談如何將醫學問題轉化為數學問題

魏 杰，董

（蘭州工業高等專科學校，甘肅 蘭州 730050）

談如何將醫學問題轉化為數學問題

（蘭州工業高等專科學校，甘肅 蘭州 730050）

對于醫學中的大量實際問題，可通過分析和篩選，剔除次要因素，突出主要因素，做適當抽象和簡化，將問題轉化為數學問題，進而利用數學方法解決。

高等數學；數學模型；數學教學；醫學

隨著科學技術的發展和計算機的應用與普及，醫學逐步由傳統的定性描述階段向定性、定量分析相結合的新階段發展，即從能夠有效探索醫學科學領域中物質的量與量關系的規律性，向定量、精確、可計算、可預測、可控制的方向發展。而數學模型正是有助于醫學家及生物學家將某些變量隔離出來、預測未來實驗結果或推論無法測量的種種關系的強有力的工具。因此，數學模型及數學理論與方法在醫學中的應用日益廣泛和深入。最引人注目的是醫療診斷專家系統[1]及1974年丹麥免疫學家Niels K.Jerne在其論文《關于免疫系統的網絡學說》中揭示的現代醫學科研新模式：醫學問題—數學化（定量分析）—數學模型—反饋修正（實踐檢驗）—定性理論。還有一些作者在預防醫學、基礎醫學和臨床醫學等傳統學科試圖建立數學模型和運用數學理論與方法來探索其數量規律[2]。

而目前大多數醫學院校僅開設高等數學課程，并沒有開設數學建模課程，使得數學教學內容與醫學嚴重脫節，沒有注意訓練學生如何從實際醫學問題中提煉出數學模型，以及如何將數學分析的結果用來解決實際問題，其結果是學生學了不少數學知識，但不會應用。所以高等數學作為醫學院校的一門基礎課程，應將數學建模思想滲透到教學內容中[3～6]。但由于高等數學的高度抽象性和嚴密邏輯性，往往會給學生的學習和教師的授課帶來一定困難。為了使學生能更好地掌握這門課程并能用高等數學基礎知識解決醫學中的一些實際問題，正確理解和鞏固所學知識，強化其應用數學解決實際問題的意識，我們結合一些具體的醫學問題，分析和討論數學模型方法的應用。

用數學方法解決醫學問題的關鍵是如何將醫學問題轉化為數學問題，即如何在兩者之間建立一座橋梁（建模）。我們根據多年的數學建模教學經驗，分析、討論如何建模并給出一些醫學問題的數學模型。

1 如何將醫學問題轉化為數學問題

建立一個醫學問題的數學模型，除需要必須的醫學專業知識外，還需要一定的洞察力和想象力，以便篩選、剔除次要因素，突出主要因素，并作出適當的抽象和簡化。全過程一般分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段，通過這些階段完成從現實對

象到數學模型、再從數學模型到現實對象的循環（見圖1）。

圖1 醫學問題建立數學模型流程

其中表述即將醫學問題翻譯成數學問題，用數學語言確切表達出來。這是一個關鍵的過程，需要對實際醫學問題進行分析，甚至要調查研究，查找資料，對問題進行簡化、假設、數學抽象，運用有關的數學概念、數學符號和數學表達式去表現醫學對象及其關系。求解即選擇恰當的方法，求得數學模型的解答。解釋即為將數學解答用普通人能聽懂的語言翻譯為現實對象。最后通過實踐驗證解答的合理性。

由于醫學問題的復雜性，建立數學模型不一定一次就能成功。一次建模不成功時，可以先剔除實際醫學問題中的次要因素，建立比較簡單的數學模型。然后逐次修改并逐漸強化條件，從而建立比較符合實際問題的數學模型。

2 模型實例

2.1 以血管中單位時間的血流量問題為例討論如何將醫學問題表述成數學問題

雖然血管呈現出一個不規則的幾何形狀，但其類似于圓柱體。首先在合理的假設下結合本問題所涉及到的專業知識建立一個粗略的模型，將血管看成一個圓柱形的管子去考慮。設其橫截面的半徑為R（cm），管中的血流平行于血管的中心軸。由于血管中血液在各點處的流速v是各點與血管中心距離r的函數，即v=v（r），故此時血流量等于流速乘以面積。而已知距離中心軸r處血的流速為：

其中 η 為血液的粘滯系數，L 為血管長度，P1、P2（P1＞P2）為血管左、右端的血壓。

然后求出單位時間內通過的血流量Q，但這只是粗略的近似值。那么如何才能得到精確的答案呢？聯想到高等數學中在求不規則立體體積時使用的微元法，在取定的橫截面任取一個內徑為r，外徑為r+dr（圓心在血管中心）的小圓環作為研究問題的微元（見圖2），它的面積近似于2πrdr，在單位時間內，通過小環面的血流量dQ近似為：

