略論模象直觀在中職立體幾何概念教學(xué)中的應(yīng)用

習(xí)明

（桐廬教師進(jìn)修學(xué)校 浙江 杭州 311500）

略論模象直觀在中職立體幾何概念教學(xué)中的應(yīng)用

習(xí)明

（桐廬教師進(jìn)修學(xué)校 浙江 杭州 311500）

從中職數(shù)學(xué)立體幾何概念教學(xué)這個(gè)角度出發(fā)，以模象直觀為助手，從給出模象、啟發(fā)思維，自制模象、自主探究?jī)蓚€(gè)方面應(yīng)用模象直觀教學(xué)，讓學(xué)生能夠更好地掌握立體幾何概念。

模象直觀；中職；立體幾何概念；調(diào)查分析

直觀是反映事物外部特征和聯(lián)系的感性認(rèn)識(shí)活動(dòng)，參與這一活動(dòng)的有記憶、想象、思維的成分。直觀所獲得的感性認(rèn)識(shí)非常豐富，有助于概念的理解。建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)生是信息加工的主體，學(xué)生將其所獲得的新知識(shí)與已有的知識(shí)建立實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，是意義建構(gòu)的關(guān)鍵。因此，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主動(dòng)性和能動(dòng)性至關(guān)重要。表征是認(rèn)知科學(xué)，特別是認(rèn)知心理學(xué)的一個(gè)核心概念，它代表某種事物并傳遞某種事物的信息。而建立立體幾何概念的直觀表征則能充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮他們學(xué)習(xí)的自主性，促使學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力也起到十分重要的作用。

模象直觀是直觀教學(xué)的類(lèi)型之一，指通過(guò)對(duì)實(shí)際事物的模擬性形象的感知提供感性材料的直觀方式，如觀看圖片、圖表、模型、幻燈、錄像、電影等，引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地使用立體幾何的模象直觀，是使學(xué)生順利進(jìn)入立體幾何之門(mén)理解立體幾何概念的重要手段。這里所說(shuō)的模象直觀不僅指教學(xué)使用的教具、課桌面、書(shū)本、手掌（表示平面）、手指（表示直線(xiàn)）、打開(kāi)的書(shū)本（表示二面角）等現(xiàn)成的實(shí)物，也指日常生活中的實(shí)例，如造房子用的鉛垂線(xiàn)可看作空間的一點(diǎn)到平面的距離，還指用紙片、線(xiàn)、木板等實(shí)物構(gòu)造出來(lái)的模擬實(shí)物，如用一張紙片折成的二面角，在適時(shí)地選用合適的多媒體方式來(lái)刺激學(xué)生感官，創(chuàng)造新的興奮點(diǎn)，可使學(xué)生繼續(xù)保持最佳的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

給出模象，啟發(fā)思維

立體幾何是直觀與抽象相結(jié)合的產(chǎn)物。波利亞說(shuō)：“抽象的道理是重要的，但是要用一切辦法使它們能看得見(jiàn)、摸得著。”對(duì)于一個(gè)新的立體幾何概念來(lái)說(shuō)，這就是指如何通過(guò)對(duì)直觀模象的考察，把新概念與已經(jīng)掌握的概念聯(lián)系起來(lái)，即用“已知”表征“未知”，啟發(fā)學(xué)生的思維，突破概念理解的障礙。如圖1所示。

圖1 聯(lián)系圖

（一）運(yùn)用實(shí)例模象

建構(gòu)主義認(rèn)為：數(shù)學(xué)概念要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際。數(shù)學(xué)概念應(yīng)結(jié)合現(xiàn)實(shí)中的具體情境，使學(xué)生形成背景性經(jīng)驗(yàn)。例如，在實(shí)際生活中，木工檢查板面是否平滑，用準(zhǔn)確的直尺邊沿放在木板上，若任意移動(dòng)時(shí)，直尺的邊沿都緊貼木板（不透光），則認(rèn)為板面是平滑的。因此，在教學(xué)中要密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型，引導(dǎo)他們分析日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中常見(jiàn)的事例，使學(xué)生獲得十分豐富和合乎實(shí)際的感性材料，在具有充分的感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上引入概念。

案例1：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

在運(yùn)動(dòng)會(huì)上，運(yùn)動(dòng)員的跳遠(yuǎn)成績(jī)，是運(yùn)動(dòng)員落入沙坑的足跟到起跳線(xiàn)的距離（點(diǎn)到直線(xiàn)的距離），如圖2所示。

