圓形隧道斷面檢測數據擬合新方法＊

谷 川 秦世偉

(1)上海市政工程設計研究總院,上海 200092 2)上海大學土木工程系,上海 200072)

圓形隧道斷面檢測數據擬合新方法＊

谷 川1)秦世偉2)

(1)上海市政工程設計研究總院,上海 200092 2)上海大學土木工程系,上海 200072)

針對圓形隧道斷面檢測數據擬合算法存在的不足,提出一種新的數據擬合算法。該算法首先對所有的觀測點進行平面擬合,而后將所有的觀測點進行球殼擬合,該球殼的球心必須位于擬合的平面內,并且在擬合的流程中加入粗差檢驗。該方法避免了坐標投影、坐標轉換、迭代計算等復雜操作,可以直接得到空間圓的圓心、半徑等參數。該模型可靠,擬合精度高,實現簡便,節省計算資源,是一種良好的圓形隧道斷面擬合算法。

斷面檢測;圓形隧道;平面擬合;球殼擬合;粗差檢驗

1 引言

隨著現代城市的發展,軌道交通建設正在發生日新月異的變化,地鐵由于其相對獨特的優點,正越來越被人們認可。所以,地鐵隧道的安全性要求也越來越高,如何保證地鐵列車在隧道中安全運行成為了軌道交通管理部門所面臨的首要任務。由于長時間的運行,同時大多數地鐵隧道上方都是高層建筑,地鐵隧道難免會發生一些變形,必須時刻掌握這些變形,并保證其處于安全范圍之內,才能保證地鐵列車的安全通行。

目前已有的方法多是首先對觀測數據進行平面擬合,將觀測點投影到擬合平面上,采用坐標轉換的方式將三維坐標轉換到平面內,基于點到圓心的距離與半徑之差的平方和最小的原則,在平面內進行平面圓的擬合得到圓心和半徑,將平面圓的圓心經過坐標反算轉換到原坐標系中,得到空間圓的圓心[1-3]。應用該方法進行空間圓的擬合是可行和有效的,然而,其算法中涉及到坐標投影、兩次坐標轉換,平面圓擬合時對非線性的處理需要迭代等,原理比較復雜,實現起來比較繁瑣。

文獻[4]提出了一種采用空間平面和球殼相交的方法擬合空間圓,但由于沒有對球殼進行限制,測點沿平面法線方向的誤差對球殼方程的擬合擾動很大,抗差性不強;而且在擬合得出球殼的球心和半徑等參數后,還需要進一步的計算才能得到空間圓的圓心、半徑等參數,方法不夠直接有效;此外,對于所有的觀測點均位于同一空間圓上的特殊情況,理論上會得到無數組的解。

基于以上幾點考慮,作者對現有方法進行了改進,提出了圓形隧道斷面檢測數據擬合新方法。該方法首先擬合得出觀測點所在的空間平面,而后在球心坐標位于擬合平面內的約束下擬合空間球殼,得到的球心坐標和球殼半徑即為空間圓的圓心坐標和半徑。

2 隧道斷面檢測外業測量

對隧道斷面的檢測首先要保證測量斷面位置正確,這樣才可以和該斷面的設計斷面類型進行比對,其次要保證所測量的斷面位于該里程點的法線方向,并且同時還要考慮縱斷面方向的影響,所測的斷面可能并不位于垂直面內,需要根據該里程點的坡度進行調整。

具體操作方式為：在需要進行斷面測量的里程上某點設站,按照該里程的切線方向進行定向,將儀器旋轉 90°到斷面法線方向,然后以免棱鏡模式進行斷面點測量。如果采用的儀器為自動全站儀,則還可以根據需要設置按照固定的角度步長或者距離步長進行斷面掃描測量。

隧道斷面檢測現場數據采集情況如圖 1所示。

數據采集完成后,需要完成的工作就是對采集的數據進行處理,得到斷面特征數據,例如圓心坐標、斷面半徑等。

3 空間圓擬合新方法的模型

3.1 空間平面擬合

理論上而言,斷面測量的點應該位于空間的同一個平面內,為了實現最終的斷面曲線擬合,首先必須找到該空間平面。但是,由于數據采集誤差 (主要指觀測點位置偏離檢測斷面)的存在,斷面點可能不完全在同一個空間平面內,則需要按照最小二乘原理剔除粗差。

圖1 隧道斷面檢測現場數據采集Fig.1 Data acquisition in tunnel section detection site

以 (Xi,Yi,Zi)T(i=1,2,…,n)表示觀測點坐標,則隧道斷面的平面方程可表示為:

式中(A,B,C)T為平面的法線方向單位矢量,為了唯一確定該單位矢量,可令A＞0;若 A=0,則令B＞0;若A=0且B=0,則 C＞0;A、B、C不可能同時為0。

各觀測點到平面的距離為：

為了擬合出與觀測值最接近的平面,可令各觀測點至平面的距離平方和為最小,按最小二乘法則VTV=min,擬合出平面方程參數 A、B、C、D。條件式為A2+B2+C2=1,對A、B、C作單位化修正。

擬合時可以根據殘差剔除數據采集粗差點。若某觀測量改正殘差大于限差 (如限差為 3σ,或某個設定值,或者同時滿足兩個條件),則視該觀測量為粗差點。剔除粗差后根據最小二乘法則重新解算待估參數,找到最佳平面。本文采用同時滿足Vi＞3σ和Vi＞±1 mm兩個條件。

3.2 空間圓擬合新方法

空間平面與球殼的關系可以有如下的描述：

由于空間圓可由一個空間球殼與一個空間平面相交來描述。因此,可將觀測數據分別擬合成一個平面和一個空間球殼,用平面和空間球殼相交表示該空間圓。即：

平面唯一,但是,球殼卻可以有無窮多個,只要球殼的半徑 R滿足:

式中,d為球心到平面的距離,r為空間圓的半徑。

為了使球殼唯一,可對其進行限制。本文提出將其限制為該球殼的球心位于該擬合平面上。如此,則觀測點沿平面法線方向的擾動在空間圓徑向方向的方向余弦為 0,即平面擬合的誤差對球殼擬合沒有影響。

該方法的原理如圖 2所示。

圖2 空間圓擬合原理示意圖Fig.2 Sketch of principle of space circle fitting

空間圓的表達方式為：

3.3 空間球殼擬合方法

球殼一般方程式為：

展開得：

誤差方程線性化為:

也可以寫成:

式中,Ai=[XiYiZi-1],X=[dAA dBB dCC dDD]T。

對 X0、Y0、Z0加以約束,球心位于擬合平面上,

即滿足公式：

亦即：

結果表明，當瓷介質磨礦時，隨著pH值升高，方鉛礦礦漿電位逐漸下降。但在鐵介質磨礦下，隨著pH值升高，方鉛礦礦漿電位先略微下降，而后逐漸上升，且兩種介質礦漿電位的差值隨pH的升高而減小。因為當瓷介質磨礦時，方鉛礦表面一直存在局部電池作用，消耗了溶解氧含量，磨礦系統氧化性越來越弱，導致礦漿電位下降。而當鐵介質磨礦時，不僅礦物自身氧化溶解，存在局部電池作用，鐵球介質還會發生氧化反應生成Fe2+和Fe3+，在低pH值情況下礦漿電位降低是兩者的綜合作用結果。但是隨著pH值的升高，鐵介質氧化加劇，不斷生成高價鐵離子，礦漿電位又會迅速上升。

按照附有限制條件的間接平差解算式 (11)、(14),就可以得到 X。

反算公式為：

求得的球心坐標即為空間圓的圓心坐標,球殼半徑即為空間圓的半徑。

擬合時可以根據殘差剔除測量粗差點,若某觀測量改正殘差大于限差 (如限差為 3σ,或某個設定值,或者同時滿足兩個條件),則視該觀測量為粗差點。剔除粗差后根據最小二乘法則重新解算待估參數。

采用本文的方法進行圓形隧道斷面檢測數據擬合的數據處理流程見圖 3。

圖3 數據處理流程Fig.3 Flow of data processing

3.4 初值的確定

好的初始值能夠使計算更加精確,現給出初始值確定的方法。

4 算例

某隧道斷面檢測現場采集的數據如表 1。

采用 3種方法進行擬合,并且對擬合結果進行比較和分析。

方法Ⅰ為文獻[1-3]中的方法,方法Ⅱ為文獻[4]中的方法,方法Ⅲ為本文方法。

每種方法平面擬合的結果為：A=6.137 127× 10-9,B = -0.999 999 999 989 085,C = -4.672 165 308×10-6,D=-3.898 419 077 8× 10-5,平面擬合中誤差為:σ=0.03 mm。

