頻率選擇性衰落MIMO信道容量分析*

(空軍航空大學(xué) 航空理論系，長(zhǎng)春 130022)

1 引 言

近年來(lái)，隨著蜂窩移動(dòng)通信、因特網(wǎng)和多媒體業(yè)務(wù)的發(fā)展，世界范圍內(nèi)對(duì)無(wú)線(xiàn)通信的容量需求正在迅速增長(zhǎng)。但無(wú)線(xiàn)通信可利用的無(wú)線(xiàn)頻譜資源是有限的，如果頻譜的利用率沒(méi)有得到顯著提高，就不可能滿(mǎn)足人們對(duì)通信容量的需求。在單天線(xiàn)(SISO)鏈路系統(tǒng)中，采用先進(jìn)的編碼(例如Turbo碼[1]和低密度奇偶校驗(yàn)碼[2])可以使系統(tǒng)容量接近香農(nóng)容量極限。多天線(xiàn)或多入多出(MIMO)系統(tǒng)在無(wú)需增加額外的信號(hào)帶寬和發(fā)射功率的前提下，通過(guò)增加發(fā)射端和接收端的天線(xiàn)數(shù)量，可以進(jìn)一步顯著提高頻譜利用率，從而增加無(wú)線(xiàn)通信系統(tǒng)的容量[3～5]。

理論上已證明，多天線(xiàn)的信道容量隨天線(xiàn)個(gè)數(shù)的增加而線(xiàn)性增加，極大地提高了信道容量。該結(jié)論是在假定信號(hào)的帶寬足夠窄以及信道的頻率響應(yīng)是準(zhǔn)靜態(tài)平坦衰落下得到的。但在實(shí)際的無(wú)線(xiàn)通信系統(tǒng)中，隨著傳輸速率越來(lái)越高，信號(hào)所占用的帶寬越來(lái)越寬，因而實(shí)際的信道呈現(xiàn)出頻率選擇性衰落特性[6]。本文采用頻域和時(shí)域的方法對(duì)比研究了在頻率選擇性衰落下，發(fā)射端已知和未知信道狀態(tài)信息的MIMO信道容量，并給出了相關(guān)的仿真結(jié)果。研究結(jié)果表明：在相同發(fā)射功率和傳輸帶寬下，對(duì)于頻率選擇性衰落的MIMO系統(tǒng)可以不犧牲信號(hào)帶寬而顯著提高信道的容量，并且天線(xiàn)數(shù)量和輸入信噪比的大小對(duì)信道容量具有不同的影響。研究結(jié)果為如何提高頻率選擇性衰落環(huán)境下MIMO信道容量提供了依據(jù)。

2 頻率選擇性衰落MIMO信道模型

圖1 頻率選擇性衰落MIMO信道模型Fig.1 MIMO channel model under frequency selective fading

頻率選擇性衰落信道可以模型化為抽頭延遲線(xiàn)，圖1為頻率選擇性衰落環(huán)境下通用空時(shí)通信系統(tǒng)的模型。假定系統(tǒng)包含M個(gè)發(fā)射天線(xiàn)和N個(gè)接收天線(xiàn)。對(duì)于采樣時(shí)刻i，MIMO系統(tǒng)的輸入為xi=[x1,i,x2,i,…,xM,i]，輸出為yi=[y1,i,y2,i,…,yN,i]，頻率選擇性衰落信道的系統(tǒng)噪聲zi=[z1,i,z2,i,…,zN,i]為加性高斯白噪聲，并且和用戶(hù)的發(fā)送信息獨(dú)立。用戶(hù)發(fā)送信息通過(guò)的頻率選擇性衰落信道Ht可以表示為

(1)

式中，Nc+1是多徑信道數(shù)，hm,n,k是從發(fā)射天線(xiàn)m到接收天線(xiàn)n的第k個(gè)多徑信道系數(shù)。

假定系統(tǒng)在一個(gè)符號(hào)的Nb個(gè)采樣間隔內(nèi)連續(xù)發(fā)射信息，信道抽頭系數(shù)初始化為零。定義1×NbM維的天線(xiàn)發(fā)送信息矢量x=[xNb,xNb-1,…,x1]，1×NbN維的天線(xiàn)接收矢量y=[yNb,yNb-1,…,y1]和1×NbN維噪聲矢量z=[zNb,zNb-1,…,z1]。它們的相關(guān)矩陣分別為Rx=E[xTx]、Ry=E[yTy]和Rz=E[zTz]。

