變頻驅動三相感應電機系統穩定性的數學推導與分析

郭云王 東 劉德志 陳俊全 李富華

（海軍工程大學電力電子技術研究所艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室 武漢 430033）

變頻驅動三相感應電機系統穩定性的數學推導與分析

（海軍工程大學電力電子技術研究所艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室 武漢 430033）

變頻驅動感應電機系統在低轉速、輕載下容易出現低頻振蕩現象。以變頻驅動的三相電機系統為例，由電機小擾動模型及逆變系統開關模型入手，推導出全系統小擾動數學模型。利用現代控制理論赫爾維茲判據分析了系統的穩定性并繪制出三維不穩定區域，詳細分析了不同運行工況下電機參數、直流濾波電感電容、變頻器死區時間、調制頻率、調制比等參數變化時對系統穩定性的影響規律并得到了仿真及實驗驗證。此推導與分析過程可以推廣至變頻驅動的多相感應電機系統中，結論有助于此類系統參數合理設計與穩定運行。

變頻驅動 感應電機 小擾動模型 開關函數 穩定性

1 引言

交?直?交變頻驅動感應電機系統在開環控制方式下容易出現低頻功率振蕩的現象，早期國外學者對此進行過一些研究，但由于采取一定的措施可以減弱振蕩，逐漸忽略了對該問題的探索。隨著艦船綜合電力系統的不斷發展，交?直?交變頻驅動感應電機系統成為其中的一項關鍵環節，對其性能提出了更高、更嚴格的要求[1]。研究兆瓦級大容量交直交變頻驅動多相感應電機系統期間，在空載開環、額定電壓和頻率時就出現了持續的低頻振蕩現象，導致保護開關頻繁跳閘而無法試驗，空載起動的相電流波形如圖1所示。開展交?直?交變頻驅動感應電機系統穩定性的研究變得必要而緊迫。

圖1 某大容量變頻驅動感應電機系統電流振蕩波形Fig.1 Current waveforms of certain large-capacity inverter-fed induction motor drive system

20世紀60年代末，Lipo提出了系統的低頻振蕩是由逆變器直流環節濾波元件與電機磁場、轉子之間的能量交換引起的觀點，并預測了系統二維不穩定區域[2-3]。文獻[2]通過根軌跡方法對三相對稱的感應電機穩定性進行了分析。文獻[3]由乃奎斯特判據對整流-相控逆變-感應電機系統的穩定性進行了理論分析和仿真驗證。20世紀 80～90年代，Mutoh、Ueda等分析了變頻驅動系統由于本身電機參數匹配性帶來的系統不穩定問題，及死區時間對PWM 逆變器供電系統穩定性的影響，對影響低頻振蕩的一些因素給了定性解釋[4-5]。文獻[6]采用一種調節定子頻率的方法使此類系統的低頻振蕩現象得到了一定的抑制。文獻[7]從電力電子非線性現象的角度，通過分岔及混沌理論對系統的不穩定性進行了一些研究。20世紀 90年代后，國內開始對電機-負載系統的穩定性進行研究，但主要是針對同步發電機-整流系統穩定性的分析。文獻[8]建立了同步發電機-整流器-反電動勢負載系統的等效電路模型，分析了系統的穩定性。文獻[9]分析了發電機參數、交軸穩定繞組及負載對 3/3相雙繞組發電機系統運行穩定性的影響規律。文獻[10]對3/3相雙繞組發電機系統并聯運行時的穩定性進行了研究。而對于變頻驅動感應電機系統穩定性研究較少，主要是合肥工業大學、清華大學、天津大學等單位開展了相關研究工作，分析了PWM逆變器供電系統穩定性，研究了產生振蕩的主要影響因素及抑制方法。文獻[11]通過仿真模擬了系統的低頻振蕩現象，提出了一種低頻振蕩判據。文獻[12]提出濾波器與電機之間可能構成自激振蕩。文獻[13]基于李亞普諾夫理論研究了鉛酸動力電池組供電的電壓源型逆變器-牽引感應電機傳動系統的穩定性。但上述研究未涉及濾波器參數、逆變器參數及系統的不同運行負載工況，也未對系統的不穩定區域進行充分的實驗驗證。

本文以交?直?交變頻驅動的三相電機系統為例，考慮了電機參數、直流濾波電感電容、變頻器死區時間、調制頻率、調制比以及運行工況等因素，對系統穩定性進行了深入全面的研究，為艦船綜合電力系統中大容量交?直?交變頻驅動的多相感應電機系統的參數設計和穩定性分析打下了基礎。

