基于灰色預測的空間多點殘差修正模型研究＊

李曉蕾 劉 睿 田永瑞 謝炳科

(1)重慶科技學院建筑工程學院,重慶 401331 2)中國科學研究院地理科學與資源研究所,資源與環境信息系統國家重點實驗室,北京 100101 3)長安大學地質工程與測繪學院,西安 710054)

基于灰色預測的空間多點殘差修正模型研究＊

李曉蕾1,3)劉 睿2)田永瑞3)謝炳科1)

(1)重慶科技學院建筑工程學院,重慶 401331 2)中國科學研究院地理科學與資源研究所,資源與環境信息系統國家重點實驗室,北京 100101 3)長安大學地質工程與測繪學院,西安 710054)

在分析灰色單點預測模型不足的基礎之上,綜合考慮變形點之間的空間相關性,提出將殘差修正應用于空間多點模型,引入空間多點殘差修正模型。對黃河小浪底水利樞紐工程 B斷面沉降監測結果的分析表明,該模型整體模擬與預測相對誤差絕對值之和 (5個周期)為 122%,優于空間多點模型的 179%與 G M(1,1)模型的284%。同時,短周期數據模擬(5個周期內)相對誤差能夠控制在 20%以內,具有最好的數據擬合精度。

灰色預測;變形分析;殘差修正;空間多點殘差修正模型;沉降監測

1 引言

變形分析與預報的常規方法主要包括回歸分析、時間序列模型、Kalman濾波模型等,但以上方法適用于觀測數列較長,數據信息量大的數據序列,而現代大量工程中經常存在短數據貧信息序列,信息量少、規律性不強,使得上述方法的應用存在較大難度。所以,自從鄧聚龍教授提出灰色系統理論以來,由于灰色系統理論提供了貧信息情況下解決系統問題的新途徑,為變形監測領域實時、動態、準確地開展變形分析與預報提供了新的手段與方法,因此,灰色系統理論得到了飛速發展[1,2]。

但應用中,灰色單點預測模型準確率不高,嚴重影響預測結果,因此,本文針對該問題,在分析灰色單點預測模型的不足基礎之上,綜合考慮變形點之間的空間相關性,引入空間多點殘差修正模型,并結合實際工程進行比較分析,得到了比較好的結果。

2 灰色預測模型原理

灰色預測是對本特性灰色系統進行的預測,利用已有的數據資料,建立灰色系統模型,對系統未來的發展作趨勢外推,其預測值為一個灰平面區間,且區間大小與預測精度成反比 (圖 1)[3,4]。基于灰色系統理論的灰色預測對原始數據沒有大樣本的要求,通常只要原始數列有 4個以上的數據,就可以通過數據生成變換建立灰色模型 G M(1,1)[5]。

圖1 灰色模塊示意圖Fig.1 Sketch of greymodule

2.1 GM(1,1)模型

若原始數列 x(0)={x(0)(k)}的一次累加生成(1-AGO)數列 x(1)={x(1)(k)}具有明顯的指數規律,則可以建立 G M(1,1)模型：

其中:a稱為灰色系統的發展系數;u稱作灰作用量,是一個內生變量,可以理解為 t時刻,變量 x(t)的變化率 dx(t)/dt與變量本身 x(t)及灰作用量 u的一個線性組合,u是常量,其通解為:

基于時間點 t=0,1,2,…,k,將式 (2)離散化,有:

式(3)為 G M(1,1)模型的離散響應函數,當 k =0,1,2,…,n-1時,得到的(1)(k)為 G M(1,1)模型的擬合值;當 k=n,n+1,…,時,得到的(1)(k)為 G M(1,1)模型的預測值。對(1)(k)做一次累減生成(1-I AGO),即可還原得到原始數列的擬合值與預測值(0)(k),其建模框圖如圖 2所示。

圖 2 G M(1,1)模型建?？驁DFig.2 Block diagram ofmodel G M(1,1)

