數值水池短峰不規則波模擬研究

馮 光，吳乘勝，鄭文濤，顧 民，朱德祥

（1中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082；2上海市計算技術研究所，上海 200040）

1 引 言

近年來，波浪及船舶運動相關研究領域正呈現出三個重要發展趨勢[1]：從頻域轉向時域、從線性轉向非線性、從勢流轉向粘性。而粘性數值波浪水池正是集這三個發展趨勢于一身，因而具有相當廣闊的應用前景，必將是今后發展的重要方向之一。

開發或構建粘性數值波浪水池無疑是一項復雜的系統工程，但無論如何第一步都要實現數值造波，即波浪環境數值模擬。近年來，研究人員在粘性數值波浪水池方面做了不少研究工作[2-12]，取得了不少令人鼓舞的進展，但在波浪環境模擬方面，多數是針對規則波的，對于長峰（二維）不規則波的模擬不多[4,7,10]，對于短峰不規則波（三維方向波）的模擬更少[4,12]。

真實的海浪環境一般很少是規則波，而是以不規則波為主，并且更接近短峰波。短峰不規則波除了具有不同頻率的組成波以外，還具有不同方向的組成波。因此，短峰波通常也被稱為三維波或方向波（文中如無特別說明，三維波或三維方向波都等同于短峰不規則波），它可以由連續的方向譜來描述。隨著海洋科技的發展，在某些情況下，規則波或長峰不規則波已難以適應要求，其所模擬的海浪與實際海浪存在一定的差別，由此得到的預報結果不能真實反映海洋結構物在實際海浪中的運動情況。因此，有必要進行三維波與海洋結構物相互作用的研究。對于粘性數值波浪水池而言，首要的工作是要進行三維波的模擬。

作者在以前的研究工作中，曾經對長峰不規則波進行過數值模擬[10]，結果與目標值/譜總體上符合較好，但仍有較為明顯的差別。因此，本文首先對長峰不規則波的數值模擬方法進行了改進，并使用改進的方法模擬了不同海況下的長峰不規則波，模擬效果明顯改善，數值模擬結果與目標值/譜相當吻合。在此基礎上，發展了短峰不規則波的數值模擬方法，進行了短峰不規則波模擬，數值模擬結果與特征值/目標譜也相當接近。

2 波浪水池的數學模型

本文使用的數值波浪水池的控制方程和湍流模型，都與文獻[10]中的一樣，其具體形式可參閱相關文獻。

長峰不規則波數值模擬方法的改進主要體現在波浪頻率的選取上。在文獻[10]中，采用的是較為簡單的頻率等分法，而本文使用的是能量等分法。能量等分法中頻率分割不等間距，可以使能量集中的譜峰區分割條塊多，能夠提高模擬精度。

能量等分法要將波能譜面積等分成N個面積相等的條塊。定義譜的累積率為：

將能量等分成N份，則第i個分界頻率ωi′可按下面的公式選取：

由此分界頻率可進一步確定各條塊的中心頻率ωi。長峰不規則波中組成波的波幅為：

其中 Cw（H1/3,）ω ≥1，是為了抑制波浪中的高頻成分過度衰減而乘以的一個系數。

本文長峰不規則波模擬的對象譜（靶譜）S（）ω為ITTC雙參數譜：

其中：H1/3為有義波高，T1是平均周期，ω為波浪圓頻率。

實際的海面呈現的多為短峰不規則波（三維方向波），波浪是多方向的，在時間上和空間上均不規則，即其波浪譜為三維波能譜。三維方向波可以看作是由多個（理論上應為無限多個）頻率不等、方向不同、振幅變化且相位隨機的微幅簡諧波疊加而成的不規則波系。在空間位置（x,y）處，時刻t時的波面高度可表示為：

式中：aij為第i個頻率、第j個方向的成分波的波幅；ωi、ki分別為第i個頻率的成分波的圓頻率和波數；θj是第j個方向的成分波的方向；εij為第i個頻率、第j個方向的成分波的隨機相位角，是［0,2 ］π 區間均勻分布的隨機數。

