圓柱度誤差的網格搜索算法

丁鳳琴 薛國芳 雷賢卿

(①鄭州旅游職業學院機電系，河南鄭州 450009;②河南科技大學機電工程學院，河南洛陽 471003)

軸類零件是機械產品的重要組成部分，其精度的高低對產品的質量及其使用壽命至關重要，而衡量軸類零件形狀誤差大小的主要指標是圓柱度誤差。圓柱度誤差是具有四維描述變量的形狀誤差，其評定比較困難。通常的方法是建立測點到基準圓柱面的距離函數，然后根據國標定義的4種評定方法:最小二乘法、最小區域法、最小外接圓柱法和最大內接圓柱法(國標有闡述)，構造相應的目標函數進行優化求解。而在優化求解的過程中，優化算法的選用至關重要，算法的收斂速度、求解精度和可靠性等因素直接關系到圓柱度的評定精度。

由于這些評定方法的目標函數是非線性的，優化的參數也比較多，有的在原理上就存在缺陷，如最小二乘法。為尋求符合定義的、最接近理想值的算法，本文介紹一種不需要優化算法，直接調用點至空間直線的距離公式及簡單的判斷即可得到圓柱度誤差的算法——網格搜索算法。

1 圓柱度誤差網格搜索算法的原理及步驟

1.1 網格搜索算法原理

評定圓柱度誤差的基本原則是最小條件，符合最小條件準則的評定方法的核心內容就是要根據被測圓柱輪廓上點的坐標解算出包容實際輪廓的理想圓柱面的軸線參數，理想圓柱面的軸線位置應符合最小條件。以上所述四種評定方法中除最小二乘法外，其余三種是符合評定準則的。最小二乘法評定圓柱度誤差是用最小二乘函數擬合被測圓柱面上的點，得到一條最小二乘軸線，然后求出被測圓柱面上各點到最小二乘軸線的距離，以距離最大值、最小值分別構造兩個同軸圓柱面，這兩個圓柱面之間的區域就是最小二乘法圓柱度誤差。由于最小二乘軸線是在各測點距該理想圓柱面的軸線的徑向距離與理想圓柱面半徑之差的平方和為最小的條件下得來的，因此它不是符合最小條件的理想軸線，其評定準則與最小條件的定義相違背，在原理上存在缺陷，故得到的圓柱度誤差不是很精確。盡管二乘軸線的位置不符合最小條件，但它是唯一的，用最小二乘法評定的圓柱度誤差值也是唯一的。網格搜索算法是在最小二乘法基礎上，在最小二乘軸線的周圍(理想軸線一定在它周圍)搜索符合最小條件的理想圓柱面軸線，即以最小二乘軸線為參考軸線，在其周圍的一定區域內布置一直線群，其中必有一條直線最接近理想柱面的軸線，然后計算圓柱面上各測點到這一直線群(假定理想軸線)的每條直線的距離，從計算結果中進行分析判斷尋找符合最小條件的理想軸線，然后，可分別按最小外接圓柱法、最大內接圓柱法和最小區域法計算圓柱度誤差，網格搜索算法就是基于這種原理提出的。

1.2 網格搜索算法步驟

設圓柱面上各測點的坐標Pij(xij，yij，zj)，被測圓柱面最小二乘軸線與坐標平面XOY的交點坐標為(a，b，0)，方向數為(P，Q，1)。

(1)計算圓柱面上各測點Pij(xij，yij，zj)至最小二乘軸線的距離(最小二乘法)

式中，i為截面上的測量點，i=1，2…，N;j為測量截面，j=1，2，…，M。

(2)計算最小二乘圓柱度誤差

找出Rij中的最大值Rmax、最小值Rmin，則被測圓柱面最小二乘法圓柱度誤差值為

(3)計算最小二乘軸線與測量起始、終止截面的交點坐標

由被測圓柱面最小二乘軸線方程:(x－a)/P=(y－b)/Q=z可知，最小二乘軸線與測量起始截面(XOY坐標平面)的交點坐標T0(X0，Y0，Z0)、終止截面(Z=ZM平面)的交點坐標TM(XM，YM，ZM)分別為

(4)構造假定理想軸線

如圖1，以端點T0(X0，Y0，Z0)為參考點，在XOY平面內設置一小正方形，其邊長為最小二乘圓柱度誤差ΔF，將該正方形的邊長n等分，對邊等分點兩兩連線構成網格點形式，那么各網格點的坐標dhk(xh，yk，z0)為

式中，h為z=0平面內x軸方向的網格點;k為z=0平面內y軸方向的網格點。

同理，以端點TM(XM，YM，ZM)為參考點構造的網格點的坐標elm(xl，ym，zm)為

式中，l為z=ZM平面內x軸方向的網格點;m為z=ZM平面內y軸方向的網格點。

這樣在z=0，z=ZM平面內分別構造了n×n個網格點(如圖1)。

依次以初始測量截面(z=0平面)上的網格點dhk(xh，yk，z0)為假定理想軸線的起始點，遍歷終止測量截面(z=ZM平面)上的網格點elm(xl，ym，zm)，構造一簇軸線(共n4條直線)，那么這些軸線的方向數為