2.2 殘差 GM(1,1)模型

式(6)稱為殘差修正 G M(1,1)模型。

2.3 灰色預測模型改進思路

G M(1,1)、G M(1,1)以及本文中沒有詳細列出的 G M(1,N)、G M(2,1)[6]等灰色模型其實質都是針對單點變形的研究,其中 G M(1,N)考慮到了相關點之間的影響,但其仍然是基于單點數據進行預測,沒有從整體考慮變形點之間的相互關系。而實際各種工程的變形中,大量的變形監測點間相互影響、彼此關聯。拋開這些相互關聯的信息,僅僅對單點進行處理與預測,顯然不足以反映變形體的整體變形趨勢和變形規律。因此,有必要轉向多點的空間整體變形分析,充分利用各類采集到的信息,發揮整體積極作用,更接近現實本質的空間動態分析,完整和全面地反映變形體的狀況。

3 空間多點殘差修正模型研究

3.1 空間多點模型

考慮 n個點相互關聯和相互影響[7],對此生成序列建立 n元一階常微分方程組:

寫成矩陣形式:

其連續時間響應為[8]：

3.2 空間多點殘差修正模型

當 k＜m時,將式(9)離散化得到：

4)將滿足殘差修正條件的點建立 1-AGO序列代入式 (5)計算其模擬時間序列(k);

5)根據式(6)得到其修正后的時間響應,得出殘差修正值;

6)模型精度評定。

4 模型試驗與分析

選擇黃河小浪底水利樞紐工程大壩B斷面的 4個沉降監測數據點 2001—2006年垂直方向位移年變化量作為試驗數據(表 1)。以Matlab 7為建模工作環境,綜合運用 G M(1,1)、G M(1,N)、空間多點以及空間多點殘差修正模型對實測值數據進行模擬與預測。其中前 5個周期數據用于模擬,為模擬值,最后一個周期數據為預測值 G M(1,N)無預測值,全部為模擬值)。經計算,C13與 813點的原始序列不存在 k0滿足殘差修正模型建立的條件,因此文中僅209與B14點存在空間多點灰色模型修正值。數據結果與對比如表 1與圖 3所示。

表 1 小浪底大壩 B斷面年際沉降監測數據(單位:mm)Tab.1 Annual subsidence mon itoring data of B section of the Xi aolangdiDam(un it:mm)

從表 1與圖 3可知：

1)空間多點殘差修正模型的數據擬合精度最高,兩個點相對誤差絕對值之和分別為 38%與15%。同時,相對誤差呈現出隨周期逐漸增加的趨勢,短期內模擬精度最好。

2)G M(1,N)模型的數據擬合精度次于空間多點殘差修正模型,變化趨勢與空間多點殘差修正模型相反,短期內擬合相對誤差較大,更適合于長期數據模擬與內插。然其不能應用于數據預測,局限性較大。

3)3種預測模型中,空間多點模型的預測效果最好,其平均相對誤差為 96%?？臻g多點殘差修正模型次之,兩個點的相對誤差平均值為 96%,不如空間多點模型的 39%。G M(1,1)模型的預測精度最差,其相對誤差平均值達到了 284%。

4)綜合考慮整體模擬與預測精度,空間多點殘差修正模型的精度最高,相對誤差絕對值之和為122%,空間多點模型為 179%,均遠遠優于 G M(1, 1)模型的 284%。

圖3 預測結果對比Fig.3 Comparison among the prediction results

5 結論與展望

空間多點殘差修正模型的整體模擬預測精度在現有幾種灰色系統模型中最好,其整體相對誤差絕對值之和為 122%,優于空間多點模型的 179%與G M(1,1)模型的 284%。同時,該模型能夠達到很好的數據擬合精度,尤其對于短期數據模擬(5個周期內)相對誤差能夠控制在 20%以內。空間多點模型數據預測精度略優于空間多點殘差修正模型,然而模擬精度遠不如空間多點殘差修正模型與 G M (1,N)模型?？傮w而言,多點模型將變形過程作為一個整體的系統進行考慮,該思想代表了變形分析與預報的發展趨勢。

