable algorithm of maximum displacement direction are derive,the reliability of improved method is verified through simulation examples finally.

direction difference intersection;horizontal displacement;maximum;displacement direction;simulation example

1671-5942(2010)05-0140-04

2010-02-23

浙江省麗水科技計劃項目(200903)

陳德標,男,1970年生,工程碩士,講師,主要從事工程測量、地下管線測量的教學和實踐工作.E-mail：cdb203@163.com

P212+.2

A