圖2 跳遠(yuǎn)示意圖

點(diǎn)A是足跟，a是起跳線(xiàn)，AB⊥a,點(diǎn)B是垂足，AB是點(diǎn)A到直線(xiàn)a的距離。不論運(yùn)動(dòng)員從起跳線(xiàn)的什么地方起跳（犯規(guī)不算），丈量時(shí)總是讓皮尺起于足跟，并且垂直于起跳線(xiàn)，即點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)，是運(yùn)動(dòng)員的跳遠(yuǎn)成績(jī)。

這一實(shí)例，揭示了“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”的概念的本質(zhì)屬性，學(xué)生從計(jì)算運(yùn)動(dòng)員的跳遠(yuǎn)成績(jī)這一的生活情景中充分理解了“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”的概念。

（二）運(yùn)用簡(jiǎn)易模象

有時(shí)身邊隨手可得的筆、三角板、翻折的紙等就是很好的模象。例如，將一本書(shū)打開(kāi)，將書(shū)脊看作一條直線(xiàn)，書(shū)一分為二——兩個(gè)“半平面”。其中一半平面繞書(shū)脊這一直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，與初始位置構(gòu)成二面角。

案例2：直線(xiàn)與平面垂直

如果教師先列舉幾個(gè)直線(xiàn)與平面垂直的例子，然后給出定義，學(xué)生雖有所感悟，但有些學(xué)生理解得并不透徹。教師不妨再設(shè)計(jì)一下概念的形成過(guò)程，師生可共同操作。將兩個(gè)三角板的一條直角邊及直角頂點(diǎn)重合，另兩條直角邊放在桌面上，使這兩條邊不在同一條直線(xiàn)上。學(xué)生觀察到：可以將三角板繞公共直角邊所在的直線(xiàn)a任意旋轉(zhuǎn)，并且另兩條直角邊b、c仍落在桌面上。此時(shí)，教師提問(wèn)：“平面內(nèi)過(guò)公共直角頂點(diǎn)的直線(xiàn)b、c與公共邊a是否垂直，為什么？”

在展示論證該定義的形成過(guò)程中，學(xué)生豐富了感性認(rèn)識(shí)，通過(guò)他們的實(shí)踐、觀察、論證，不僅學(xué)到了新知識(shí)，還認(rèn)識(shí)到新知識(shí)的形成、發(fā)展、獲得過(guò)程，就是在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上進(jìn)行實(shí)踐、概括、抽象的過(guò)程。

案例3：二面角的平面角

在講解該概念時(shí)，教科書(shū)中只是用山坡作例子，山坡的傾斜程度可以用它的坡角大小來(lái)刻畫(huà)，坡角是坡面與水平面形成的二面角。為了讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固二面角的概念，教師都會(huì)講到這樣的例題：山坡的傾斜度是60°，山坡上有一條直道CD，它和坡腳的水平線(xiàn)AB的夾角是30°，沿這條路上山，行走100米升高多少？雖然這道題目與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，但學(xué)生的掌握情況不是非常好。圖3的簡(jiǎn)易模象直觀形象，對(duì)題目中的要素信息顯示得非常明了，學(xué)生也可動(dòng)手操作，這使他們積極思維，學(xué)得靈活。

（二）運(yùn)用多媒體技術(shù)

利用以計(jì)算機(jī)為中心的教學(xué)媒體，綜合處理和控制符號(hào)、語(yǔ)言、文字、圖形、圖像、動(dòng)畫(huà)等多種媒體信息，把各個(gè)媒體要素按教學(xué)要求進(jìn)行有機(jī)組合，同時(shí)完成一系列人機(jī)交互式的操作。多媒體技術(shù)能夠?yàn)閷W(xué)生提供一個(gè)主動(dòng)學(xué)習(xí)、積極建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)環(huán)境，使教學(xué)中心由教師變?yōu)閷W(xué)生，教學(xué)形式由灌輸變?yōu)橹鲃?dòng)建構(gòu)。目前，多媒體課件常用的制作軟件有PowerPoint、Authorware、Flash、FrontPage、Excel和幾何畫(huà)板等。

