優化解題策略,凝練思維品質
——解題教學中數學思維敏捷性的培養嘗試

◆華維林

(甘肅省永登縣第二中學)

優化解題策略,凝練思維品質
——解題教學中數學思維敏捷性的培養嘗試

◆華維林

(甘肅省永登縣第二中學)

通過對思維敏捷性形成的因素分析,探究培養和發展學生優良數學思維的科學途徑,在教學過程中,優化解題策略,提升解題效能,凝練思維品質,增強自信,戰勝高考。

思維敏捷性 策略 簡縮 探究 效能

良好的數學思維品質向來是高考考查的重點,尤其是對數學思維敏捷性的考查,更加體現了高考命題的匠心獨用。學生的思維品質的好壞,直接影響學生的高考成績,從而間接地影響學生個人的發展。因此,我們應該探究學生的數學思維敏捷性的成因,認識其特點,在教學中制定相應的學習策略,提高教學效果。

一、進行陳述性知識的概括和提煉

儲備知識,梳理知識,比較、歸納和總結知識之間的區別與聯系,形成知識網絡,優化認知結構,以便在解題時有效地激活知識、準確地提取知識、同時擴展思維活動區域,增大思維運動量,減少煩瑣的計算,快速地解決問題。

例 1.正方形 ABCD-A′B′C′D′的棱長為α,求異面直線 BD與 B′C的距離。

分析:將異面直線 BD與 B′C的距離轉化為兩平行平面 A′DC和 B′D′C之間的距離,易知其距離為。其知識儲備應是“線線平行、面面平行”等相關定理以及正方體的相關性質。如果采用向量坐標法,就會增大運算量,而且容易出錯。事實上,深厚的陳述性知識是知識和能力發生遷移的基礎。

二、進行程序性知識的提煉和概括

主要以數學思想為指導,在掌握好通性和通法 (如配方法、待定系數法、換元法、坐標法等)的基礎上,通過各種解題方法的比較,進行解題方法的提煉,優化解題策略,提高解題的效能。

1.以數形結合思想為指導,提煉特殊法為數形結合法

2.以特殊與一般思想為指導,提煉特殊法為檢驗法和排除法

從題干或選擇支出發,(通過選取特殊值代入、將問題特殊化或構造滿足題設條件的特殊函數或圖形特殊位置,)利用問題在某一特殊情況下不真,則它在一般情況下不真這一原理,達到肯定一支或否定三支 (去謬)的方法,稱為特殊法。

例 3.(排除法)一個等差數列的前 n項和為 48,前 2n項和為 60,則它的前 3n項和為 ( )

解 結論中不含 n,故本題結論的正確性與 n取值無關,可對 n取特殊值,如 n=1,此時 a1=48,a2=S2-S1=12,a3=a1+2d= -24,所以前 3n項和為 36,選 D。

評析:解一是順向推理的方法,而解二是反常規的解法,是逆向思維,突破思維定式,達到了更便捷、更迅速的效果。

3.以有限與無限思想為指導,提煉特殊法為極限法。

例 5.(2005北京):對任意的銳角α,β,下列不等關系中正確的是:

分析:取α與β為 30度、45度、60度等可以排除 A、B,但無法排除 C、D,若進行論證,則更難。若使α趨向于 0,β趨向于 0,則排除A、B、C,選D。

(Ⅰ)求證:面 ABD⊥面 BCD;(Ⅱ)求異面直線 AB與 CD所成的角的大小;

(Ⅲ)求點 E到平面 ACD的距離。

分析:方法一 (幾何法):(Ⅰ)由 CA=CB=CD=2知,點 C在面 ABD內的射影為BD的中點O,由線面垂直易得出面面垂直。

(Ⅱ)取 AC的中點M,由平移法知∠OEM為異面直線AB與 CD所成的角,由已知條件易得其大小為

(Ⅲ)因OE平行面ADC,故通過將點面距離轉化為線面距離。取AD中點N得ON⊥AD,且 CO⊥面ABD,由三垂線定理易得面ONM⊥面 ADC,過 O作 OH⊥CN于 H,則 OH為點 O到面 ADC的距離,即為點 E到面ADC的距離。或者等積法來求,即VE-ACD=VA-CDE,結果為