一種基于盲源分離的DOA估計(jì)方法

趙 佳， 楊景曙

0 引言

空間信號(hào)到達(dá)方向DOA(Direction of Arrival)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的一個(gè)基本問(wèn)題，也一直是陣列信號(hào)處理中研究的熱點(diǎn)。近幾十年來(lái)，科研人員提出了多種DOA估計(jì)方法[1]，以MUSIC方法為代表的各種超分辨DOA估計(jì)法已發(fā)展得比較成熟。這些方法都是基于協(xié)方差矩陣進(jìn)行DOA估計(jì)的，在協(xié)方差矩陣秩虧缺（存在相干信號(hào)源）的情況下，無(wú)法正確進(jìn)行估計(jì)。基于盲源分離進(jìn)行DOA估計(jì)是近幾年出現(xiàn)的方法[2-3]。盲源分離是指在不知道源信號(hào)和傳輸通道參數(shù)的情況下，針對(duì)源信號(hào)的瞬時(shí)混疊和卷積混疊或它們的組合，根據(jù)輸入源信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，僅由觀測(cè)信號(hào)恢復(fù)出源信號(hào)各個(gè)獨(dú)立成分的過(guò)程。到目前為止，國(guó)際上已發(fā)展了多種有效的盲源分離算法，對(duì)信號(hào)恢復(fù)取得了很好的效果。但一般的盲分離方法不能對(duì)分離出來(lái)的信號(hào)給出方位，本文將JADE[4]盲源分離算法和MFBLP[5](Modificd Forward-backward Linear Prediction)方法相結(jié)合，提出了一種基于盲源分離的DOA估計(jì)方法。

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：所提方法能準(zhǔn)確估計(jì)出目標(biāo)的來(lái)波方向，在相同條件下，本文方法隨信噪比、陣元數(shù)、快拍數(shù)變化中表現(xiàn)出比MUSIC方法更優(yōu)的性能，此外，該方法還可以實(shí)現(xiàn)對(duì)相干信號(hào)源的分辨。

1 信號(hào)模型

假設(shè)某均勻直線陣 ULA（Uniform Linear Array）陣元數(shù)為M，陣元間距為d。同時(shí)假定：

① 信號(hào)源為遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，且信號(hào)數(shù)小于陣元數(shù)；

② 噪聲為互不相關(guān)的空間白噪聲。

根據(jù)上述假設(shè)，若有N個(gè)信號(hào)源，其入射角分別為θi（i= 1 , 2 ,…,N），則陣列流型為：

則天線陣在t時(shí)刻的觀測(cè)信號(hào)模型為：

若 s1（t）是由 s11（t）和 s12（t）兩路相干信號(hào)源構(gòu)成，s12（t）= α s11（t）。其中α為復(fù)數(shù)幅度因子，表征了兩信號(hào)間的增益和相位關(guān)系。此時(shí)，陣列流型矩陣為：

陣列觀測(cè)信號(hào)模型式(2)為盲源分離中線性瞬態(tài)混合模型，因此可以利用某些盲分離算法完成對(duì)陣列接收信號(hào)的分離。如果能實(shí)現(xiàn)對(duì)陣列流形A的估計(jì), 則完全可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)方位的估計(jì)。

2 JADE盲分離算法介紹

獨(dú)立分量分析ICA(Independent Component Analysis)是近年來(lái)由盲源分離技術(shù)發(fā)展起來(lái)的多道信號(hào)處理方法[6-7]。JADE算法[4]是由Cardoso提出的一種基于矩陣聯(lián)合對(duì)角化的ICA方法。目前，該算法已經(jīng)在數(shù)字水印[8-9]、波束形成[10]等方面得到了很好的應(yīng)用。其主要特點(diǎn)是加強(qiáng)了算法的代數(shù)概念——引入了多變量數(shù)據(jù)的四維累積量矩陣組，并對(duì)其作特征分解進(jìn)行聯(lián)合對(duì)角化，提高了結(jié)果的穩(wěn)健性。

球化是JADE方法的第一步，通過(guò)球化可以消除各通道數(shù)據(jù)間的二階相關(guān)。假設(shè) N × M 維球化矩陣為W ，則球化就是使輸出 z =Wy 的各分量 zi（t）的方差為 1，且互不相關(guān)（但未必相互獨(dú)立）。