三維方向波的速度場為：

采用方向譜來描述三維方向波，方向譜密度函數S（ω,）θ與成分波的波幅滿足如下關系式：

方向譜可以分解為頻率譜和方向擴散函數乘積的形式：

其中：D （ω,θ）為方向分布函數，S（ω）為頻譜函數，這里同樣采用ITTC雙參數譜，ω 為頻率，θ為方向角。

因為方向分布函數描述的是波能在平面上不同角度的分布狀態，具有歸一化特征：

本文使用的方向擴散函數為：

其中 D0由（9）式確定，θ0=0°，-π/2<θ<π/2。

本文采用雙疊加法進行三維方向波模擬。空間某點的波面高度可以表示為：

本文數值模擬使用的消波方法也與文獻[10]中的相同。

3 數值計算

無論是長峰不規則波還是短峰不規則波模擬，計算區域都包含消波區，位于計算區域后部或外圍。在計算區域不同位置放置浪高儀，監視這些位置的波面時間歷程。長峰不規則波模擬計算區域范圍參見文獻[10]。

圖1給出了三維方向波模擬計算區域示意圖，圖中虛線箭頭表示主浪向，點劃線之外為消波區。從圖中同樣可以看出消波區水面基本平靜，說明本文的消波方法效果相當好。短峰不規則波模擬計算區域范圍列于表1中。

數值模擬中邊界條件的設置、控制方程的離散與求解都和文獻[10]中的相同。

表1 短峰不規則波模擬計算區域Tab.1 Computational domain for short-crested waves

4 算例描述

對于長峰不規則波數值模擬，以有義波高H1/3=80mm、平均周期T1=1.25s和有義波高H1/3=128mm、平均周期T1=1.50s以及有義波高H1/3=180mm、平均周期T1=1.60s的波浪為對象。數值模擬的長峰不規則波目標參數列于表2中，其中前兩個工況在文獻[10]中也進行過模擬。

對于短峰不規則波數值模擬，目標有義波高H1/3=66mm，平均周期T1=1.26s，主浪向為0°。數值模擬的短峰不規則波目標參數列于表3中。

表2 長峰不規則波模擬目標參數Tab.2 Target parameters for the simulation of long-crested irregular waves

表3 短峰不規則波模擬目標參數Tab.3 Target parameters for the simulation of short-crested irregular wave

5 長峰不規則波模擬結果及分析

圖2自上至下給出了不同海況的長峰不規則波，數值模擬中波浪水池中不同位置的波面時間歷程。從圖中可以看出，數值模擬的長峰不規則波在向下游傳播的過程中，波高有一定衰減，但衰減幅度不大。

取波浪水池中的波面時間歷程，利用FFT進行頻譜分析。水池平均有義波高及平均周期列于表4中。從表中可以看出：不同海況下，數值模擬波浪的水池平均有義波高及平均周期與目標值都相當接近；其中在較高海況下，數值模擬波浪的平均周期與目標值更為接近，而不同海況下有義波高與目標值的差別較為穩定。數值模擬波浪的有義波高較目標值略小而平均周期較目標值較大，這是由于波浪中的高頻成分在傳播過程中有一定衰減造成的。

表4 長峰不規則波有義波高和平均周期Tab.4 Significant wave height and average period of simulated long-crested irregular waves

圖3則自上至下給出了不同海況下，數值模擬長峰不規則波的水池中平均波能譜，圖中同時給出了文獻[10]中模擬波浪的波能譜。從圖中可以看出：本文數值模擬波浪的波能譜與目標譜吻合相當好，只在少數高頻成分略有差別；峰頻位置也十分準確；與文獻[10]相比，本文使用的數值模擬方法效果明顯更好。

綜上所述，本文建立的基于粘流理論的數值造波模型和方法，能夠很好地模擬長峰不規則波，不同海況下數值模擬波浪的水池平均有義波高及平均周期與目標值都符合得很好，水池平均波能譜也與目標譜相當吻合。與文獻[10]的數值模擬結果相比，本文的數值模擬結果顯然與目標譜/值符合得更好。這正說明了本文采用的能量等分法模擬精度更高、效果更好。

6 短峰不規則波模擬結果及分析

短峰不規則波數值模擬中，采用虛擬浪高儀陣列（CERC型）監測波浪，陣列的外接圓半徑為0.6m，浪高儀的布置如圖4所示。數值模擬中，陣列中心浪高儀P0的坐標為（2.0m,2.0m）。