天線(xiàn)的接收矢量可以表示為

y=xH+z

(2)

下面將討論發(fā)射端已知或未知信道信息的頻率選擇性衰落MIMO信道容量。

3 未知信道信息的MIMO信道容量

在發(fā)送端未知信道信息的情況下，根據(jù)信息論原理，寬帶MIMO信道的歸一化容量由下式給出：

(3)

式中，符號(hào)h(·)代表熵微分(表示信息熵)。

在給定發(fā)送信息x的情況下，接收信號(hào)y的條件熵為

h(y|x)=h(xH+z|x)=h(z)=(1/2)log2((2πe)NNb|Rz|)

(4)

根據(jù)式(4)，為了使信道容量達(dá)到最大，接收信息y的熵h(y)必須最大。當(dāng)發(fā)送信息x為獨(dú)立同分布的聯(lián)合高斯分布時(shí)，接收信息y與x同分布，此時(shí)對(duì)于一個(gè)給定的接收信息相關(guān)矩陣Ry，h(y)取最大值。于是，接收信息y的熵為

假定所有天線(xiàn)的總發(fā)射功率為P，由于發(fā)送信息矢量x服從獨(dú)立同分布的聯(lián)合高斯分布，Rx可由下式給出：

(6)

因此發(fā)送端未知信道信息時(shí)，寬帶MIMO信道的歸一化容量可以進(jìn)一步表示為

如果假定噪聲矢量z為獨(dú)立同分布的高斯噪聲，并且噪聲方差為σ2，則Rz可以表示為

Rz=σ2INNb

(8)

于是，信道容量可進(jìn)一步改寫(xiě)為

(9)

(10)

于是可得頻域子信道矩陣Hp(0≤p

(11)

發(fā)送端未知信道信息時(shí)，傅里葉變換法計(jì)算得到的寬帶MIMO信道容量為

(12)

4 已知信道信息的MIMO信道容量

以下討論在發(fā)送端已知信道信息(即發(fā)送端已知信道矩陣H和噪聲的自相關(guān)函數(shù)矩陣Rz)時(shí)的寬帶MIMO信道容量。根據(jù)信息論原理，信道容量為

(13)

給定發(fā)送信息x時(shí)，接收信息y的條件熵為

(14)

(15)

因此信道容量為

(16)

由于式(16)中指數(shù)函數(shù)是隨自變量遞增的函數(shù)，并且Rz與Rx獨(dú)立，容量求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在發(fā)送功率受限(Tr(Rx)=PNb)的條件下，尋找合適的Rx使得│HHRxH+Rz│最大。對(duì)噪聲相關(guān)矩陣Rz進(jìn)行Cholesky分解Rz=LLH，于是式(16)可等效為

式中，C=HL-H。

式(17)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

(18)

上式可等效為

式中，Rw=UHRxU。

考慮到發(fā)送功率受限Tr(Rx)=PNb，矩陣Rw的跡可以表示為

Tr(Rw)=Tr(UHRxU)=Tr(Rx)=PNb

(20)

式(20)表明，x與w具有相等的功率，它們之間僅有一個(gè)縮放比例的效果。因此，容量求解問(wèn)題進(jìn)一步簡(jiǎn)化為在功率受限條件下Tr(Rw)=PNb，尋找矩陣Rw使得│SHRwS+I│最大，此問(wèn)題可采用注水原理來(lái)求解。

當(dāng)矩陣Rw為對(duì)角矩陣，且其對(duì)角線(xiàn)元素Rw(i,i)滿(mǎn)足：

(21)

及

(22)

可使│SHRwS+I│達(dá)到最大。式(22)中，v是常數(shù)，函數(shù)(x)+代表：

(23)

從式(22)中可看出，矩陣Rw可以將更多的發(fā)射功率分配給信道增益大(即信道矩陣奇異值更大)的子信道。因此，發(fā)射端已知信道狀態(tài)信息時(shí)，寬帶MIMO信道容量可以表示為

(24)

式中，Rx=URwUH，或x=wUH，E[wHw]=Rw。

發(fā)送端已知信道信息時(shí)，頻率選擇性衰落MIMO信道容量也可采用頻域方法計(jì)算[8]。對(duì)應(yīng)于式(17)，第p條多徑信道的矩陣Cp(0≤p