(5)按下式計算圓柱面上各測點Pij(xij，yij，zj)到一簇軸線(假定理想軸線)的距離

(6)尋找圓柱面上各點至每一條理想軸線的最大值、最小值以及極差

由于圓柱面各點至一簇軸線中的任一條軸線的距離中，都存在最大值、最小值和極差(最大值與最小值之差)，因而可以得到n4個最大值、最小值和極差。

(7)計算最小外接圓柱法圓柱度誤差

比較所有的最大值，其最小者即為最小外接圓柱的半徑，用符號Rout表示;此最小者所對應的xh，yk，Plh，Qmk即為最小外接圓柱面軸線的參數，與此軸線參數相對應的由式(7)計算出來的最小值用符號rout表示。則最小外接圓柱法圓柱度誤差值為

(8)計算最大內接圓柱法圓柱度誤差

比較所有的最小值，其最大者即為最大內接圓柱的半徑，用符號rin表示;此最大者所對應的xh，yk，Plh，Qmk即為最大內接圓柱面軸線的參數，與此軸線參數相對應的由式(7)計算出來的最大值用符號Rin表示。則最大內接圓柱法圓柱度誤差值為

(9)計算最小區域法圓柱度誤差

比較所有的極差值，其最小者即為最小區域，用符號ΔRarea表示，則最小區域法圓柱度誤差值為

1.3 圓柱度誤差網格搜索算法的解釋

在最小二乘軸線的兩端點周圍布置了n2個網格點，如將最小二乘軸線上下兩端點周圍的網格點兩兩連線，將會產生n4條軸線，如將網格點分的足夠細，必有一條軸線與理想軸線最接近或者重合。因而，網格搜索法實際上是一種窮舉法。

圓柱面上的所有測點至其中一條軸線的距離中，總有最大值，最小值和極差(最大值與最小值之差)，由于上下網格的連線有n4條，那么就有n4個最大值、最小值和極差。

若用最小外接圓柱法來評定圓柱度誤差，則需要在這些最大值中找出最小者，此最小者即為符合最小外接圓柱評定法定義的最小外接圓柱面，其對應的那條網格連線即為被測圓柱面的理想軸線，以此網格連線為軸線構造的、能包容實際被測圓柱面的兩個同軸圓柱面之間的徑向距離即為最小外接圓柱法圓柱度誤差。

若用最大內接圓柱法來評定圓柱度誤差，則需要在這些最小值中找出最大者，此最大者即為符合最大內接圓柱評定法定義的最大內接圓柱面，其對應的那條網格連線即為被測圓柱面的理想軸線，以此網格連線為軸線構造的、能包容實際被測圓柱面的兩個同軸圓柱面之間的徑向距離即為最大內接圓柱法圓柱度誤差。

若用最小區域法來評定圓柱度誤差，則需要在這些極差值中找出最小者，此最小者即為符合最小區域法定義的最小區域法圓柱度誤差。

以上得到的網格連線與被測圓柱面的理想軸線的接近程度與等分點數及截面上布置的正方形邊長有關，邊長值越小、等分點數越多，計算出來的圓柱度誤差值就越接近于真值，但邊長值太小有可能構造的網格連線不能包含被測圓柱面的理想軸線，等分點數過多會導致計算量大，影響計算速度。為提高計算速度和測量精度，可進行多次循環。先以最小二乘法圓柱度誤差值為邊長，等分點數取少一些(例如，取n=10)，然后以計算出的圓柱度誤差(最大外接圓柱法、最小內接圓柱法、最小區域法)中的最大值為邊長，布置更細的網格，重復上述步驟，當最小極差與次最小極差非常接近(如小于0.000 1 μm)時，可以認為此時的最大值中的最小者為最小外接圓柱法圓柱度誤差，最小值中的最大者為最大內接圓柱度誤差，極差中的最小者為最小區域法圓柱度誤差。其計算過程流程圖如圖2。

2 圓柱度誤差網格搜索算法仿真

按以上所述的原理與步驟，對圓柱體圓柱度誤差進行網格搜索算法仿真，仿真結果與預先設定的完全一致，說明圓柱度網格搜索算法可以實現圓柱度誤差的有效評定。

3 結語

網格搜索算法是解決圓柱度誤差精確評定問題的新思路，是計量測試技術中形位誤差評定的一全新手段，通用性強，可以達到完全實用的程度。

圓柱度誤差的網格搜索算法簡單直觀，并且符合圓柱度誤差的評定定義，不需要將點到直線(平面、空間)的公式線性化，也不需要確定優化步長和優化方向，算法簡單直觀。但在測量點較多時，計算量比較大。

依據該算法設計出的圓柱度誤差評定軟件可以很容易地安裝到圓度測量儀、三坐標測量機和其它帶有計算機的測試儀器上，能夠滿足圓柱度誤差的精確評定。

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