圖3 簡(jiǎn)易模象圖

1967年，特瑞拉的研究表明：一個(gè)人的五官對(duì)知識(shí)的吸收率，視覺(jué)接受的信息占83%，聽(tīng)覺(jué)所接受的信息占11%，以上兩項(xiàng)占94%，所以有效的視聽(tīng)結(jié)合會(huì)增加信息的吸收率。多媒體技術(shù)具有圖文并茂、聲像并舉、能動(dòng)會(huì)變、形象直觀的特點(diǎn)，可有效地刺激學(xué)生的多個(gè)感官，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在輕松愉悅的氛圍中學(xué)到知識(shí)，學(xué)習(xí)狀態(tài)由被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng)。利用幾何畫(huà)板可進(jìn)行圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射操作，進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示教學(xué)，可以變抽象為具體，變復(fù)雜為簡(jiǎn)單，很適合制作立體幾何概念的教學(xué)課件。

案例4：兩點(diǎn)的最短距離

在立體幾何的教學(xué)中，空間的距離應(yīng)是比較容易掌握的概念，但學(xué)生面對(duì)各種問(wèn)題往往不知所措。

如圖4，一只螞蟻從長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A沿表面爬到點(diǎn)K，最短路程是多少？

圖4 轉(zhuǎn)換圖

如圖5，一只螞蟻從長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A沿表面爬到頂點(diǎn)G，最短路程是多少？

圖5 轉(zhuǎn)換圖

解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不在同一平面的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同一平面的問(wèn)題來(lái)求解。若能利用幾何畫(huà)板進(jìn)行圖示的變換，將整個(gè)過(guò)程展現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生從動(dòng)態(tài)中去觀察、探索、發(fā)現(xiàn)對(duì)象間的數(shù)量變化和空間結(jié)構(gòu)變化，不需教師講解，學(xué)生就能探究出解題方法，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

案例5：三垂線(xiàn)定理及其逆定理

如下為“直線(xiàn)與平面的夾角”一課的片段效果圖，在學(xué)習(xí)此概念前，不能不提到“三垂線(xiàn)定理及其逆定理”這一概念。它對(duì)解決直線(xiàn)與平面所成的角、二面角的平面角、點(diǎn)到平面的距離有非常重要的作用。利用幾何畫(huà)板降低了學(xué)生理解“三垂線(xiàn)定理”的難度，提高了他們的抽象思維能力。

圖6 示意圖

圖7 示意圖

圖8 示意圖

如圖6，點(diǎn)P在△ABC上的射影是△ABC的垂心，求證：PC⊥AB。

讓學(xué)生（已掌握異面直線(xiàn)垂直的概念、直線(xiàn)與平面垂直的概念）在各自的計(jì)算機(jī)上觀察猜想、思考、分析，應(yīng)用幾何畫(huà)板來(lái)解決問(wèn)題。在學(xué)生思考片刻后，教師提問(wèn)，學(xué)生回答延長(zhǎng)線(xiàn)段CO交AB于點(diǎn)D，形成圖7，并完成了證明。

此時(shí)，請(qǐng)學(xué)生回答在計(jì)算機(jī)屏幕上顯示的三個(gè)問(wèn)題：

1.圖7中，線(xiàn)段PC、DC與△ABC所在的平面是何關(guān)系？學(xué)生：PC是△ABC所在平面的斜線(xiàn)，PO是斜線(xiàn)上一點(diǎn)P向△ABC所在的平面引的垂線(xiàn)，OC是PC在△ABC內(nèi)的射影。

2.要使異面直線(xiàn)PC⊥AB，AB應(yīng)在△ABC所在平面的什么位置？試使AB在△ABC所在平面內(nèi)平行移動(dòng)，影響結(jié)論嗎？學(xué)生：AB應(yīng)在△ABC所在平面內(nèi)與CD垂直的位置，在△ABC所在平面內(nèi)平移AB不影響結(jié)論。

3.教師用“幾何畫(huà)板”軟件演示：隱藏PA、PB、AC、BC，并過(guò)AB和CD作平面α，把線(xiàn)段PC、DC、AB、PO均延長(zhǎng)成直線(xiàn)，你能從圖8中歸納出平面α內(nèi)直線(xiàn)AB⊥PC的數(shù)學(xué)命題嗎？讓學(xué)生應(yīng)用“幾何畫(huà)板”對(duì)圖8中幾何模型嘗試旋轉(zhuǎn)（順、逆時(shí)針均可）和拖動(dòng)直線(xiàn)AB平移，體會(huì)直線(xiàn)AB與直線(xiàn)PC、DC的內(nèi)在聯(lián)系。讓學(xué)生在計(jì)算機(jī)的幫助下，通過(guò)自主探索或討論協(xié)作找出數(shù)學(xué)命題。在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模象進(jìn)行了深入分析和探討之后，教師鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言歸納出數(shù)學(xué)命題。

