利用極坐標計算一個三重積分

隋 英，孫常春

（沈陽建筑大學 理學院，遼寧 沈陽 110168）

利用極坐標計算一個三重積分

隋 英，孫常春

（沈陽建筑大學 理學院，遼寧 沈陽 110168）

“先一后二法”和“先二后一法”是三重積分化成三次定積分進行計算的基礎，本文在極坐標下通過一個三重積分的計算對這兩種方法進行了詮釋.

三重積分；先一后二法；先二后一法

三重積分計算的思想是化三重積分為三次定積分，即：將三重積分先化成一次定積分與一次二重積分，從而再進一步將三重積分化成三次定積分.三重積分化成一次定積分與一次二重積分的計算分兩種情況：先計算一個定積分，然后再計算一個二重積分，叫“先一后二法”，也叫“投影法”；先計算一個二重積分，再計算一個定積分，叫“先二后一法”，也叫“截面法”.本文介紹了這兩種方法的具體解法，并通過一個三重積分的計算詮釋了這兩種方法的使用.

1 “先一后二法”

具體的解法是：

1.1 投影：已知閉區域Ω的下曲面為S1：z=z1(x,y)，上曲面為S2：z=z2(x,y)，其中z1(x,y)，z2(x,y)都是Dxy上的連續函數.把閉區域Ω投影到x o y面上，得到一個平面閉區域Dxy.

1.2 定限：過Dxy上的任意一點(x,y)做平行于z軸的直線，這條直線通過曲面S1穿入Ω內，穿入點的豎坐標為z1(x,y)；然后通過曲面S2穿出Ω外，穿出點的豎坐標為z2(x,y).在這種情況下，積分區域Ω可表示為：

然后計算F(x,y)在閉區域Dxy上的二重積分

閉區域Dxy上的二重積分可利用直角坐標計算也可利用極坐標計算，從而將三重積分轉化成三次定積分進行計算.

也可以把Ω投影到y o z面上或x o z面上，這樣就可以把三重積分轉化成按其他順序的三次積分.

2 “先二后一法”

具體的做法是：

2.1 定限：把閉區域Ω投影到z軸上，得到閉區域Ω位于區間[c1,c2]上.在(c1,c2)上任取一點z作垂直于z軸的截面，截得的區域記作Dz.于是得到：

2.2 計算：將三重積分轉化成先計算一個二重積分、再計算一個定積分的計算，即

即：“先二后一法”適用于被積函數為z的函數，截面Dz的面積可簡單地表示成z的函數的情況，或者具有特殊的積分域的情形.因此，該方法在使用上具有一定的局限性.

3 兩種方法的應用

方法一 “先一后二法”

把Ω1投影到x o y面上，得到一個平面閉區域：D x y={(x,y)|x2+y2≤4}.

方法二 “先二后一法”

本題使用了兩種方法進行計算：“先一后二法”中二重積分的計算利用極坐標，這個做法的實質是就是柱面坐標求三重積分公式的推導過程.“先二后一法”中二重積分的計算也同樣采用了極坐標，很明顯，采用該方法更為簡單.本題在極坐標下，對“先一后二法”和“先二后一法”作了進一步的探討.同時應注意使用時應根據實際情形來選擇累次積分的合適順序，從而選擇更合理、便捷的解題方法.

〔1〕同濟大學數學系.高等數學第六版[M]，北京：高等教育出版社,2007.

〔2〕朱寶彥,劉玉柱.高等數學學習指導[M]，北京：北京大學出版社，2008.

〔3〕車向凱，等.高等數學習題課教程[M]，沈陽：東北大學出版社，1997.

O172.2

A

1673-260X（2010）08-0005-02