一種基于分數(shù)階傅里葉變換的改進圖像加密算法

崔得龍, 肖 明, 左敬龍

（茂名學(xué)院計算機與電子信息學(xué)院,廣東茂名 525000）

分數(shù)階傅里葉變換（FRFT,Fractional Fourier Transform）作為傳統(tǒng)傅里葉變換的廣義形式,其實質(zhì)是一種統(tǒng)一的時頻變換,與常用二次型時頻分布不同的是它沒有交叉項困擾,且可以理解為chirp基分解,因此,FRFT成為近十多年來信號處理領(lǐng)域的研究熱點之一。目前,FRFT作為一種嶄新的時頻分析工具和旋轉(zhuǎn)算子為信號處理領(lǐng)域的研究人員所廣泛接受,在目標檢測、信息安全和信號處理[1-3]等領(lǐng)域已得到了初步應(yīng)用。

針對目前基于分數(shù)階傅里葉變換圖像加密算法的不足,設(shè)計了一種基于FRFT的改進圖像加密新算法。算法重新設(shè)計了基于FRFT圖像加密算法的流程圖,將經(jīng)過FRFT加密后的圖像再進行置亂加密。理論分析和實驗結(jié)果表明該算法在不增加算法復(fù)雜性的同時,提高了其安全性。

1 分數(shù)階傅里葉變換理論

信號 x（t）的FRFT定義為[4]:

式中:p為FRFT的階,可以為任意實數(shù);α=pπ/2為FRFT的算子符號;Kp（t,u）為FRFT的變換核:

FRFT的逆變換為:

FRFT域也稱為u域,而時域和頻域則可視為FRFT域的特例。

離散形式的分數(shù)階傅里葉變換（DFRFT,Discrete Fractional Fourier T ransform）需通過限定輸入輸出采樣間隔來保持DFRFT變換核的正交性,從而使經(jīng)過正反兩次變換后得到的序列和原序列完全一致[5]。即對FRFT的輸入輸出分別以間隔 Δ t和Δ u進行取樣,當FRFT域的輸出采樣點數(shù)M≥時域采樣點數(shù),并且采樣間隔滿足:

為了簡化計算,通常取M=N,這樣,當α≠Dπ時,上式可以寫成如下矩陣形式:

同樣,逆變換可以寫為:

2 目前算法存在的不足

文獻[6]提出一種基于分數(shù)階傅里葉變換的圖像加密算法,算法將原始圖像乘以隨機相位掩膜后進行2DFRFT變換得到加密圖像。文獻[7]提出一種基于分數(shù)階傅里葉變換的指紋圖像加密算法,算法中使用4次隨機相位掩膜和5次FRFT變換得到加密圖像。目前此類算法的安全性只取決于FRFT階數(shù)和用戶密鑰生成的隨機相位掩膜,所存在的不足主要有:

（1）密鑰空間小。分數(shù)階傅里葉變換的階數(shù)以4[4]為周期,其密鑰空間為103,抵抗窮舉攻擊的能力較差;

（2）加密圖像對密鑰的敏感性較差。以圖1為例進行說明,圖1（a）為FRFT的加密圖像,圖1（b）為錯誤隨機密鑰下恢復(fù)的解密圖像,可見即使在錯誤的隨機相位掩膜下,仍可恢復(fù)原始圖像的部分信息。

（3）加密圖像的系數(shù)分布均勻性差。根據(jù)Walsh圖像置亂程度評價函數(shù),加密圖像的系數(shù)分布越均勻,即加密圖像的Walsh變換能量越集中左上角一點處,圖像加密的效果越好。圖1（c）為利用FRFT加密圖像中心區(qū)域1/4系數(shù)恢復(fù)的原始圖像,圖1（d）為利用FRFT加密圖像中心區(qū)域1/16系數(shù)恢復(fù)的原始圖像。從圖中可見,只利用加密圖像中很少一部分系數(shù)即可恢復(fù)出原始圖像的大部分內(nèi)容,即加密圖像的系數(shù)分布均勻性差。

圖1 FRFT圖像加密算法安全性分析

3 改進的圖像加密算法

針對目前算法存在的不足,設(shè)計了一種基于分數(shù)階傅里葉變換的改進圖像加密新方案。方案的加密/解密流程圖如圖2所示。

圖2 圖像加密/解密流程圖

加密過程描述如下:

（1）將原始圖像I如圖3（a）所示進行FRFT域雙隨機相位加密,即首先將I與隨機相位掩膜MASK1=exp[i2π n（x,y）]相乘后經(jīng)過階為（α1,β1）的分數(shù)階傅里葉變換,得到圖像 I′,然后將再I′與隨機相位掩膜 MASK2=exp[i2π h（x,y）]相乘后經(jīng)過階為（α2,β2）的分數(shù)階傅里葉變換,其中 n（x,y）和h（x,y）為用戶密鑰k1,k2生成的[0,1]范圍內(nèi)均勻分布的隨機數(shù),得到圖像I″;

