受壓結構穩定性的無損檢測分析方法研究

李范春，杜 玲，劉清風，蘇琳芳

（大連海事大學輪機工程學院，遼寧 大連 116026）

1 引 言

上世紀50年代以來，伴隨著高強度材料的應用，航空、航天與船舶與海洋平臺在世界范圍內得到了更廣泛的應用和飛速的發展，深潛器等海洋載人探測載運工具對結構穩定、可靠性的研究顯得越來越重要。為了保證結構的安全可靠，通常把穩定理論分析結果除以很大的安全系數作為穩定性設計載荷。若用靜態試驗來測定結構或構件的屈曲載荷，由于普通靜態穩定性試驗是破壞性試驗，試驗成本太高，該方法的經濟性受到嚴重影響。

利用結構或構件的振動特性進行失穩監測和預估屈曲荷載的概念可以追溯到20世紀30年代，從20世紀70年代起，以Singer為代表的西方學者，結合航空航天事業的發展，利用振動頻率特性預估屈曲載荷方法對金屬懍條加筋圓柱殼進行了深入的研究，發現在臨界屈曲前高載荷處的頻率急劇下降[1-3]。如何通過非破壞方式，對結構失穩載荷進行識別和確定結構的工作荷載是船舶工程等許多工程領域迫切需要解決的問題。

根據工程應用的需要，本文在研究國內外相關研究工作的基礎上[4]，采用連續介質力學的一般理論，對受預承壓結構的彈性失穩荷載與結構固有頻率的內在聯系進行了研究，通過推導得到了預應力或者初應力與系統固有頻率的關系式，通過實驗給出了擬合曲線。最后，給出了結構失穩荷載、預應力或者初應力和固有基頻之間的關系式。通過實例與實驗結果的比較證實了理論結果的正確性。通過對該關系式的研究可知，該方法可作為無損實驗方法（NDT）和荷載識別的理論依據。

2 基本方程

固體的變形可由位移場表征

它借助于Lagrange坐標Xi及Euler坐標xi給出。對于變形至少有兩種可能的描述，這取決于位移場的空間坐標的選取。

令F≡?x/?X表示位移梯度張量

以 G=F-1≡?X/?x 表示其逆。

由初始狀態到當前狀態的運動將導致物質線素的改變。長度平方的變化應是dX或dx的二次型。

式中：Eij和Aij分別為Lagrange和Euler應變張量的分量形式。Lagrange和Euler應變張量也可寫成如下形式：

其中：J=detF為雅柯比行列式，ρ是密度，ρ0為初始密度。

考慮任意一個面元ds，單位法向向量為n，設其承受接觸力為Tds，這里T為表面的力向量。Tds有以下幾種表示方式：

其中ds0（n0為其法向量）上的切向量dx和ds（n為法向量）上的切向量dx=Fdx0由映射F相聯系。因而有：

這里，σ為Cauchy應力張量，τ為Piola應力張量（或第一Piola-Kirchhoff應力張量），Σ為Kirchhoff應力張量（或第二Piola-Kirchhoff應力張量）。

應用質量守恒定律和動量守恒定律可以得到以不同應力張量表示的運動方程，以Cauchy應力張量表示的運動方程為

以Piola應力張量表示的運動方程為

或寫成分量形式

以Kirchhoff應力張量表示的運動方程為

上式也可以寫成如下的分量形式

3 預應力固體的振動

對于小擾動問題，如果位移與物體的特征長度相比是個小量，而且位移梯度?u/?x或?u/?X是小量，我們可以近似地取 X=x，?/?X=?/?x，因而

這時Lagrange應變張量E與Euler應變張量A與線性化的應變張量ε等同

質量方程（12）式可簡化為

其中tr表示跡。

考察一個帶有預應力或初應力PΣ0（x）的彈性固體，P≥0。其中Σ0是體積力g=0時，對附加位移場u，由Kirchhoff動量方程及Σ=PΣ0+Λ·ε（u），經過推導，可以得到運動方程：