不失一般性，可以假設(shè)源信號(hào)方差都為1，則：

所以：

式中 =U WA是一個(gè)酉矩陣。對(duì)任意的球化矩陣W 都存在一個(gè)酉矩陣使得

式中#表示偽逆， W#=W?（WW?）-1。

由式(6)可知：求出酉矩陣U便可對(duì)陣列流型矩陣A實(shí)現(xiàn)辨識(shí)。JADE方法就是通過(guò)對(duì)多變量數(shù)據(jù)的四維累積量矩陣組進(jìn)行聯(lián)合對(duì)角化來(lái)求得U。

令z為球化后的天線陣觀測(cè)矢量 z = [ z1, z1, … ,zM]，M為任意 M × M 矩陣。z的四階累積量矩陣定義如下：它的第i,j 個(gè)元素為：

式中 Kijkl（z ）是矢量z中第 i, j ,k,l四個(gè)分量的四階累積量；mkl是矩陣M的第 k ,l元素。

可以證明[7]：以M為權(quán)重矩陣構(gòu)成的累積量矩陣Θz（ M）必可分解為：

式中 λ = k4（sm）是信源 sm的峰度，M稱為 Θz（ M）的特征矩陣 ， k4（sm）是 對(duì) 應(yīng) 的 特 征 值 。 因 此 Θz（ M）可 表 示 成U Λ （M）U?。其中

由此可見(jiàn)，U矩陣在這里起著將 Θz（ M）對(duì)角化的作用。如果各信源的峰度互不相同，則um和λm也就各不相同，那么就能得到酉矩陣U，進(jìn)而可以求得陣列流型矩陣A和各獨(dú)立分量。基于特征矩陣聯(lián)合近似對(duì)角化實(shí)現(xiàn)盲辨識(shí)的具體步驟總結(jié)如下：

① 求球化矩陣W?，計(jì)算球化數(shù)據(jù) z =W?x ；

② 選擇矩陣組M，根據(jù)球化數(shù)據(jù)z求得一組累積量矩陣 Θz（ Mi）其中 i=1,2,…,p；

③ 根據(jù)優(yōu)化判據(jù)式(9)尋找酉矩陣U?，使各 Θz（ Mi）聯(lián)合近似對(duì)角化；

④ 估計(jì)陣列流型矩陣A?，UWA???#= 。

3 用MFBLP[5]進(jìn)行DOA估計(jì)

由陣列流型矩陣結(jié)構(gòu)可以看出，對(duì)陣列流型中的每個(gè)方向矢量進(jìn)行頻譜分析估計(jì)出各頻率點(diǎn) ωi,i =1,2,…,m ，進(jìn)而可求出信號(hào)的來(lái)波方向：

頻譜分析一般是通過(guò)DFT方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。但在這里，由于方向矢量長(zhǎng)度較短（天線陣陣元數(shù)相同）使得用來(lái)作頻譜分析的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較短，不宜采用 DFT方法。文獻(xiàn)[5]給出了一種改進(jìn)的 FBLP算法。該算法在短數(shù)據(jù)、低信噪比情況下，同樣具有較好的頻率估計(jì)性能。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)考慮均勻線列陣位于兩遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)源，信號(hào)1的來(lái)波方向?yàn)?5°，信號(hào)2的方位為28°。用式(11)所定義的圴方根誤差RMSE(Root Mean Square Error)來(lái)檢驗(yàn)所提方法的有效性，并與經(jīng)典的高分辨方位估計(jì)MUSIC方法進(jìn)行比較。

其中 θ?ik表示第k次對(duì)目標(biāo)i的方位估計(jì)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)P=100。

4.1 與MUSIC方法的性能比較

下頁(yè)圖1是在陣元數(shù)為8，快拍數(shù)為1000時(shí)，本文方法（JADE+MFBLP）與MUSIC方法的RMSE隨信噪比SNR變化的情況。圖2是在SNR為10 dB，快拍數(shù)為1 000時(shí)，本文方法與MUSIC方法的RMSE隨陣元數(shù)變化的情況。圖3是在SNR為10 dB，陣元數(shù)為8時(shí)，本文方法與MUSIC方法的RMSE隨快拍數(shù)變化的情況。

