不可導點的一些注記

谷振濤白俊霞劉琦

1.山東英才學院基礎教學部 250104；2.膠南市科學技術局 266400

不可導點的一些注記

谷振濤1白俊霞1劉琦2

1.山東英才學院基礎教學部 250104；2.膠南市科學技術局 266400

對于高等數學中求極值或最值部分，需要研究函數在定義域內的不可導點，來確定其是否為極值點或最值點。因此，如何快速來確定函數在哪些點不可導就顯得尤為重要。該文對于如何快速確定函數的不可導點給出了一些辦法。

不可導點；導數；最大值

高等數學中無論是求極值、最值還是判斷單調區間都需要考察函數的不可導點。如何快速準確地判定所考察的函數在哪些點不可導，這需要一些行之有效的辦法，而不能僅靠直覺。

1、用導函數的定義域來判定不可導點

當x≠0時，函數的導數為

當x=0時，函數的導數不存在.在(-∞,0)內，y’<0，因此函數在 (-∞,0]上單調減少.在(0,+∞)內，y’> 0，因此函數在[0,+∞)上單調增加。

在上例的求解過程中通常教材中都不會具體給出如何判定x=0是不可導點，可以默認通過定義進行判斷該點不可導。

2、用導數的定義來判定不可導點

這種判定方法顯得直接，而容易操作，但是這里也有一個難點，如何先判定哪些點可能是不可導點，然后才能對這些可疑的點用導數定義來判斷在該點函數是否可導。這里的預先劃定懷疑范圍也會帶來一些麻煩，如果可疑點是可導點，則似乎我們做的定義判別是無用功，因此用導數定義來判斷一個點是否是可導點，針對一些具體的題目是可以的.但是通常在一些較為綜合的題目中，這個方法就顯得很笨拙。

解 利用導數的定義

下面看一個較為綜合的題目。

在這個題目中，我們其實可以憑直覺，得到x=1,x=2很可能是不可導點，然后可以用定義來判定其是否為不可導點。

但是在這樣一個綜合性的題目中，我們用定義來判定不可導點，顯得既麻煩，又沒有效率，但是求最大值的規則要求我們必須驗證這些點的身份。（當然這個題目我們為了求得最值，不需要驗證x=1, x=2是否可導點，直接將其作為可疑最值點與端點和駐點進行比較即可）。

我們自然尋求一些便于判斷函數不可導點的快捷辦法。

3、假想延拓法判定不可導點

討論函數在x=1處是否可導，利用(1)式.我們假想

則其在(-3,1.5)上的導函數為f’(x) =2x-3。當然導函數在x=1處的形式也是f’(x)=2x-3，因此立即得知函數f(x)=x2-3x+2在x∈[-3,1]左可導，且

利用(2)式，假想

則在（0.5,2）上的導函數為f’(x) =-2x+3。當然導函數在x=1處的形式也是f’(x)=-2x+3，因此，立即得知函數f(x) =-x2+3x-2,x∈[1,2]在x=1右可導，且。

于是我們得到在x=1處左右導數存在不相等，因此函數在x=1處不可導，類似可得函數在x=2處也不可導。

注意:雖然假想延拓法看似復雜，但是理解其內涵之后，運用起來相當簡單，另外假想延拓法也要注意一些條件，比如函數在所討論點連續，在該點的左右鄰域里均是初等函數。

4、關于以上方法的比較應用

例4 設函數

為了使函數f(x)在x=1處連續且可導，a,b應該取何值。

解法一：據已知f(x)在x=1處可導，因此

因而必有a+b-1=0以及a=2，由此解得b=-1。

解法二：據已知函數在x=1處連續且可導，因此在x=1處左右導數均存在.根據假想延拓法知函數在x=1處左導數為f’_(1)=2，于是再根據假想延拓法知函數在x=1處右導數為f’+(1)=a=f’_(1) =2再根據函數在x=1處連續，得a+b=1，解得b=-1

顯然應用假想延拓法能迅速解決問題。

[1]同濟大學應用數學系. 高等數學（第六版）[M]. 上海: 同濟大學出版社.2007.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2001.

TPO172.1

10.3969/j.issn.1001-8972.2010.14.105

谷振濤（1982-），男，山東萊蕪人，山東大學在職碩士研究生，助教，主要從事研究方向：高等數學，數值分析，數學建模.