再析彎折離散傅里葉變換全通函數

羅小東， 舒 勤

0 引言

文獻[1]詳盡分析了彎折離散傅里葉變換在彎折參數為實數時的全通系統函數，論證了在實數情況下，無法實現采樣點隨彎折參數而改變。本文承接其后，運用零極點分解法具體分析了彎折參數為復數情況下的全通函數。

1 彎折離散傅里葉變換基本原理

WDFT[2]實質上是一類特殊的非均勻離散傅里葉變換NDFT（Nonuniform Discrete Fourier Transform），它是利用全通彎折函數AWF(Allpass Warping Function)將單位圓上均勻分布的采樣點，變換成非均勻分布的采樣點，通過選擇適當階次的全通函數[3-4]AWF（Allpass Warping Function）及其彎折參數來達到所希望的非均勻采樣，從而使所選定的重要的頻率范圍內精度提高，不重要的頻率范圍內精度降低，達到不增加采樣數目N便可提高系統分析精度的目的。系統的理論框圖見圖1。

設序列 []xn的長度為N，其Z變換和DFT變換分別為：

圖1 WDFT系統的理論框圖

比較上面二式可得關系式：

考慮M階AWF的形式：

其中 A (z?)是關于 z?-1的M階多項式，A(z?-1)是關于z?的M階多項式。

在z?平面單位圓上的N點等間隔采樣得到WDFT變換：

Xω(z? )在z?平面單位圓上均勻采樣，由于通過全通濾波器所以在z平面單位圓上成為非均勻采樣[5]。

從而全通映射函數為：

當2M=，兩極點12,ρρ互為共軛時，此映射函數與文獻[3]中所提及的實數彎折參數映射函數是一致的。

2 全通函數分析

通過這種全通變換可以將頻率坐標彎折，在?z平面單位圓上均勻分布的點被映射到 z平面單位圓上的非均勻分布點。記。則：

兩邊同取對數有：

從而：

此式表明了頻率彎折前后的角頻率關系。取單極點和多極點分別仿真，結果如圖2、圖3所示（其中單極點為多極點分別為。后文仿真條件相同）。

由仿真圖可以看出：在彎折參數幅角處，彎折曲線斜率較大，表明頻率變化較快。

對式（10）進一步分析有兩邊同微分化簡既得：

對上式進行化簡處理有：因為ri＜1且 ri→1可記為ri=1-εi其中εi＞0且εi→0，則:

故（11）式可化簡為：

圖2 單極點頻率彎折關系圖

圖3 多極點頻率彎折關系圖

對上式單極點和多極點分別仿真有：

對χ進行數學分析有：

① 比較圖4、下頁圖5可得出：對于不同的極點，其采樣間距相互間影響較小，可忽略不計。故在每個極點的幅角處，頻率彎折前后比值最大，表明二者采樣距離差距最大，頻率彎折最為明顯；

③ 有仿真圖6可得出：當極點幅值相同時，在每一個極點幅角處=χ的值基本相同。而在兩個周期內（甚至更多周期），其他頻點處，=χ都沒有達到峰值。表明彎折點?只和各階極點幅角有關，而與他們的組合疊加沒有關系。

圖4 頻率彎折前后采樣距離比（單極點情況）

圖5 頻率彎折前后采樣距離比（多極點情況）

圖6 頻率彎折前后采樣距離比（多極點多周期情況）

3 結語

通過對WDFT全通函數零極點分析，發現對于WDFT全通函數，在每一個極點幅角處，頻率彎折前后，采樣間距比值最大，表明頻率彎折最為明顯，可以實現通過調節彎折參數來改變彎折點的功能。對于高階系統，每一階彎折參數均可實現對彎折點的調節。

[1] 羅小東,舒勤,李廣悅.彎折離散傅里葉變換的全通系統函數分析[J].通信技術,2009,42(07)：290-292.

[2] Cho N 1,Mitra S K. Warped Discrete Cosine Transform and Its Application in Image Compression[J]. IEEE Trans. Circuits Syst. Video Technol, 2000,10(08)：1364-1373.

[3] Markur A, Mitra S K. Warped Discrete Fourier Transform： Theory and Applications[J]. IEEE Trans.2001,48(09)：1086-1093.

[4] Franz S, Mitra S K, Schmidt J C. Warped Discrete Fourier Transform： A New Concept in Digital Signal Processing[C].USA：IEEE, 2002：1205-1208.

[5] Venkataramanan,Prabhu K. Estimation of Frequency Offset Using Warped Discrete-Fourier Transform[J]. Signal Processing,2006(07)：250-256.

[6] 馬晴,舒勤.彎折離散傅里葉變換的研究和應用[D]. 四川：四川大學,2008.