4 穩定性分析的無損實驗方法（NDT）

對于承受預應力或初應力的結構，如果單調增加穩態荷載P而使結構本身不遭到嚴重的危害，直到P=Pc，應用實驗確定在結構尤其是在役結構靜態失穩臨界荷載Pc是非常困難的。是否存在不冒任何結構破壞的風險而能得到臨界荷載的方法呢?給結構施加較小而安全的荷載P

靜態屈曲臨界荷載Pc是以下方程的本征值。

其中，uc是靜力系統解的本征模態。

考慮動態系統（19）、（20）式，為了得到這個系統的本征值問題的解，有多種近似方法可以得到該問題的近似解，這里我們采用Rayleigh法，取靜態近似解

使用Rayleigh法進行近似分析，其目的是為了推導P和ω的近似關系。為此，應用有限元法將解離散化。考察（19）和（20）的變分公式并將離散化的方程寫成如下形式將是十分方便的。

其中，K是剛度矩陣，uc是RN空間中的一個矢量，KΣ是預應力矩陣。以右乘（24）式，可得到如下關系式

與上述方法類似，對（21）式和（22）式應用變分方法，得到如下方程

以（25）式減（26）式得

這就是預應力荷載（或初應力荷載）P與固有圓頻率ω2之間的關系，當ω2=0時，該關系式將給出P=Pc。

5 算 例

為了驗證該方法的正確性，討論梁振動的例子，假設規范量彎曲剛度EI=1，單位長度的質量ρA=1。在長度為π的梁上施加壓載荷P，梁的撓度微分方程為

對于簡支梁邊界條件為

將（30）式代入（28）式得

以P為橫坐標，ω2為縱坐標繪制 （31）式中的P、ω2的關系曲線，如圖1所示。 由于y（x）=sin（x）是（28）式的精確解，故P與ω2的關系是精確的，因而圖1的關系曲線是直線。

對于兩端固支梁的邊界條件為

其固有頻率隨軸壓的變化規律是下例泛函的極值

取近似靜態解uc（x）=1-cos2x，我們得到近似關系

這一關系非常接近精確解（見圖2），但當ω=0時，P=4確是精確解。近似解（34）中的ω2與壓力P為線關系，將（34）式和固支梁的解析數值解繪制成曲線，則見圖2所示。

6 實驗結果

實驗是通過YDL300電液伺服萬能實驗機對試件加載，試件長l=600mm，寬b=30mm，高h=4mm，彈性模量E=2.0×1011Pa。通過激振力錘敲擊和傳感器機數據采集設備的接受，最終完成對固有圓頻率的測量。通過對將兩端簡支梁和兩端固支梁在不同軸壓下的實驗結果進行規范，規范后的實驗數據如表1和表2，將離散點進行直線擬合并繪制成曲線，得到最終如下的實驗曲線。如圖3和圖4所示。

表1 不同軸壓下簡支梁規范后的實驗數據Tab.1 Standardizing experimental datas of simply supported beam under different axial pressures

表2 不同軸壓下固支梁規范后的實驗數據Tab.2 Standardizing experimental datas of beam fixed at both ends under different axial pressures

7 結 論

從圖1至圖4我們可以看出，本文實驗結果完全支持所得理論結果，并且理論曲線與實驗線性擬合曲線吻合得很好。由于簡支梁ω2與壓力P為精確線性關系，固支梁ω2與壓力P為滿足一定精度的近似線性關系，因此，通過考慮兩個相應系統 （P1，ω1）和 （P2，ω2），便可以確定臨界荷載Pc。 通過這一方法我們可以實現確定結構臨界失穩荷載的無損檢測，并實現確定結構工作荷載的實時測量方法。

[1]Singer J.Recent studies on the correlation between vibration and buckling of stiffened cylindrical shells[J].Flight Science and Space Research,1979,3(6):333-343.

[2]Singer J,Prucz J.Influence of initial geometrical imperfections on vibrations of axially compressed stiffened cylindrical shell[J].Journal of Sound and Vibration,1982,(80)1:117-143.

[3]鄧長根,吳建華,甘東華.鋼結構失穩監測方法和失穩監控部件研究[J].建筑科學與工程學報,2006,23(3):21-25.

[4]Bui H D.Introduction aux problèmes inverses en mécanique des matériaux[M].Eyrolles 1993,English translation,CRC Press,1993.