單位時間內通過該小環面的血流量為：

即為本問題的數學模型。

圖2 血管中單位時間內血流量問題數學模型

2.2 以傳染病模型[7]為例討論如何由粗到細建模

傳染病傳播涉及的因素很多，如傳染病患者的多少、易感人群的多少、傳染率的大小、排除率的大小、人口的出生和死亡，以及人員的遷入和遷出、潛伏期的長短、預防疾病的宣傳等因素的影響。如果一開始就把所有因素考慮在內，很難建立比較合理的數學模型，因此應先剔除眾多次要因素，抓住主要因素，把問題簡化，建立相應的數學模型；然后將所得結果與實際比較，找出問題，逐步修改原有假設，再建立一個與實際比較吻合的數學模型。

可大致通過以下4方面來考慮：描述傳播過程，分析感染人數的變化，預報傳染高峰時刻，制定相應的群體免疫與預防措施。傳染的主體是人，傳播是由于患者在被收治隔離前與其他人的傳染接觸而發生的，所以可通過對人群分類來建立數學模型分析傳染病傳播過程的一般規律，以達到預防與控制疾病的目的。

2.2.1 考慮最簡單的情形（Malthus模型）設某地區共有n+1人，最初共有i人感染此病，t時刻已感染的患者數為i（t），假定每一已感染者在單位時間內將疾病傳播給k個人（k稱為該疾病的傳染強度），且設此疾病既不導致死亡也不會康復，可導出：

此模型即Malthus模型，它大體反映了傳染病流行初期的患者增長情況，在醫學上有一定的參考價值，但隨著時間的推移，將越來越偏離實際情況。

原因在于已感染者與尚未感染者之間存在明顯區別，有必要將人群劃分為已感染者與尚未感染的易感染者，改進如下。

2.2.2 考慮SI模型設t時刻的患者數與易感染人數分別為i（t）與s（t），初始時刻的患者數為i0，根據患者不死亡也不會康復的假設，可得：

統計結果顯示，（2）預報結果比（1）更接近實際情況。醫學上稱曲線為傳染病曲線，由此模型可得出傳染病的流行高峰值。此值與傳染病的實際高峰期非常接近，可用作醫學上的預報公式。但SI模型仍有不足之處，它無法解釋醫生發現的現象，且當時間趨于無窮時，模型預測最終所有人都將患病，與實際情況不符。為解釋醫生發現的現象，再次修改假設條件，建立新的數學模型。

2.2.3 考慮SIR模型 將人群劃分為3類：易感染者、已感染者和已恢復者。分別記t時刻的3類人數為s（t）、（it）和 （rt），可得：

此外，根據2003年對SARS等傳染病的認識，人群中可能還有疑似患者、潛伏期患者等。所以如果將人群分得更細，例如將人群分為：t時刻的易感染人數s（t），潛伏期人數 （it），疑似人數e（t），確診人數p（t），治愈人數 （rt），可得下面更加精細的模型。

2.2.4 考慮GSIR模型

其中k為傳染率，l為疑似率，r為治愈率，μ為死亡率，α為疑似病例中每天被排除的確定為健康的人數占疑似病例的比例，β為疑似病例中每天確診的人數占疑似病例的比例，T為疾病的潛伏期，e為自由帶菌者轉為患者的日轉化率，γ為自由帶菌者中每天被發現疑似病例的比例。

通過不斷深入研究，不僅能使學生對數學模型有較深入和全面的理解，還能使學生明白一個好的數學模型不是一次就能完成的，而是要通過不斷實踐、修改、校正才能逐步接近現實。另外，傳染病模型還可以應用于人口增長模型、新產品的銷售等。

總之，在醫學數學教學過程中融入數學建模思想的同時，教會學生如何將實際醫學問題利用數學方法轉化為數學問題，進而逐步建立一個比較完善的數學模型，并通過對數學問題的解決從理論上說明實際醫學問題，使學生對數學方法的運用產生興趣，逐步提高醫療水平。另外，還應使教師轉變教學觀念，更新教學方法，使數學教學從與醫學脫節的理論傳授模式向醫學實際的應用數學模式轉變。

[1]易非易.論醫學數學化[J].數學理論與應用，2001，21（4）：124～126.

[2]萬志超，蔣善麗.對醫學數學教學的探討與思考[J].中國醫學教育技術，2006，20（6）：462～463.

[3]蔣善麗，李兆強.醫學高等專科學校數學教育改革初探[J].衛生職業教育，2007，25（6）：7～9.

[4]羅萬春.醫學高等數學中滲透數學建模的實驗研究[J].衛生職業教育，2007，25（6）：5～7.

[5]黃平.提高醫科高等數學課堂教學質量的幾點體會[J].數理醫藥學雜志，2009，22（4）：503～504.

[6]韓明蓮，盧書成.高等數學教學中滲透數學建模思想[J].數理醫藥學雜志，2006，19（5）：555～556.

[7]姜啟源.數學建模[M].北京：高等教育出版社，2002.

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1671-1246（2010）03-0065-03

注：本文為甘肅省教育廳資助項目（0813B-01）