自制模象，自主探究

著名教育家波利亞認(rèn)為：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面：一方面，它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過(guò)程的數(shù)學(xué)，看起來(lái)卻像是一門(mén)實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”從某種程度上說(shuō)，重視數(shù)學(xué)作為試驗(yàn)科學(xué)的這一側(cè)面，有利于學(xué)生提高實(shí)踐能力和培養(yǎng)創(chuàng)新精神。因此，落實(shí)有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，一個(gè)重要舉措就是要倡導(dǎo)“做數(shù)學(xué)”的理念，它強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)活動(dòng)對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要性。常言道：實(shí)踐出真知。“做數(shù)學(xué)”就是要學(xué)生多動(dòng)手設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模象，自己動(dòng)手去感悟和發(fā)現(xiàn)。這是一種倡導(dǎo)學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)踐等積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)方式。

建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程不是學(xué)生被動(dòng)地吸收課本上的現(xiàn)成結(jié)論，而是一個(gè)學(xué)生親自參與的生動(dòng)的思維活動(dòng)，經(jīng)歷一個(gè)實(shí)踐和創(chuàng)新的過(guò)程。具體地說(shuō)，自制模象就是學(xué)生在教師的幫助下自己動(dòng)手、動(dòng)腦做出模象，主動(dòng)探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，獲得對(duì)立體幾何概念的感知。初學(xué)時(shí)，要求每個(gè)學(xué)生自備三四塊硬紙板和四五根小鉛絲，自制一個(gè)正方體與空間四邊形框架。每學(xué)一個(gè)概念，先讓學(xué)生觀察周?chē)h(huán)境，回憶生活經(jīng)驗(yàn)，擺弄自己的模型，通過(guò)親手操作，弄清各種“線(xiàn)線(xiàn)”、“線(xiàn)面”、“面面”的關(guān)系。如有的學(xué)生將一張三角形紙片沿高線(xiàn)折起，理解了直線(xiàn)與平面垂直的判定方法；把一張矩形紙片沿中間折起成直二面角，探求兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。

案例6：直線(xiàn)與平面垂直

讓學(xué)生準(zhǔn)備好一塊三角形（△ABC）紙片，過(guò)頂點(diǎn)A任意翻折該紙片得到折痕AD，然后將翻折后的紙片略為展開(kāi)并豎立（使B、C、D在桌面上），讓學(xué)生觀察分析：如何翻折AD才能使AD與桌面垂直？在動(dòng)手操作的過(guò)程中，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)：當(dāng)且僅當(dāng)DB邊與DC邊重合時(shí)，折痕AD與桌面垂直。于是，自然而然地進(jìn)入了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論：按DB邊與DC邊重合翻折，即有AD⊥CD、AD⊥BD,從而得到結(jié)論：AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，則AD⊥α。

案例7：用word制作互相垂直的平面、正方體

如下圖9、圖10為學(xué)生的作品。

圖9 互相垂直的平面示意圖

圖10 正方體的制作示意圖

學(xué)生經(jīng)常依靠對(duì)二維平面圖形的直觀來(lái)感知和想象三維空間圖形，而平面上繪出的立體圖形會(huì)受其視角的影響，況且空間圖形又有很大的抽象性。學(xué)生經(jīng)過(guò)親手制作、探索以后，將會(huì)極大地提高他們的空間想象能力和平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力。

[1]李艷.關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究[D].武漢:華中師范大學(xué)，2004.

[2]石志明.關(guān)于立體幾何開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)的研究[D].蘭州：西北師范大學(xué)，2006.

[3]（美）波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（第一、二卷）[M].呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1980.

G717

A

1672-5727（2010）04-0152-03

習(xí)明（1976—），女，湖北隨州人，教育碩士，桐廬教師進(jìn)修學(xué)校講師，研究方向?yàn)橹新殧?shù)學(xué)。

（本欄責(zé)任編輯：張維佳）