代數三角混合Bézier型插值曲線

蘇本躍， 盛 敏,

（1. 安慶師范學院計算機與信息學院，安徽 安慶 246011；2. 合肥工業大學計算機與信息學院，安徽 合肥 230009）

代數三角混合Bézier型插值曲線

蘇本躍1， 盛 敏1,2

（1. 安慶師范學院計算機與信息學院，安徽 安慶 246011；2. 合肥工業大學計算機與信息學院，安徽 合肥 230009）

通過一類代數三角混合Bézier型基函數的定義，構造了一類C2連續的代數三角混合Bézier型插值曲線。該曲線繼承了Bézier曲線的一些優良特性，并能充分克服Bézier型基函數不能精確表示二次曲線曲面以及某些超越曲線曲面的弱點。另外，利用形狀控制參數可以靈活調節曲線形狀，進一步增強了曲線曲面的表現能力。最后實例表明了新的插值曲線應用于幾何造型的有效性。

代數三角混合多項式；Bézier型曲線；曲線插值；形狀參數

在計算機輔助設計(CAD)領域，用代數三角混合多項式來表示參數曲線曲面是近年來出現的一類比較嶄新的自由曲線曲面造型方法，目前已經成為 CAGD領域研究的一個新熱點。張紀文[1]在空間Span{1, t, cost, sint}上提出了均勻節點的C-曲線概念。2001年，Mainar等[2]在代數三角混合函數空間中提出了規范B基的構造。汪國昭等[3-5]在擴展的代數三角混合函數空間中提出了k階代數三角多項式樣條。Han，吳曉勤，蘇本躍等[6-9]在三角函數空間定義了一類 Bézier型曲線，使其具有Bézier曲線的類似性質，同時又具有三角函數的若干優點。

上述代數三角混合樣條曲線的特點是：①樣條基函數是由代數多項式函數與三角多項式函數混合構造而成，故由此構造的代數三角混合樣條曲線一方面繼承了多項式樣條曲線的特點，另一方面可以克服工業產品外形設計中某些曲線不能用多項式基函數精確表示的缺點；② 樣條基函數的參數定義區間由形狀參數α控制，是可變的。當形狀參數α發生變化時，代數三角混合樣條曲線形狀也發生相應的改變。然而，形狀參數α又決定了定義區間的大小，在產品設計過程中往往需要重新參數化；并且隨著形狀參數α的改變，曲線只能從單邊逼近同階的 Bézier曲線。

然而，上述曲線造型方法是逼近型的，在構造插值型曲線時顯得較為復雜，本文通過一類代數三角混合 Bézier型曲線的定義，構造了一類C2連續的代數三角混合Bézier型插值曲線。一方面繼承了Bézier插值曲線的特性，另一方面可以充分克服 Bézier基函數不能精確表示二次曲線及某些超越曲線曲面的弱點，以此進一步加強插值型曲線曲面的表現能力。

1 代數三角混合Bézier型曲線曲面

1.1 代數三角混合Bernstein型基函數的定義

若令參數t的定義區間為[0, π/2]，在由多項式函數與三角函數構成的混合函數空間{1, t, sint,cost, …, sinkt, coskt}以及{1, t, t2, sint, cost, …,sinkt, coskt}中可構造與 Bernstein基函數的性質相類似的擬 Bernstein型基函數。由于現有的造型曲線幾乎均定義在區間[0, 1]上，故定義擬三次Bernstein型基函數如下：

1.2 Bernstein型代數三角混合多項式基函數的性質

以上構造的擬三次 Bernstein型基函數Bi,3(t)具有Bernstein基函數類似性質：

性質1 擬三次Bernstein型基函數具有非負性，即

性質2 擬三次Bernstein型基函數具有以下端點性質

性質3 擬三次Bernstein型基函數具有對稱性，即

性質 4 擬三次 Bernstein型基函數具有權性，即

注：性質1～4可由擬三次Bernstein型基函數定義直接推出。并且由式(2)及式(5)知，擬三次Bernstein型基函數同樣具有單位剖分性。

1.3 代數三角混合Bézier型曲線

定義2 設給定四個控制頂點 q0, q1, q2,q3，以及任取實數α, α ∈ [ 0,1]，則可定義一條帶有形狀控制參數的代數三角混合Bézier型曲線

其中 Bi,3(α,t), i =0,1,2,3為擬三次Bernstein型基函數，如圖1所示。

圖1 代數三角混合Bézier型曲線

令 k (α) = 2 (1 - α ) + πα , m =π2/4，則由性質2容易推得擬三次Bézier型曲線具有以下端點性質

同時擬 Bézier型曲線的形狀與坐標軸的選取無關，而且由擬 Bernstein型基函數的單位分解性知，整條 Bézier型曲線位于由控制頂點q0, q1,… ,qn張成的控制多邊形的凸包中。

