最大斜度線在圖學理論中的合理詮釋及應用研究

雷 芳

（福州大學，福建 福州 350002）

最大斜度線在圖學理論中的合理詮釋及應用研究

雷 芳

（福州大學，福建 福州 350002）

最大斜度線在工程圖學中較少研究，其幾何定義與作圖過程晦澀抽象，但其在建筑設計與工程制圖中應用頻率很高。對其進行更為確切的定義分析、空間探討，輔以工程實例的推演及三維可視化表現，有助于深化概念、拓展視野，從而也增強了基礎圖學理論與后續專業知識的有效銜接。

工程圖學；最大斜度線；綜合分析；工程應用

最大斜度線是畫法幾何圖學理論中對平面內某一位置直線的定義。其幾何模型如圖1所示。直線KM屬于定平面P，其垂直于P平面內的水平線，且與水平投影面形成的坡度角α為最大。

由于圖學理論中幾何體主要是以正投影方式體現，求解及作圖過程很抽象，如圖2所示，需分三個步驟，首先做出平面內的水平線BD的投影，再做直線AE與該水平線的投影垂直，得到最大斜度線的投影ae及a′e′，最后還需用直角三角形法求出其與H投影面的夾角α。作圖時一般會產生較大的疑慮，不明白此概念的實際含義，從而與實際運用無法對接，造成一定的局限性。

圖1 最大斜度線定義

圖2 求最大斜度線投影

1 最大斜度線的正確認知

追本溯源，中國圖學理論主要是沿襲蘇聯的體系架構。故理論上確切的解釋應為：在任一平面上都可畫出無數條方向各不相同的直線，在無數的直線中，有一些是能夠完全確定位置的特殊直線如橫向平行線、縱向平行線、側向平行線（圖3）。在平面內垂直于此三種平行線的直線，叫平面的最大斜度線（或坡降線）[1]。此坡降線即成為日后土木工程中廣泛運用的典型。

圖3 最大斜度線（坡降線）的含義

最大坡降線的物理意義是指位于平面上的小球或水沿著它滾動的那條線。由于畫法幾何理論最終是通過工程制圖將設計思路體現出來的。故概念不清不確切，表達就會有局限性，勢必會影響到后續的設計。

第一，對最大坡降線首先不能僅僅以三角面（圖4）來定義。將空間擴展后的坡面與三角面擁有共同的最大坡度線。其與地面的交線（跡線）是一條零度的水平線。在工程圖中，此一系列的水平線又可稱為等高線。那么最大坡度線自然與等高線垂直。

圖4 拓展后的最大坡度線

第二，理論上平面內的水平線不是只有一組，更不是只有一條，斜面中水平線的投影可以有很多種表達，并且其所代表的方向不會變（圖5），且線和面都是可以擴展的。

圖5 在平面中作出水平線的投影

第三，最大坡度線重點不在其長度，關鍵是其代表了一個最大坡度的方向。由于最大斜度線既不垂直于正投影面也不垂直于水平投影面，故只有將直角三角形轉 90°后與水平投影面平行，方可投影得到最大斜度角α，如圖6所示，投影作圖參見前述圖2所示。

圖6 求最大斜度線及夾角

此外，畫法幾何是一套比較完善的經典圖學理論，既有投影分析也有幾何論證與計算。最大斜度線的幾何架構如下，僅對水平面（O-XY面）而言最大斜度線與水平跡線和法線都垂直[2]其方向矢量為PH=Ai+BCj-(A2+B2)k, 其對O-XY面的傾角θ1

該理論分析的目的主要是為了解決空間定位與定量兩大問題，如圖7所示。

圖7 最大斜度線的計算圖解

2 最大斜度線的引深與實踐

2.1 定位問題

在工程制圖中，最大斜度的定位主要是其投影的定位，而確定了最大斜度線，就確立了最合理的平面（或曲面）的坡度角。

如在中國古建筑中大木作斜屋頂或長廊，一般都有斜脊與天溝，其琉璃瓦的鋪設總是沿著最大斜度線方向，以利于呈現正確的落水方式如圖8所示，注意立面圖的投影方向。

圖8 長廊屋面最大斜度的投影

在宋清式大屋頂中，最降線的含義是指雨水最快離開屋面，而非雨水離開檐口以后排至最遠[3]。最接近理想的速降線如圖9中的①，它比直坡屋頂有利于排水，其中清式比宋式更接近理想，更有科學性。

圖9 四種坡屋頂線比較

在土木工程中，護坡、圍堤、涵洞都有大量的斜坡面出現。最經典的曲面定義為，圓錐上的每一條通過頂點的素線都是最大坡降線，圓錐面自上而下的每個同心圓都是零度的水平圓曲線見圖10左圖。

圖10右圖為涵洞漸變段[4]，其造型由方型口漸變到圓型口，正是利用了4個三角形平面與四部分斜圓錐面相切的原理，使曲面過度的坡度最大，最利于引水方向的水流順暢。

圖10 曲面坡度線及漸變段

在具體設計作圖過程中，如果已知護坡的坡度角，正立面無積聚現象，那么必須用下列作圖來解決，見圖11。已知斜面底部水平線投影及平面投影距離，坡度角定為 30°，求立面投影?？上茸鲋本€垂直于水平線，然后在水平面畫出 30°的直角三角形，將高度坐標差逆推至立面即可得到最大斜度線的立面投影，從而得到坡頂線的投影高度線。