（2）設(shè)定初始值 x0和參數(shù)μ,利用Logistic混沌映射生成置亂矩陣 T（x,y）,x=0,1,…,M-1;y=0,1,…,N-1,將圖像I″代入下式生成最終加密圖像C,其實部和虛部分別如圖3（b）,（c）所示。

其中t（x,y）為置亂矩陣 T在（x,y）處的元素值。與其它置亂算法相比較,混沌映射具有對參數(shù)敏感以及密鑰空間大等優(yōu)點,其在較少置亂次數(shù)下就能達到很好的置亂效果,與其它置亂算法的比較如表1所示[7]。

解密過程為加密過程的逆過程,為了得到原始圖像I,加密圖像C首先利用置亂矩陣T進行反置亂得到圖像I″,然后經(jīng)過階為（-α2,-β2）的分數(shù)階傅里葉變換后乘以隨機相位掩膜MASK3=exp[-i2π h（x,y）]得到圖像I′,然后再經(jīng)過（-α1,-β1）的分數(shù)階傅里葉變換后乘以隨機相位掩膜 MASK4=exp[-iπ n（x,y）]后得到原始圖像I,如圖4（a）所示,其中 n（x,y）和 h（x,y）的生成與加密過程相同。

圖3 加密圖像示例

表1 各種置亂變換的比較

4 算法分析

圖像加密算法的安全性取決于密鑰空間的大小、加密圖像對密鑰的敏感性及算法的復(fù)雜性,下面逐一進行分析。

（1）密鑰空間

根據(jù)改進的圖像加密方案,加密過程采用的密鑰包括:生成隨機相位掩膜中的參數(shù)k1和k2（設(shè)參數(shù)由10位數(shù)字組成,則密鑰空間數(shù)量級為1010）;FRFT的階α1,2和 β1,2（密鑰空間數(shù)量級為103）;混沌映射中的 x0（密鑰空間數(shù)量級為1015）和μ（密鑰空間數(shù)量級為1013）。因此總密鑰空間達到1060,可見該算法密鑰空間巨大,能夠抵抗非授權(quán)用戶在規(guī)定時間內(nèi)的窮舉攻擊。

（2）加密圖像對密鑰的敏感性

設(shè)定不同的混沌映射初始條件 x0和 μ,其它所有參數(shù)都相同的條件下恢復(fù)的原始圖像如圖4（b）所示;設(shè)定用戶加密密鑰k1=1234567890,解密密鑰k1=1234567891,其它所有參數(shù)都相同的條件下的解密圖像如圖4（c）所示;設(shè)定加密階（α1=1.4149,β1=1.751）,解密階（α1=1.4149,β1=1.761）,其它所有參數(shù)都相同的條件下的解密圖像如圖4（d）所示。從實驗結(jié)果可以看出,密鑰的細微改變都會對解密圖像產(chǎn)生很大影響,即該算法對密鑰是敏感的。

圖4 解密圖像示例

5 結(jié)束語

針對目前基于分數(shù)階傅里葉變換的圖像加密算法中存在的不足,設(shè)計了一種圖像加密改進算法。算法重新設(shè)計了基于FRFT圖像加密算法的流程圖,將原始圖像經(jīng)過雙隨機相位加密后再進行混沌置亂映射。理論分析和模擬實驗結(jié)果表明該方案不僅解決了之前算法存在的不足,而且具有密鑰空間巨大、加密圖像對密鑰敏感等特性,是一種安全、有效的圖像加密方案。

[1] Sun Hongbo,Liu Guosui,Gu Hong.Application of fractional fourier trans form to moving target detection in airborne SAR[J].IEEE Transaction Onaero space and Electronic Systems,2002,38（3）:1416-1424.

[2] Igor Djurovic.Srdjan Stankovic Bannis Pitas.Digital watermarking in the fractional Fourier transformation domain[J].Journal of Network and Computer Applications,2001,24:167-173.

[3] SooChang Pei,JianJiun Ding.Relations between fractional operations and time-frequency distributions and their application[J].IEEE Trans,2001,49（8）:1638-1655.

[4] 陶然,齊林,王越.分數(shù)階Fourier變換的原理與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.

[5] Soo-Chang Pei,Jian-Jiun Ding.Closed-form discrete fraction and affine Fourier transforms[J],IEEE Transon Signal Processing,2000,48（5）:1338-1353.

[6] 張兆祥,田沛.基于分數(shù)階傅立葉變換的圖像加密研究[J],儀器儀表用戶,2007,14（5）:87-88.

[7] 劉家勝.基于混沌的圖像加密技術(shù)研究[D].合肥:安徽大學(xué),2007.