高職數學研究式教學方法探究

張天鶴

（無錫商業職業技術學院 江蘇 無錫 214153）

高職數學研究式教學方法探究

張天鶴

（無錫商業職業技術學院 江蘇 無錫 214153）

研究式課堂教學模式是一種先進的教學方式，它使被動的接受式學習轉化為主動的探索式學習，有利于培養學生的探究能力和創新能力。點題是研究式教學的基礎，一個好的點題不僅要告訴學生“學什么”，更重要的是要告訴學生“為什么學”，這樣才能使學生主動地參與到研究和發現的境界中來。科學抽象、類比、猜想、歸納等邏輯思維形式對于學生數學概念的形成、數學命題的發現以及數學命題的論證有至關重要的意義，在研究式教學中應當予以特別重視。

高職；研究式教學模式；點題；邏輯思維

隨著高職教學改革的不斷深入，高職數學“教什么”和“怎么教”的問題已經成為高職院校每一位數學教師必須研究的問題。筆者認為將研究式課堂教學模式作為提高高職數學教學質量的重要手段，是一條可行之路。研究式課堂教學模式可以引導學生以數學家的眼光，運用觀察、猜想、分析、類比、歸納等方法去發現科學規律，它與其他課堂教學模式的區別在于，知識的遷移是在學生“研究”的過程中實現的，它使被動地接受式學習轉化為主動的探索式學習，更有利于培養學生的探究能力和創新能力。研究式教學模式的實現需要兩個互相聯系的條件：一是營造以學生為中心的研究式學習環境，二是根據學生的需要提供必要的指導和幫助。我國開展的數學開放題教學模式、數學建模活動以及各種運用數學知識和相關知識解決實際問題的活動，都可以看作是研究式教學模式的不同形式。教師在設計研究式教學模式的過程中，需要兼顧多方面的因素，特別是數學高度抽象的特點和本班學生對數學的學習興趣與能力水平等。下面主要舉例說明研究式課堂教學模式的實施要點。

點題——研究式教學的基礎

“點題”即點明所要研究的課題，它是研究式教學的基礎。其與傳統教學的一個顯著區別是，研究式教學不把所要講授的知識點作為成熟的理論告訴學生，而是作為待研究的課題與學生一起研究。一個好的點題不僅要告訴學生“學什么”，更重要的是要告訴學生“為什么學？”這樣才能使學生主動地參與到研究和發現的境界中來。

例如，在二元函數的概念一節，首先回顧圓柱體的體積公式：

體積V依賴于底半徑r與高度h，當r與h在一定范圍內取定一組值時，通過體積公式，V就有唯一確定的值與之對應，因此圓柱體的體積公式確定了因變量與自變量r、h之間的函數關系，為了研究這類含有兩個自變量的函數問題，有必要學習二元函數的概念。

在多元函數的偏導數一節，首先復習中學物理中學習過的理想氣體方程。具有一定質量的理想氣體的壓強P、體積V和絕對溫度T三者之間的關系為：

P是關于V、T的二元函數。對于依賴于兩個或兩個以上自變量的多元函數，常用的一種研究方法是“各個擊破”，如先研究當溫度T不變（等溫過程）的條件下，壓強P對體積V的變化率（P視為V的一元函數）為：

再研究體積V保持不變的條件下，壓強P對溫度T的變化率 （P視為的T一元函數）：

這種形式的變化率就稱為二元函數的偏導數。

引導學生運用各種邏輯思維形式發現和論證數學命題

邏輯思維的形式主要有科學抽象、類比、猜想、歸納等，這些邏輯思維形式對于學生數學概念的形成、數學命題的發現和論證有至關重要的意義。

科學抽象 數學研究的是抽象的東西，因此，數學發展所依賴的最重要的基本思想也就是科學抽象。在研究式教學過程中，教師要注意引導學生通過對研究對象的深入觀察，及時抽出本質屬性形成抽象的概念。例如，在“定積分”一節，當學生學習了曲邊梯形的面積和變速直線運動的速度之后，要引導學生拋開這些問題的實際意義，抓住它們在數量關系上的共同本質與特性加以抽象，得到定積分的概念。