2 變頻驅動三相感應電機系統的組成

常見的交?直?交變頻驅動三相感應電機系統主要由三相電源、不控整流、濾波環節、PWM 逆變器及感應電機組成，如圖2所示。

圖2 變頻驅動三相感應電機系統組成原理圖Fig.2 Structure of inverter-fed three phase induction motor drive system

3 感應電機的小擾動數學模型

對于一個理想三相感應電機，所做假設可參見文獻[1-2]，其數學模型由磁鏈方程、電壓方程、轉矩方程和運動方程組成。磁鏈方程

式中 Ls——定子等效自感；

Lms——原三相繞組任意兩相間最大互感。同步旋轉坐標系下電壓方程

式中 p——算子d/dt；

rs——定子電阻；

ωe——同步旋轉角速度；

ωr——轉子旋轉的角速度。

轉矩方程

式中 P——電機的極對數。

運動方程

式中 TL—負載轉矩；

J—轉動慣量。由式（1）～式（4）表示的數學模型可以推導出線性化的系統小擾動模型。忽略諧波影響，在初始的穩態下，令式（2）中p=0。文中帶有下標“0”的變量均表示其相應的初始穩態值。式中，

穩態工作時，解方程組，可得ids0、iqs0、id′r0、和Te0，如式（6）所示。

式中 Um——相電壓幅值；

Ts——定子時間常數，

Tr——轉子時間常數，

在小擾動條件下，系統中各變量在穩定點附近產生一定的增量，結合電磁轉矩方程和運動方程，可得完整的三相感應電機小擾動數學模型如式（7）所示。

4 三相電壓型逆變器系統的平均模型

三相電壓型逆變器系統由濾波環節與逆變器兩大部分組成。將開關器件與反并二極管組合看成一個理想開關，利用開關函數描述開關行為，該系統可等效為三個單刀雙擲開關的并聯，則可建立系統的開關平均等效模型[14-16]。

假定Sap、Sbp、Scp表示上半橋中分別連接a、b、c相理想開關的狀態，San、Sbn、Scn表示下半橋中分別連接a、b、c相理想開關的狀態。

以其中一相對應的開關為例，設 S在開關閉合時為1，開關斷開時為0的開關函數，有如下關系式：

在遠低于開關頻率的范圍內，開關網絡可以用平均模型建模。開關函數S的平均值為相應的占空比d。列寫出逆變器系統的狀態方程

即

按電路結構得到三相電壓型逆變器系統平均模型，如圖3a所示。再經dq旋轉坐標系變換，可得旋轉dq坐標系下平均等效模型，此時dq是解耦的，如圖3b所示。

圖3 三相電壓型逆變器系統平均模型Fig.3 Average model of three phase voltage-source inverter system

式中 Lf——直流側電感值；

Cf——直流側電容值。

直流側電壓來源于電網，若忽略其變化ΔUdc=0；同時由

式中，M為逆變器調制比，可得

通常，為防止逆變器同一相上、下兩橋臂的器件同時導通發生短路故障，須設置一段死區時間td。死區的影響是產生一系列寬度為td的畸變脈沖電壓，這些脈沖列可以等效為一個矩形波的偏差電壓Uef，經過傅里葉分解，此偏差電壓的基波分量幅值為

式中 fc——開關頻率。

經過分析，死區時間可等效為定子電阻，其值為

由式（7）、式（14）和式（16），最終得到包含死區時間的全系統小擾動數學模型為式（17）。

由該系統小擾動數學模型則可通過現代控制理論赫爾維茲穩定性判據，對系統穩定性進行分析。

5 系統不穩定性域的仿真與實驗驗證

5.1 由電壓-頻率-轉矩表示的三維不穩定區域

為了驗證數學推導的結論，建立了系統仿真模型及實驗系統，參數詳見表1。

表1 電機參數Tab.1 Parameters of motor

通過穩定性分析可知該系統的固有不穩定區域遠離正常工作區，要在工作區模擬出系統的振蕩可以通過增大定子電阻、減小轉子電阻、減小定子漏抗或減小轉子漏抗四種方式來實現。顯然，后面三種方式在實際中難以實現，故考慮在電機定子輸入端每相串聯了相同的電阻r0，來模擬系統的振蕩現象。

當變頻驅動感應電機系統各參數一定時，系統的不穩定性分別與定子電壓、定子頻率（轉速）和負載量（輸出電磁轉矩）三個量有直接的關系。為形象地表示系統不同工況下的不穩定性，由系統小擾動數學模型，可以由計算機繪制出三維不穩定區域，以及理想空載下和恒壓頻比時 U-Te、Te-f坐標面投影的不穩定域，如圖 4所示。x坐標為定子頻率，y坐標為定子電壓，z坐標為電磁轉矩。