1)方法Ⅰ擬合結果

擬合得到圓心坐標為:X0=0.028 09,Y0= -0.000 01,Z0=-7.765 44,半徑 R=2.764 49,擬合中誤差σ=11.38 mm。

2)方法Ⅱ擬合結果

表 1 觀測點坐標(單位:m)Tab.1 Coordinates of observed points(un it:m)

直接擬合得到球殼的方程參數為:X0= 0.028 09,Y0=2.184 92,Z0= -7.764 39,R= 2.185 09。空間圓圓心和半徑參數為:X0= 0.028 09,Y0=0.000 00,Z0= -7.765 41,R= 2.764 50,擬合中誤差σ=11.38 mm。

3)方法Ⅲ擬合結果

空間圓擬合結果為:X0=0.028 09,Y0= 0.000 00,Z0=-7.765 41,R=2.764 50,擬合中誤差σ=11.38 mm。

采用上述幾種方法進行數據處理,得到了幾乎完全一致的計算結果,誤差在 0.1 mm以下,可認為幾種方法等效。按照本文的粗差剔除方法,T63為粗差點,被發現和剔除。在現場,T63為在管壁上的一個螺帽上采集的點。

觀測點以及擬合圓弧位置的關系如圖 4所示。

圖4 觀測點以及擬合圓弧Fig.4 Observed points and fitted circular arc

經過比較可以發現,3種方法僅存在0.01 mm數位的差別,考慮到測量誤差遠大于 0.01 mm,可以認為 3種方法得到的擬合結果幾乎完全一致。但考慮到本文提出的方法無需坐標投影、坐標轉換、迭代計算,且擬合解穩定,可直接得到擬合參數,便于程序實現,節省計算資源,所以本文的方法相對已有的數據處理方法更具優勢。

5 結論

針對圓形隧道斷面檢測數據擬合方法存在的問題,提出了一種新的數據處理算法。該方法避免了坐標投影、坐標轉換、計算迭代等操作,同時可以直接得到空間圓的圓心、半徑等參數,方法實現簡便,節省計算資源,擬合精度高,算法可靠,是一種良好的隧道斷面擬合算法。

1 王解先,趙向陽.圓形軌道變形測量[J].工程勘察,2003, 31(4)：60-61,64.(Wang Jiexian and Zhao Xiangyang. Deformation surveying of circular orbit[J].Geotechnical Investigationamp;Surveying,2003,31(4),60-61,64)

2 潘國榮,谷川,施貴剛.空間圓形物體檢測方法與數據處理[J].大地測量與地球動力學,2007,(3)：28-30. (Pan Guorong,Gu Chuan and Shi Guigang.Themethod and data processing for 3D circular object[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2007,(3)：28-30)

3 高俊強,陶建岳.利用免棱鏡全站儀進行地鐵遂道斷面測量與計算[J].測繪通報,2005,51(10)：41-43.(Gao Junqiang and Tao Jianyue.Profile survey and computation of the subway tunnel using total-station instrument without prism[J].Bulletin of Surveying and Mapping,2005,51 (10)：41-43)

4 潘國榮,陳曉龍.空間圓形物體數據擬合新方法[J].大地測量與地球動力學,2008,(2)：92-94.(Pan Guorong and Chen Xiaolong.A new method for 3D circular object fitting[J].Journalof Geodesy and Geodynamics,2008,(2)：92-94)

A NEW M ETHOD FOR FITTING DETECTION DATA OF C IRCULAR TUNNEL SECTION

Gu Chuan1)and Qin Shiwei2)

(1)ShanghaiM unicipal Engineering Designamp;Research General Institute,Shanghai 200092 2)Depart m ent of Civil Engineering,Shanghai University,Shanghai 200072)

Aiming at deficiencies of existing fitting algorithms for detection data of circular tunnel section,a new data fittingmethod isproposed.Firstly,allobserved points are fitted to a plane.After that,allobserved points are fitted by using a sphere modelwhose centermust be in the fitted plane.Incorrect observed data will be excluded during the fitting process.The new method can avoid coordinates projection,coordinates transfor mation and iteration calculation,etc.The parameters such as center and radius of circle can be gotten directly.The calculation model is reliable and easy to realize,which is usefull to get high fitting precision.The new algorithm takes less calculation resource so it can be considered to be a good tunnel section fitting algorithms.

section detection;circular tunnel;plane fitting;sphere fitting;error detection

1671-5942(2010)05-0097-05

2010-04-23

谷川,男,1983年生,工學博士,工程師,主要研究方向為市政工程橋隧檢測、監測.E-mail：guchuanhaha@163.com

P226+.1

A