圖11 最大斜度線的立面投影定位

2.2 定量問題

定量問題體現在對已有斜面坡的坡角及斜長的確定。前述的直角三角法在實踐中最直接的體現在測量的運用，如圖 12所示，當豎直度盤對準水平線時刻盤度數為90°，當視線對準P1時得到一角度，則坡度角α=90°-測得的角度。

圖12 測量最大坡度角

在交通或水利工程中，為了減少水流的沖刷與腐蝕，最常用的辦法就是利用圓錐模擬最大斜度，形成轉角護坡斜面。圖13中，坡頂B到坡底A的高度差（是定值），半徑R=tgα×H，根據受力計算、土石方量與施工要求可推算出一個合理的坡度角α，于是半徑R隨之確定，以圓錐模擬的最大坡度線成立，作圖過程見圖13右小圖，先做圓錐平面投影弧，再作A點到圓錐底圓弧的切線得水平坡底線，做BC⊥AC，最大坡度方向即確定。

圖13 斜面轉角護坡

畫法幾何學的每個概念都是圍繞圖學理論展開的，而圖學理論與專業設計的有效銜接是必然的趨勢，作為專業基礎知識只有與實際相結合才能體現出知識的連貫性與延伸性。

2.3 經典實例應用

最大斜度線的應用最為成功的實例當屬著名華裔建筑師貝聿銘先生設計的位于法國盧浮宮廣場上的玻璃金字塔，其高21米，底寬30米，四個側面由673塊菱形玻璃拼組而成，總平面面積約2000平方米。

從圖 14中可見，橫向、縱向、側向平行線被巧妙的設計為承重的金屬支架，無論從哪個方向看，其最大落水坡度都是最大的，它是現代藝術風格的佳作，也是運用現代科學技術的獨特嘗試。

圖14 貝聿銘作品玻璃金字塔

又如歐洲建筑精粹，郝思拉幼兒園，其建筑體量被劃分為很小的結構單元組合，以迎合兒童心理，運用多種不同方向的斜坡屋頂營造出木構建筑的層次感，而且建筑每一層都有通道直接通入戶外花園（見圖15）。

圖15 郝思拉幼兒園

在交通工程中，最大坡度線在開挖線、坡底線及邊坡設計中都會用到與最大斜度線為基礎的算法及畫法。其中一種為人工平面坡，如圖16所示，無論挖還是填，只要有一定的坡度定位，其理論依據仍舊是L=tgα×H。當然還需結合力學知識，進行合理的坡度配比，以達到一定的穩定性。

圖16 路基工程中的邊坡應用

其二是在自然山體中，求路基兩側護坡與自然土壤的交線，如圖 16右所示，交線的走向與土坡坡度角以及等高線有著一定的關系，除直線段外，同坡曲面型邊坡的出現率更高。且計算中需運用一些插值的手法[5]，以達到一定的精度，如圖 17所示。而同坡曲面的引深最終可以達到一個較高的難度，如圖 18所示，即隨著坡頂的上移，模擬坡度的圓錐呈漸變趨勢增大，其法向坡度始終保持恒定，與所有圓錐相切的平面即為所求。水工建筑物拱壩模型均借鑒了最大坡度的概念。

總之，畫法幾何學為后續土木專業設計的走向提供了堅實的理論依據，研究最基礎的點點、線與面的投影及特征，不僅具有一定的教育價值，而且能夠更好的服務于工程實踐。

圖17 自然山體與曲面坡的營造

圖18 在水利工程中的復雜同坡曲面

[1]A M 葉魯薩里姆斯基. 畫法幾何學[M]. 北京：高等教育出版社, 1957. 106-111.

[2]艾運鈞. 工程圖學分析引論[M]. 北京：中國鐵道出版社, 1984. 28-30.

[3]湯國華. 中國傳統大屋頂的排雨特點[J]. 新建筑,1996, (4)：65-66.

[4]左 麗. 水工建筑物進出口漸變段直線扭曲面展開技巧[J]. 水利水電技術, 2005, 36(4)：46-47.

[5]方 慶, 徐約素. 畫法幾何及工程制圖[M]. 北京：高等教育出版社, 1991. 235-241.

Study on the Reasonable Annotation and the Application of the Maximum Slope Line in Graphics Theory

LEI Fang
( Fuzhou University, Fuzhou Fujian 350002, China )

The study of the maximum slope line in the engineering graphics is quite less, for its geometry definition and mapping process are abstract and obscure, but it is frequently used in the architectural design and the engineering drawing. The process of carrying out more accurate definition analysis and space discussion, increasing with the engineering examples,three-dimensional visualization will help to deepen the concept, broaden horizons and strengthen the effective convergence of the graphics-based theory and the following expertise.

engineering graphics; the maximum slope line; comprehensive analysis;engineering application

TB 23

A

1003-0158(2010)06-0007-05

2009-09-28

福建省教育廳資助項目(JB07017)

雷 芳（1966-），女，江西萍鄉人，講師，碩士，主要研究方向為工程圖學、計算機建筑表現。