三維方向波的分析方法主要有：直接傅利葉變換法（DFT）、參數法 （PM）、極大似然法 （MLM）、最大熵法（MEM）和貝葉斯方法（BDM）。本文的三維方向波分析，采用貝葉斯方法（BDM），詳細的推導過程可以參考相關文獻[13-14]。通過對浪高儀陣列監測的波浪數據進行譜分析，可以得到有義波高、平均周期、主浪向及方向譜。

圖5給出了浪高儀陣列監測得到的波面時間歷程。以下的數值模擬結果分析都是通過對這些波面時間歷程進行分析得到。

表5給出了數值模擬三維方向波的有義波高、平均周期和主浪向的分析結果，表中同時給出了目標值。從表中可以看出，數值模擬結果與目標值相當接近。數值模擬波浪的有義波高較目標值略小而平均周期較目標值略大，也是由于波浪中的高頻成分在傳播過程中有一定衰減造成的；數值模擬波浪的主浪向誤差-5°左右，略微偏向與之大致平行的造波器，這也是因為波浪傳播過程中高頻成分有一定衰減，導致陣列中靠近造波器的浪高儀監測到的波浪能量稍大于遠離造波器的，使得主浪向產生一定偏差。對照文獻[15]，本文短峰不規則波的數值模擬精度與國內先進的物理水池（CSSRC波浪水池）基本相當。

表5 短峰不規則波有義波高、平均周期和主浪向Tab.5 Significant wave height,average period and main direction of simulated short-crested irregular wave

圖6給出了數值模擬三維方向波的方向譜，圖7則給出了目標方向譜。通過兩圖對比可以看出，與目標方向譜相比，數值模擬波浪的方向譜略為為“尖瘦”，特別是在峰頻附近較為明顯；圖8的數值模擬三維方向波方向譜等值線和圖9的目標方向譜等值線也反映出了這些。這說明雖然數值模擬三維方向波的有義波高、平均周期和主浪向與目標值都相當接近，但在方向譜的細節上與目標譜還是有一定差別，不如長峰不規則波模擬符合得那么好，三維方向波數值模擬的精度還有一定的提高空間。

造成數值模擬三維方向波的方向譜與目標譜存在差別的因素有很多，包括數值模擬時間是否足夠長、頻率和方向角的劃分疏密、波浪數據的分析方法及處理工具等。由于粘性數值波浪水池中三維方向波的模擬極其耗時，難以對所有因素進行全面系統的研究，僅主要對模擬時間長短進行了研究[13]，發現其對結果影響很大：在一定范圍內，模擬時間較長效果較好，代價是計算時間大幅增加。因此，有必要改進三維方向波模擬算法和程序，提高計算效率。

總的來說，使用本文建立的基于粘流理論的數值造波模型和方法，進行的短峰不規則波模擬是成功的，數值模擬波浪的有義波高、平均周期、主浪向和方向譜都與目標值/譜相當接近，波浪的模擬精度與國內先進的物理水池基本相當。

7 結語及建議

綜合本文長峰不規則波和短峰不規則波的數值模擬結果及分析，可以得出以下結論：

（1）本文使用改進的長峰不規則波數值模擬方法，能夠很好地模擬長峰不規則波，不同海況下數值模擬波浪的水池平均有義波高和平均周期與目標值都符合得很好，水池平均波能譜也與目標譜相當吻合；

（2）短峰不規則波的模擬也是成功的，數值模擬波浪的有義波高、平均周期、主浪向和方向譜都與目標值/譜相當接近（只是在方向譜的細節上與目標譜有一定差別），波浪的模擬精度與國內先進的物理水池基本相當。

同時，為提高三維方向波的數值模擬精度和效率，建議進一步開展以下工作：

（1）增加波浪模擬時間，模擬波浪時歷達到200個波左右（以平均周期計算），如果可能，波浪時歷長盡量接近物理水池三維波采集時間（一般遠超過200個波）；

（2）在計算條件允許的情況下，數值計算的網格以及頻率、方向角的劃分盡可能密一些；

（3）上述兩項工作都可以提高模擬精度，但會導致計算時間大幅增加，可能會使代價過于昂貴而無法承受。因此，要使粘性數值波浪水池中三維波方向波模擬實用化，必須改進模擬算法和程序，大幅度提高計算效率。

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