數學的概念或結論大多是經過多層次的抽象得到的，并且人們總是謀求抽象基礎上的再抽象。因此，教師要讓學生明白，發展前人的理論，就是把一種規律表示為更一般的形式。例如，學生熟知拉格朗日中值定理、柯西中值定理之后，經過抽象，就會發現它們都包含在下面的定理中。

定理 若函數f（x）、g（x）、h（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，則存在 ξ∈（a，b），使得

事實上，當h（x）=1時，可得到柯西中值定理，當g（x）=x時，就得到拉格朗日中值定理。

考慮代數方程

比較兩邊x2的系數，得

再考慮方程

這個無窮方程的根應該是2kπ，k∈Z.

歐拉將此方程與前面的有限方程做類比，認為應該有

比較上式兩邊x2的系數，得

高等數學的許多概念、定理在內容和形式上都有類似之處，如一元函數的微分定義與二元函數的全微分定義、數列極限與函數極限的性質、定積分與重積分的性質等等，靈活運用類比可加快學生學習進度。

猜想 傳統數學教學中很少運用猜想，其根本原因在于我們總是習慣于只教給學生知識，而很少再現知識的發現過程。在科學研究的初始階段，猜想具有舉足輕重的地位。比如Rolle在他的《任意次方程的一個解法的證明》中給出了著名的Rolle中值定理，但是，當時他沒有證明，用現在的觀點來講，這只是一個猜想而已。猜想就是在具備有關知識和占有相關資料的前提下，經過對占有的材料去粗取精，去偽存真，找出共性，引出規律。這是一個極富創造性的心智過程，對培養創造型人才具有重要意義。在我們的教學中，要大力開拓這個過程。例如：在“冪級數”一節，當引入冪級數的概念后，如何進一步研究其性質呢？由于冪級數

當|x|＜1時收斂，當|x|≥1時發散，于是，我們猜想冪級數的收斂區間可能是一個以原點為中心的對稱區間。這時學生就很想知道猜想是否正確，于是，研究阿貝爾（Abel）定理就成為水到渠成的事情。

歸納 就是從特殊的、具體的認識推進到一般的、抽象的認識的思維方式。它是科學發現的一種常用的有效思維方式。引導學生對數學內容進行歸納，是“發現”數學結論的重要手段。

f{f[…f（x）]}

我們不能直接計算出結果，可能會想到首先算一算

然后再算一算

這時，就會自然歸納出

當然歸納出這個結果后，還需要嚴格證明它。再比如，計算函數的階導數時，也經常通過歸納的方法得出結果。

互相交流，拓展和完善知識面

這是研究性教學過程的繼續與深化，由于學生受知識水平、思維品質、數學能力等諸多因素的影響，可能會在分析、猜想、類比、歸納等諸多方面出現不完全甚至錯誤的情況。因此，一方面，教師要引導學生根據前一階段的探索研究，歸納、總結出有關知識與規律方面的結論，并鼓勵學生在個人獨立研究的基礎上，通過小組討論等形式修正錯誤，延伸、完善相關知識和結論，充實原有的認知結構。另一方面，教師要對學生在研究性學習過程中出現的主要錯誤或獨到見解進行講評，尤其是對學生普遍存在的難點，必須及時點撥。在學生初步掌握了課程的內容之后，教師要圍繞課題，對研究性學習過程進行細致的反思，幫助學將生知識系統化，提煉思想方法，形成觀點，總結經驗教訓。

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G712

A

1672-5727（2010）07-0104-02

張天鶴（1963—），男，甘肅定西人，無錫商業職業技術學院副教授，主要從事數學教育研究。

（本文責任編輯：尚傳梅）