Cp=Hp(LP)-H=UpSp(Vp)H

(25)

根據(jù)式(25)，發(fā)送端已知信道信息時(shí)，使用頻域方法計(jì)算得到的頻率選擇性衰落MIMO信道容量可以表示為

(26)

(27)

以及

(28)

式中，0≤p

5 仿真結(jié)果及分析

本文的仿真中總接收功率定義為所有發(fā)送天線(xiàn)到某一接收天線(xiàn)之間所有多徑傳送的信號(hào)功率總和，信噪比SNR定義為每根接收天線(xiàn)上的總接收功率與噪聲方差σ2的比值。隨著發(fā)送天線(xiàn)數(shù)的增加，為了保持發(fā)送SNR固定，所有發(fā)射天線(xiàn)發(fā)射的總功率仍舊保持不變。在未加說(shuō)明的情況下，仿真環(huán)境所使用的信噪比SNR皆為20 dB，并且已知或未知信道信息都是指發(fā)射端。考慮到室內(nèi)環(huán)境下，信道的均方根時(shí)延擴(kuò)展的典型范圍為40～200 ns，因此頻率選擇性衰落MIMO信道容量的仿真中選擇輸入信號(hào)的符號(hào)速率為2 MHz，可使室內(nèi)環(huán)境下的信道經(jīng)歷頻率選擇性衰落。

圖2為頻率選擇性衰落下，未知信道信息時(shí)，信道容量隨接收天線(xiàn)數(shù)變化的情況。曲線(xiàn)之一是發(fā)射天線(xiàn)數(shù)M等于接收天線(xiàn)數(shù)N的MIMO信道容量，而另一曲線(xiàn)是發(fā)射天線(xiàn)數(shù)為1的SIMO信道的容量。從圖中可以看出，頻率選擇性衰落環(huán)境下，MIMO信道容量隨發(fā)射/接收天線(xiàn)數(shù)線(xiàn)性增長(zhǎng)，這也證明了寬帶MIMO系統(tǒng)在提高系統(tǒng)容量方面有著巨大的潛力。而SIMO信道容量隨接收天線(xiàn)數(shù)呈近似對(duì)數(shù)緩慢增長(zhǎng)。因此，盡管增加接收天線(xiàn)數(shù)可以提高信道容量，但是這種增長(zhǎng)是有限的，除非同時(shí)增加發(fā)射天線(xiàn)的數(shù)量才能使信道容量大幅度提高。

圖2 頻率選擇性衰落MIMO信道容量Fig.2 MIMO channel capacity under frequency selective fading

圖3比較了未知信道信息時(shí)，分別使用時(shí)域和頻域方法計(jì)算得到的寬帶MIMO信道容量。以上兩種方法中，均假定發(fā)射天線(xiàn)數(shù)等于接收天線(xiàn)數(shù)，并且Nb=Nf=16。兩種方法得到的結(jié)果非常接近，容量差異不超過(guò)1.5%。這種差異可以解釋為頻域計(jì)算方法考慮了頻率選擇性衰落信道的所有抽頭延遲線(xiàn)，而時(shí)域只考慮信道矩陣的最新的NcM行。

圖3 不同計(jì)算方法得到的容量比較Fig.3 Channel capacity comparison using different methods

圖4給出了頻率選擇性衰落時(shí)，MIMO信道容量隨接收天線(xiàn)數(shù)的變化情況。圖中比較了接收天線(xiàn)數(shù)等于發(fā)射天線(xiàn)數(shù)(N=M)和發(fā)射天線(xiàn)數(shù)固定等于4(M=4)兩種情況的MIMO信道容量，前者的容量隨接收天線(xiàn)的數(shù)線(xiàn)性增長(zhǎng)，后者的容量則隨接收天線(xiàn)數(shù)近似對(duì)數(shù)增長(zhǎng)(與SIMO類(lèi)似)。從圖中還可看出發(fā)射端已知信道信息對(duì)MIMO信道容量的影響。當(dāng)接收天線(xiàn)數(shù)大于或等于發(fā)射天線(xiàn)數(shù)時(shí)，發(fā)射端已知信道信息對(duì)信道容量的影響并不明顯。這是由于這種情況下信道矩陣的秩等于發(fā)射天線(xiàn)數(shù)，并且改變發(fā)射信號(hào)的相關(guān)矩陣只會(huì)小幅度地提高信道容量。然而當(dāng)M>N時(shí)，信道矩陣的秩小于發(fā)射天線(xiàn)數(shù)，這時(shí)信道信息可以明顯提高信道容量的原因是發(fā)射天線(xiàn)可以進(jìn)行選擇性發(fā)射，天線(xiàn)發(fā)射的能量?jī)H僅集中在狀態(tài)好(信道矩陣的奇異值大)的子信道上。

