關于一類不定方程正整數解的問題

李尚龍

(渭南職業技術學院數理科學系,陜西渭南 714000)

關于一類不定方程正整數解的問題

李尚龍

(渭南職業技術學院數理科學系,陜西渭南 714000)

利用初等數論知識推導并證明了不定方程的正整數解的一般公式,并且推導出了不定方程的全部正整數解,并對不定方程是否有正整數解做了討論,解決了這一類不定方程的正整數解的問題.

不定方程; 正整數解; 初等數論

1 引言及預備

不定方程是變量個數多于方程個數,且取整數值的方程.不定方程又稱為丟番圖方程,是數論的重要分支學科,也是最活躍的數學領域之一.1980年,著名的數學家柯召和孫琦在我國出版了第一部專門研究不定方程的專著《談談不定方程》.在這部專著的基礎上,曹珍富于1987年完成了全面總結與系統研究不定方程的成果和方法的手稿《丟番圖方程引論》.最近十余年,不定方程不僅自身的發展異常活躍,而且全面應用于數學的其他各個領域 (見文獻 [1]-[5]).本文在已有研究的基礎上,給出了不定方程的正整數解的一般表達式,得到了不定方程的全部正整數解,證明了不定方程(n≥3,n∈N＊)無正整數解.

為了完成定理的證明,需要用到以下幾個引理.

引理1[2]不定方程 ab=w2(w＞0,a＞0,b＞0,(a,b)=1)的一切正整數解可表示成:a=m2,b= n2,w=mn,m ＞0,n＞0,m,n∈N,(m,n)=1.

引理2[2]不定方程x2+y2=z2的適合條件x＞0,y＞0,z＞0,(x,y)=1,2|x的一切正整數解可由下面的公式來表示:x=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2,m＞ n,m,n∈N＊,(m,n)=1,2?(m+n).

引理3[3](費馬大定理)當 n是一個大于2的整數時,不定方程 xn+yn=zn沒有正整數解.

2 主要結論及證明

反之,可直接驗證由 a=mnt+m2t,b=mnt+n2t,c=mnt.(m,n)=1,m,n,t∈N＊所給出的任一組數a,b,c都適合方程因此方程的所有正整數解可由a=mnt+m2t,b=mnt+n2t, c=mnt.(m,n)=1,m,n,t∈N＊來表示.

證明 (1)在證明定理2之前先給出以下兩個說明:

(ⅰ)由于(±a)2= a2,(±b)2=b2,(±c)2=c2.(a,b,c＞0)故可只研究方程的正整數解.

(ⅱ)由于(a2,b2,c2)=(a,b,c)2,若(a,b,c)= d＞1得a= a1d,d=b1d,c=故可先設

(ⅰ)先證 a≠1且 b≠1.若不然,則左邊 ＞1,右邊 ≤1.顯然左邊 ≠右邊.

(ⅲ)設(a,b)=d＞1.a=a1d,b=b1d,(a1,b1)=1.由(ⅱ)的證明容易得到1.則由所以又因為所以根據引理2得:所以

其中m,n∈N＊,m＞n,(m,n)=1,2?(m+n)(即 m,n一奇一偶)t∈N＊.

反之,可直接驗證由 a=2mn(m2+n2)t,b=(m2-n2)(m2+n2)t,所給出的任一數組 a,b,c都適合方程因此方程的所有正整數解可表示為:(即m,n一奇一偶),t∈N＊.證畢.

[1]劉榮武.不定方程的一種簡便解法 [J].洛陽師專學報,1999,(5):28-31.

[2]柯召,孫琦.數論講義 (第2版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]張文鵬.初等數論 [M].西安:陜西師范大學出版社,2007.

[4]馬文波.幾類特殊的不定方程問題初探 [D].武漢:武漢理工大學,2006.

[5]彭葉輝,補愛軍.解不適應算子方程的多不正則化梯度法 [J].懷化學院學報,2008,(3):15-17.

Abstract:This paper used the knowledge of elementary number theory to deduce and prove the general formulas of positive integral solution to the indeterminate equationThis paper also has deduced and afforded us to obtain all positive integral solution to the indeterminate equationand has made a discussion if it has positive integral solution to indeterminate equationThus it has solved the problem to positive integral solution of the kind indeterminate equation.

Key words:indeterminate equation; positive integral solution; elementary number theory

On the Problem of an Positive Integral Solution of One Kind Indeterminate Equation

LI Shang-long

(Department of Mathematics and Physical Science,Weinan Vocational and Technical College,Weinan,Shanxi 714000)

O156.2

A

1671-9743(2010)05-0031-03

2010-05-17

陜西省教育廳基金項目 (09JK432).

李尚龍 (1964-),男,陜西合陽人,渭南職業技術學院副教授,主要研究代數理論.