5.2 仿真分析系統不穩定區域

由圖4可見，此系統在低頻、輕載下將出現不穩定現象。以空載(輸出轉矩為零)為例進行分析驗證，如圖5所示，橫坐標為定子頻率，縱坐標為定子電壓有效值，區域內為系統不穩定區，區域外均為穩定區。圖中“?！迸c“×”表示進行仿真驗證所選擇的點。其中，“?！北硎镜狞cA、B、D、E、G、H、J、K、L處于穩定區，“×”表示的點C、F、I處于不穩定區。

圖5 系統空載運行時的不穩定區域Fig.5 Unstable region with simulation points at no-load

在 Matlab/Simulink軟件中建立了變頻驅動三相感應電機系統仿真模型。仿真結果表明，處于穩定區內的A、B、D、E、G、H、J、K、L點所對應的工況下，系統能夠穩定運行，轉速波動很小，電流不出現畸變，轉矩脈動??；處于不穩定區內的C、F、I點所對應的工況下，系統出現轉速持續振蕩，電流波形畸變，轉矩在大范圍內脈動，即出現了低頻振蕩現象。仿真與理論分析結論是完全一致的，證明了理論推導與分析的正確性。圖6為其中部分工作點下的電流、轉速、轉矩仿真波形。

圖6 三個工況點運行的定子相電流、轉速、轉矩仿真波形Fig.6 Simulation waveforms of stator phase current, speed and torque under different operation conditions

5.3 系統不穩定區域的實驗驗證

實驗系統由供電電源、不控整流柜、濾波-逆變器以及三相感應電動機構成，如圖2所示。在電機定子輸入端串聯了三相電阻，每相r0=1.0?，第4.86s時刻串入，14.74s時刻切除；由于實驗中負載難以保持恒定，以空載實驗加以驗證。根據解析分析得到的系統空載不穩定區域和實驗結果擬合出的不穩定區域（虛線）如圖7所示。

以出現振蕩的工況點X為例，系統振蕩時采集的實驗波形如圖8所示。在投入電阻之前，系統運行時遠離振蕩區，電壓、電流和轉速均保持穩定，投入電阻后，X點處于系統不穩定區域內，各量出現振蕩現象，再切除電阻后系統恢復穩定運行。但由圖8可看出，其中電流和轉速的振蕩較為明顯，電壓振蕩現象并不十分明顯，這主要與系統的不穩定程度以及直流側電容作用有關。事實上，串入更大電阻后，振蕩現象明顯加劇，電壓也呈現較大幅度的振蕩，限于篇幅，串入更大電阻時的實驗振蕩波形文中已略去。

圖7 系統不穩定域的理論分析結果與實驗結果對比Fig.7 Comparison between mathematic analysis and experiment results

圖8 系統出現振蕩的實驗波形Fig.8 Experiment oscillation waveforms

實驗結果表明，該實驗系統出現的振蕩區域與理論分析得到的區域是一致的。實驗結果擬合得到的振蕩區域范圍與理論分析區域相比略小，主要原因是：

（1）存在一定的空載損耗，輸出轉矩非零。

（2）實驗中電機參數隨溫度、磁路飽和等發生變化。

（3）電源電壓及直流側電壓并非為理想的恒定值。

6 參數變化對系統穩定性的影響規律

當系統各參數變化時，可能對系統的穩定域產生影響。它可能使系統由穩定狀態變為不穩定狀態或由不穩定變為穩定，也可能僅僅會增大或減小系統的穩定裕度。對不同參數變化情況下系統的穩定域邊界量化分析和深入研究是十分有意義的。

由于影響系統穩定性的參數眾多，限于篇幅，文中主要以電機定子電阻和系統負載量兩個參數為例，分析其變化時對全系統穩定性的影響規律，而其他參數則可類似地進行分析。

對系統小擾動模型的推導結果進行分析，當電機定子輸入端串聯電阻r0分別為0?、0.3?、0.6?、0.9?、1.2?時，系統的不穩定域邊界變化情況如圖9所示?？梢姡ㄗ与娮柙龃髸r，系統的不穩定域將增大，同時不穩定域的邊界將逐漸向 V/f值增大的方向移動。

圖9 改變定子電阻時的不穩定區域變化規律Fig.9 Influence law of unstable region of system with different stator resistances

針對某一典型工況，可通過根軌跡法分析系統的穩定性，以及參數變化時穩定裕度的變化規律，得出在該狀態下系統最穩定或最不穩定時的該參數值。以f =10Hz、Urms=70V的工況為例，分析可知，當串聯的電阻0.90?＜r0＜5.02?時系統不穩定，且當r0=1.99?時系統的特征根具有最大的正實部，故最不穩定。圖10所示為影響系統穩定性的兩個特征根（其他特征根始終具有較大的負實部）在定子電阻參數變化時的軌跡變化情況。