2 代數三角混合Bézier型插值曲線

定義3 給定[a,b]上連續函數f在已知分割

上的值為 f ( ti),i = 0 ,1,… ,n , 若分段代數三角混合Bézier型曲線p(t)滿足下列條件：

（1） p(t)為定義 2表示的代數三角混合Bézier型曲線，且在子區間[ti, ti+1]上表示為pi(t),則稱 p(t)為 C2連續的分段代數三角混合 Bézier型插值曲線。

由定義3分段代數三角混合Bézier型插值曲線p(t)可改寫為

由分段代數三角混合Bézier型插值曲線的定義，在區間[a, b]上n-1個內節點 t1, t2, … ,tn-1處應滿足則插值該5個數據點的代數三角混合Bézier型插值曲線如圖2所示。并且由圖2可知，不改變曲線的 C2連續性，調節控制參數α可以提高插值曲線逼近階。

圖2 給定型值點的代數三角混合Bézier型插值曲線

3 結 論

本文通過一類代數三角混合 Bézier型曲線的定義提出了相應的插值算法。具有下列優點：首先，它繼承了相應的Bézier曲線的基本性質，如端點性質、對稱性、幾何不變性、凸包性等以及三次樣條的 C2連續性等。其次，提供了一個形狀控制參數，用戶除了利用控制頂點調節曲線曲面形狀外，還可以通過形狀控制參數調整曲線曲面形狀，增強了曲線曲面形狀調整的靈活性。而且在幾何連續性的意義下，曲線曲面形狀的調整既可以局部調整又可以全局調整。第三，利用局部控制參數調節曲線形狀使得曲線變化的范圍更大，選取合適的控制參數可以使曲線從兩邊逼近同階的Bézier曲線及B樣條曲線。最后，選取合適的形狀控制參數以及合適的控制頂點，本文提出的 Bézier型代數三角混合多項式曲線可精確表示一些常用的圓錐曲線和心臟線、擺線、螺旋線等超越曲線。 這使得工程師在CAD造型設計以及數控加工中，可以只需要選取很少的曲面片就可以精確表示用戶所需要的某些特殊曲面造型，而不需要像傳統多項式方法一樣需要多片曲面片的拼接以達到用戶滿意的精度。由此可大大提高曲線曲面的生成效率和表示精度。

[1]ZHANG J W, KRAUSE F L. Extending cubic uniform B-splines by unified trigonometric and hyperbolic basis [J]. Graphic Models, 2005, 67：100-119.

[2]MAINAR E, PE?A J M. A basis of C-Bézier splines with optimal properties [J]. Computer Aided Geometric Design, 2002, 19：291-295.

[3]WANG G Z, LI Y J. Optimal properties of the uniform algebraic trigonometric B-splines [J]. Computer Aided Geometric Design, 2006, 23：226-238.

[4]HOFFMANN M, LI Y J, WANG G Z. Paths of C-Bézier and C-B-spline curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 2006, 23：463-475.

[5]WANG G Z, CHEN Q Y, ZHOU M H. NUAT B-spline curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 2004, 21：193-205.

[6]HAN X L. Cubic trigonometric polynomial curves with a shape parameter [J]. Computer Aided Geometric Design, 2004, 21：535-548.

[7]蘇本躍, 黃有度. 一類Bézier型的三角多項式曲線[J].高等學校計算數學學報, 2005, 27(3)：202-208.

[8]SU B Y, TAN J Q. A family of quasi-cubic blended splines and applications [J]. J. Zhejiang Univ.SCIENCE A, 2006, 7(9)：1550-1560.

[9]吳曉勤, 韓旭里, 羅善明. 帶形狀參數的二次三角Bézier曲線[J]. 工程圖學學報, 2008, 29(1)：82-87.

Algebraic Trigonometric Blending Bézier-type Interpolation Curves

SU Ben-yue1, SHENG Min1,2
( 1. School of Computer and Information, Anqing Teachers College, Anqing Anhui 246011, China;2. School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China)

A class of C2continuous algebraic trigonometric blending Bézier-type interpolation curves is constructed based on the definition of free form algebraic trigonometric blending Bézier-type curves. The introduced curves inherit some characteristics which the Bézier interpolation curves have. Meanwhile, the new curves can accurately represent some conic and transcendental curves, which are more powerful than the Bézier interpolation curves. Moreover,the shapes of curves can be adjusted freely by an introduced control parameter in the base functions. At last, the illustrations show that the new interpolating curves are effective in practice on geometric modeling.

algebraic trigonometric blending polynomial; Bézier-type curve; curve interpolation; shape parameter

TP 391.72; O 241.3

A

1003-0158(2010)06-0039-06

2009-02-24

國家自然科學基金資助項目（60773128）；安徽省教育廳自然科學研究資助項目（KJ2009A123）；安徽省高等學校優秀青年人才基金資助項目（2009SQRZ156）

蘇本躍（1971-），男，安徽蕪湖人，副教授，博士，主要研究方向為計算機圖形學，數字圖像處理，科學與工程計算。

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