圖4 信道容量隨接收天線(xiàn)數(shù)變化情況Fig.4 Channel capacity variety with number of receiving antennas

圖5 信道容量隨發(fā)射天線(xiàn)數(shù)變化情況Fig.5 Channel capacity variety with number of transmitting antennas

圖5給出了發(fā)射天線(xiàn)數(shù)的變化對(duì)寬帶MIMO信道容量的影響。從圖中可以看出，對(duì)于接收天線(xiàn)數(shù)固定(N=4)的情況，當(dāng)M>4時(shí)，MIMO信道表現(xiàn)為發(fā)射分集，其容量隨發(fā)射天線(xiàn)數(shù)近似對(duì)數(shù)增長(zhǎng)。并且,由于信道矩陣的秩小于發(fā)射天線(xiàn)數(shù)，發(fā)射端已知信道信息對(duì)信道容量的影響比較顯著。而當(dāng)M<4時(shí)，N=4的容量大于M=N時(shí)的MIMO信道容量，這是由于前者的接收天線(xiàn)數(shù)多于后者，從而為信道提供了額外的接收分集。

圖6給出了當(dāng)發(fā)射天線(xiàn)數(shù)等于接收天線(xiàn)數(shù)(M=N=4)時(shí)，頻率選擇性衰落MIMO信道的容量隨信噪比變化的情況。結(jié)果表明：低信噪比時(shí)，發(fā)射端已知信道信息對(duì)信道容量的影響比高信噪比時(shí)效果明顯。當(dāng)SNR=0 dB時(shí)，信道容量提高約32.5%，而當(dāng)SNR=20 dB時(shí)，提高約只有1.4%。這是由于在高SNR時(shí)，系統(tǒng)噪聲主要來(lái)源于符號(hào)間和信道間干擾，增加某一個(gè)子信道的信號(hào)能量將會(huì)大大影響其它子信道的性能，因此注水原理的作用將大大減小。然而在低SNR時(shí)，加性噪聲起主導(dǎo)作用，注水原理將更多發(fā)射能量分配給性能好(信道矩陣的奇異值大)的子信道，以獲得更高信道容量的同時(shí)而不顯著影響其它信道的性能。

圖6 信噪比對(duì)信道容量的影響(M=N=4)Fig.6 Effect of SNR on channel capacity transmitting antennas (M=N=4)

6 結(jié) 論

根據(jù)以上的分析和仿真，對(duì)于頻率選擇性衰落的MIMO信道容量可以得出以下結(jié)論：

(1)當(dāng)發(fā)射天線(xiàn)數(shù)M等于接收天線(xiàn)數(shù)N時(shí)，MIMO信道容量隨M或N線(xiàn)性增長(zhǎng)；

(2)當(dāng)M>N且發(fā)射端已知信道信息時(shí)，MIMO系統(tǒng)表現(xiàn)為發(fā)射分集，MIMO信道容量隨(M-N)近似對(duì)數(shù)增長(zhǎng)；

(3)當(dāng)N>M時(shí)，MIMO系統(tǒng)表現(xiàn)為接收分集，MIMO信道容量隨(N-M)近似對(duì)數(shù)增長(zhǎng)；

(4)發(fā)射端未知信道信息時(shí)，接收分集的性能優(yōu)于發(fā)射分集；

(5)發(fā)射端已知信道信息時(shí)，發(fā)射分集的性能等效于接收分集；

(6)當(dāng)發(fā)射端已知信道信息時(shí)，小信噪比輸入系統(tǒng)所增加的MIMO信道容量率高于大信噪比輸入系統(tǒng)。

根據(jù)以上對(duì)頻率選擇性衰落MIMO信道容量的分析可知：在不改變發(fā)射功率和傳輸帶寬時(shí)，頻率選擇性衰落MIMO系統(tǒng)同樣可以不犧牲信號(hào)帶寬而顯著提高信道的容量。該結(jié)論為未來(lái)如何提高頻率選擇性衰落環(huán)境下MIMO信道容量提供了依據(jù)。

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