圖10 改變定子電阻，f =10Hz、Urms=70V時根軌跡圖Fig.10 Roots locus of system with different stator resistances

類似地，可以分析負載量變化對全系統穩定性的影響規律。由圖7知，電機定子輸入端串聯電阻r0為1.0?時，系統存在一定的不穩定域。當負載量變化時，系統的不穩定域將逐漸減小，當負載量增大至某一值時系統將變得穩定，如圖11所示。系統的輸出轉矩分別為0N·m、14.8N·m、28.1N·m、40.2N·m、51.0N·m（由Te-s曲線知，轉差率分別為0、0.002、0.004、0.006、0.008），系統的不穩定域不斷減小，系統趨于穩定。

圖11 串入r0并改變負載量（轉差率）時不穩定區域變化規律Fig.11 Influence law of unstable region of system with different loads

以f =6Hz、Urms=30V的工況為例，通過根軌跡法分析負載（轉差率）參數變化對系統穩定性的影響規律。轉差率s由0增大至∞時，影響系統穩定性的三個特征根（其他特征根始終具有較大的負實部）軌跡變化情況如圖12所示。可知此工況下，轉差率 0＜s＜0.0094時，系統不穩定；0.0094＜s＜0.049時，系統穩定，但當 s＞0.049時系統又再次變為不穩定。但應當特別注意的是，s＞0.049時的不穩定并不是由于系統參數不匹配帶來的，而是由于感應電機本身的Te-s曲線關系下穩定運行區域決定的。同時，當s=0時系統具有參數不匹配時帶來的最大的不穩定性。

圖12 串入r0并改變負載量，f =6Hz、Urms=30V時根軌跡圖Fig.12 Roots locus of system with different loads

相應地，可以得到在任意某指定工況下不同參數變化時系統的穩定域邊界和穩定裕度的變化規律。

各參數單獨變化時對系統穩定性的影響規律總結見表 2。事實上，采用該方法對于多個參數共同變化時系統的不穩定域變化規律也很容易得出，本文限于篇幅而省略。經分析，交?直?交變頻驅動感應電機系統中，電機的輸入電壓、定子頻率、負載量、定轉子的電阻與漏抗，以及死區時間（調制頻率）是影響穩定性的主要因素。該結論有助于對此類系統進行合理的參數設計，以保證系統在開環調試狀態下能夠穩定運行。

表2 各參數變化對系統穩定性的影響規律Tab.2 Stability influence law of different parameters

7 結論

本文以三相電機為例，建立了變頻驅動的感應電動機系統的小擾動數學模型，利用現代控制理論中的赫爾維茲判據分析了系統的穩定性，編程繪制出了其在不同工況時（不同定子電壓、定子頻率以及輸出轉矩時）的三維不穩定區域。通過 Matlab/ Simulink仿真分析和模擬實驗研究表明，系統的振蕩區域與解析分析結論相吻合，證明了分析方法的正確性。

以定子電阻和負載量為例，通過根軌跡法對不同參數變化時系統的穩定域邊界和穩定裕度變化情況進行了詳細地分析，得出了各參數對系統穩定性的影響規律，多個參數共同變化對不穩定性的影響規律可類似分析。本文的數學推導與分析過程可以推廣到多相的變頻驅動感應電機系統的穩定性分析中，并可以為此類系統的參數設計和穩定可靠運行起到一定的指導或借鑒作用。

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Mathematical Deduction and Stability Analysis of Inverter-Fed Three-Phase Induction Motor Drive System

Guo Yunjun Wang Dong Liu Dezhi Chen Junquan Li Fuhua
（National Key Laboratory for Vessel Integrated Power System Technology Naval University of Engineering Wuhan 430033 China）

The inverter-fed induction motor drive system may become unstable at low frequencies and light load. Taking the inverter-fed three-phase induction motor drive system as an example, the small disturbance mathematic model of whole system is deduced. Based on small disturbance model of induction motor and switching model of inverter system, the three-dimensional unstable region is presented and discussed by Hurwitz stability criterion of modern control theory. The results of mathematic analysis, simulation and experiments are identical. The effect of different motor parameters, filter-inverter parameters, and operation conditions on system stability is studied in details. The analysis method can be applied to inverter-fed multiphase induction motor drive system, and the conclusion obtained in the paper may contribute to the design of parameters and stable operation of the system.

Inverter-fed, induction motor, small disturbance model, switching function, stability

TM343

國家自然科學基金創新研究群體（50721063）和國家自然科學基金（50877077）資助項目。

2009-06-22 改稿日期 2009-09-08

王 東 男，1978年生，博士，副教授，從事電力推進、獨立電源系統等方面的研究。