由仿真結(jié)果圖1、圖2、圖3，可得出如下結(jié)論：

① 在陣元數(shù)為8，快拍數(shù)為1 000時(shí)，本文方法相對(duì)MUSIC方法要求的信噪比要低，本文方法在信噪比為0 dB時(shí)就能達(dá)到RMSE為0.5°，而MUSIC方法要達(dá)到同樣的RMSE,則要求信噪比達(dá)到5 dB；

② 在SNR為10 dB，快拍數(shù)為1 000時(shí)，本文方法的RMSE對(duì)陣元數(shù)變化不敏感。當(dāng)陣元數(shù)小于14時(shí)，本文方法的RMSE明顯小于MUSIC方法；當(dāng)陣元數(shù)大于14時(shí)，兩種方法的RMSE比較接近；

③ 在SNR為10 dB，陣元數(shù)為8時(shí)，本文方法與MUSIC方法在快拍數(shù)大于1 000以后都具有較好的估計(jì)性能，但本文方法要明顯優(yōu)于MUSIC方法。

圖1 RMSE隨SNR變化情況

圖2 RMSE隨陣元數(shù)變化情況

圖3 RMSE隨快拍數(shù)變化情況

4.2 相干信源的DOA估計(jì)

假設(shè)有三個(gè)信號(hào)源，其中信號(hào)2是信號(hào)3的相干信號(hào)，信號(hào)1與它們互不相關(guān)。圖4中信號(hào)1來(lái)波方向?yàn)?5°，信號(hào)3來(lái)波方向?yàn)?0°。在SNR為10 dB，快拍數(shù)為3 000時(shí)，采用本文方法對(duì)其進(jìn)行DOA估計(jì)的RMSE隨信號(hào)2來(lái)波方向變化的情況。

由圖4可以看出，本文方法對(duì)相干信號(hào)源的來(lái)波方向也能實(shí)現(xiàn)有效的估計(jì)，且其性能受相干信號(hào)源來(lái)波方向之間角度差的影響。

圖4 RMSE隨信號(hào)2來(lái)波方向變化情況

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于盲源分離的DOA估計(jì)新方法。該方法通過(guò) JADE算法實(shí)現(xiàn)對(duì)陣列流形的估計(jì)，同時(shí)對(duì)其進(jìn)行譜分析實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的DOA估計(jì)。仿真結(jié)果表明，本文方法優(yōu)于經(jīng)典的MUSIC高分辨方位估計(jì)方法，而且在存在相干信號(hào)源時(shí)同樣可以估計(jì)。

[1] 王永良.空間譜估計(jì)理論與算法[M].北京：清華大學(xué)出版社,2004.

[2] Kunihiko Y, Nozomu H. ICA-based Separation and DOA Estimation of Analog Modulated Signals in Multipath Environment[J].IEICE Transactions on Communications,2005,88(11)：4246-4249.

[3] Fotios Talantzis, Anthony G Constantinides,Lazaros C.Polymenakos. Estimation of Direction of Arrival Using Information Theory[J]. IEEE Signal Processing Letters,2005,12(08)：561-564.

[4] Pham D T, Cardoso J. Blind Separation of Instantaneous Mixtures of Nonstationary Sources[J]. IEEE Signal Processing, 2001,49(09)：1837-1848.

[5] Tufts D W, Kumaresan R. Estimation of Frequencies of Multiple Sinusoids： Making Linear Prediction Perform Like Maximum Likelihood[J]. IEEE Proc., 1982, 70(09)：975-989.

[6] 趙祝兵,周杰.基于邊檢測(cè)盲源分離幾何算法研究[J].通信技術(shù),2008,41(11)：4-6.

[7] 楊陽(yáng),李輝,萬(wàn)堅(jiān),等.一種自適應(yīng)盲分離調(diào)頻信號(hào)的方法[J].通信技術(shù),2008, 41(12)：20-22.

[8] Szu H, Noel S, Yim S, et al. Multimedia Authenticity Protection with ICA Watermarking and Digital Bacteria Vaccination[J].Neural Networks,2003, 16(06)：907-914.

[9] 秦拯,易葉青,林亞平.基于JADE算法的魯棒性數(shù)字水印[J].電子學(xué)報(bào),2008,36(06)：1149-1153.

[10] Cardoso J F, Soulomiac A. Blind Beamforming for Non-Gaussian Signals[J]. Proc,Inst.Elec,Eng.,1993,140(06)：362-370.