空間多點殘差修正模型要求數據序列滿足殘差修正條件,在適用范圍方面不如空間多點模型。然而空間多點模型在數據擬合與內插精度上不如 G M (1,N)模型。具體到實際應用中需要多數據多模型綜合應用以解決變形監測中的實際問題。同時,考慮到文中數據量以及數據為一次殘差修正等限制,作者認為空間多點殘差修正模型能夠得到更進一步的發展應用。

1 黃聲享,尹暉,蔣征.變形監測數據處理[M].武漢：武漢大學出版社,2003.(Huang Shengxiang,Yin Hui and Jiang Zheng.Defor mation monitoring data processing[M]. Wuhan：Wuhan University Press,2003)

2 肖新平.灰色系統模型方法的研究[D].華中科技大學, 2002.(Xiao Xinping.Study of grey system model[D].Wuhan：HuazhongUniversity of Scienceamp;Technology,2002)

3 鄧聚龍.灰色系統理論教程[M].武漢：華中理工大學出版社,1990.(Deng Julong.Tutorial of grey system theory [M].Wuhan：Publishing CompanyofHuazhongUniversityof Science and Technology,1990)

4 劉思峰,黨耀國,方志耕.灰色系統理論及其應用[M].北京：科學出版社,2004.(Liu Sifeng,Dang Yaoguo and Fang Zhigeng.Gray system theory and application[M].Beijing：Science Press,2004)

5 劉思峰,鄧聚龍.G M(1,1)模型的適用范圍[J].系統工程理論與實踐,2000,20(5)：121-124.(Liu Sifeng and Deng Julong.The range suitable for G M(1,1)[J].Systems Engineering Theoryamp;Practice,2000,20(5)：121-124)

6 陳曉斌,張家生,安關峰.G M(1,1)與 G M(2,1)模型在基坑工程預測中的應用 [J].巖土工程學報,2006,28 (S1)：1 401-1 405.(Chen Xiaobin,Zhang Jiasheng and An Guanfeng.Application of gray-method models G M(1,1) and G M(1,2)forecasting of pit excavation engineering[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2006,28 (S1)：1 401-1 405)

7 潘國榮,劉大杰.顧及鄰近點變形因素項的動態模型辨識及預測[J].測繪學報,2001,30(01)：32-35.(Pan Guorong and Liu Dajie.Dynamic modeling identification and predication in consideration of the adjacent point deformation [J].Acta Geodaetica etCartographica Sinica,2001,30(1)：32-35)

8 王穗輝,潘國榮.基于MATLAB多變量灰色模型及其在變形預測中的應用 [J].土木工程學報,2005,38(05)：24-27.(Wang Suihui and Pan Guorong.A Matlab-based multi-variate grey model and its application in deformation prediction[J].China Civil Engineering Journal,2005,38 (5)：24-27)

STUDY ON SPATIAL M ULTI-PO INT RESIDUAL MODEL BASED ON GREY PRED ICTION

Li Xiaolei1,3),Liu Rui2),Tian Yongrui3)and Xie Bingke1)

(1)School of Civil Engineering and Architecture,Chongqing University of Science and Technology,Chongqing 401331 2)Institute of Geographical Sciences and Natural Resources Research,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100101 3)College of Geology Engineering and Geom atics,Chang’an University,X i’an 710054)

On the basisof the analysisof the shortage of Grey single-pointpredictionmodel,by considering the spatial correlation between the deformation observation points,the residual modification is applied in the spatial multi-pointmodel and thus the spatialmulti-point residualmodel is developed.By taking the subsidence monitoring data of Xiaolangdimultipurpose dam as an example,the results shows that the total absolute values of relative error (5 cycles)of spatialmulti-point residualmodel is122%,better than 179%of spatialmulti-pointmodel and 284% of G M(1,1)model.Meanwhile,thismodel has the best fitting accuracy with the relative error less than 20%in short-cycle fitting.

grey prediction;defor mation analysis;residual modification;spatial multi-point residual model;subsidence monitoring

1671-5942(2010)05-0125-04

2010-04-19

中國科學院地理科學與資源研究所前沿領域創新項目

李曉蕾,女,1981年生,碩士,主要從事建筑工程測量理論與應用等研究.E-mail：li.xiaolei8@gmail.com

P207

A