基于投影尋蹤的集對分析模型及其在地下水質評價中的應用

李 陶，付 強，丁 紅

（東北農業大學水利與建筑學院，哈爾濱 150030）

近年來，由于流域沒有統一的水資源開發利用規劃，致使地表水的利用各自為政，出現地下水嚴重超采引起的地下水水位下降、地下水降落漏斗形成、地面沉降、地面塌陷、水質惡化等水環境問題[1]。地下水水質評價是地下水資源評價的一項重要內容，根據地下水的主要物質成份和相應的水質標準，分析地下水水質的時空分布狀況和可用程度，為地下水資源的開發利用、規劃和管理提供科學依據。目前水質評價數學模型很多，肖紅提出灰色聚類法在許昌市中淺層地下水質評價中的應用，取得了滿意結果[2]；任傳棟等提出加權優序法在地下水質評價中的應用，是一種簡單實用的多指標決策方法[3]；彭小金等提出模糊綜合評價在地下水質評價中的應用[4]，是以模糊推理為主的定性與定量相結合、精確與非精確相統一的評判方法。

但是這些傳統方法并沒有很好地解決評價因子與水質等級間復雜的非線性關系，評價過程中的效用函數、權重[5-7]需要人為設計，限制了評價模式的通用性，也影響了結果的可靠性。近30年來我國興起的集對分析（Set Pair Analysis，SPA）新技術，是一種的處理模糊和不確定問題的系統理論方法，運用同異反表達式可解決各種模糊不確定問題。本文根據地下水質評價的具體情況，提出運用基于實數編碼（Real Coding Based Accelerating Genetic Algorithm，RAGA）的投影尋蹤模型[8]（Projecting Pursuit Classification，RAGA-PP）計算權重，從而可以克服主觀權重的影響，并合結指標劃分更為細致的改進型集對分析模型，形成基于投影尋蹤的改進型集對分析模型（RAGAPP-SPA），可以更好的處理復雜的非線性評價問題。

1 集對分析基本理論[9-11]

集對分析（Set Pair Analysis，SPA）是我國學者趙克勤1989年提出的一種用聯系度統一處理模糊、隨機、中介和信息不完全所致不確定性的系統理論和方法，其特點是把不確定性與確定性作為一個既確定又不確定的同異反系統進行分析和數學處理。集對分析的表達式為：

其中，N是集對所具有的特性總數；S為集對中的2個集合共同具有的特性數；P為集對中2個集合相互對立的特性數；F＝N－S－P是集對中2個集合既不共同具有，也不相互對立的特性數。其中a為同一度；b為差異度；c為對立度。i為差異系數，取值于[-1,1]。j為對立系數，規定取值為-1。

2 基于投影尋蹤的改進型集對分析水質評價模型(RA G A PP-SPA)

2.1 投影尋蹤方法確定指標權重[12]

投影尋蹤模型，即把高維數據樣本通過某種組合投影到低維子空間中，對于投影得到的構形，采用投影指標函數（目標函數）來衡量投影暴露某種分類結構的可能性大小，尋找出使投影指標函數達到最優（即能反映高維數據結構或特征）的投影方向，最佳投影方向的各分量既是指標權重，所以每個指標的權重是各個投影方向值占總投影方向值的比重。即：

式中，a（j）為指標投影方向。

2.2 差異度系數和聯系度的確定[13-14]

以水質Ⅰ級標準為例，推導差異度系數和聯系度，其余情況可類似得到。將待評價樣本和水質標準看成一個集對，在水質Ⅰ級時，水質標準可分為三個區間：[0,Sr（1）]、[Sr（1）,Sr（2）]、[Sr（2）,+∞]。水質因子i的實測值x為采樣數據，采樣數據的個數可視為集對的特性總數，對處于某一個檢測點的某一個水質因子而言，采樣數據為1，因此特性總數為1，所以當x∈[0,Sr（1）]時，μ=1/1+（0/1）i+（0/1）j=1；當x∈[Sr（2）,+∞]時，μ=0/1+（0/1）i+（0/1）j=1；當x∈[Sr（1）,Sr（2）]時，就需要考慮差異度系數 i的取值，而從 Sr（2）→Sr（1）的過程也是從-1→1 的過程，取[Sr（1）,Sr（2）]的中點（Sr（1）,Sr（2））/2 相當于 i=0 這一點，則i=1-（x-Sr（1））/（（Sr（2）-Sr（1））/2）=1+2（x-Sr（1））/（（Sr（1）-Sr（2））/2），因此 μ=0/1+（1/1）i+（0/1）j=1+2（x-Sr（1））/（（Sr（2）-Sr（1））。

針對許多集對分析評價模型，當水質處于V級是，超V級的數據雖然屬于臨級，由于沒有Ⅵ級的指標，無法確定其聯系度，將其歸為相隔。本文將集對分析評價方法稍加改進，設Ⅵ級的指標值為2Sr（5）-Sr（4），則當x∈[Sr（5）,2Sr（5）-Sr（4）]時，可以認為樣本值處于V～Ⅵ之間，μ=1+2（x-Sr（5））/（2Sr（4）-Sr（5））。這樣就可以集對分析模型分級處理更加完整，評價結果也就更加準確。水質評價集對分析模型方法如下：

Sr（0），水質因子j處于Ⅰ級時：

水質因子處于Ⅱ級時：

水質因子j處于Ⅲ級時：

水質因子處于Ⅳ級時：

水質因子j處于V級時：

水質因子j處于超V級時：

式中，Si(0)為各污染因子Ⅰ級評價標準的下限；Si(1)～Si(5)分別為各污染因子評價級別的限值；x為污染因子的實測指標值；μj1～μj6分別為各監測點污染因子對各評價標準的聯系度。

2.3 水質級別的確定

由上述方法求得水質因子聯系度后，由下式計算加權聯系度：

式中μi，表示五種水質因子對于第i個級別的加權聯系度，若 μt=max{μi}，1≤i≤m，t∈[1，2，…，m]，則水質評價結果判為t級。

3 水質評價實例

3.1 投影尋蹤權重

本文借用文獻[15]的數據，利用RAGA-PP模型對13種不同樣號的水質進行處理。選定指標為7 個，即三價鐵（mg·L-1）、氯化物（mg·L-1）、硫酸根（mg·L-1）、氟（mg·L-1）、硬度（H0）、礦化度（mg·L-1）及 COD（mg·L-1）。對數據建立 pp模型。得出最佳投影方向 α*=（0.1854，0.4332，0.4756，0.1251，0.2268，0.6962，0.0090），得出權重并與比值權重和改進的層次分析法得到的權重對比，如表1所示。

由表1可見，投影尋蹤算得的權重，由于算法的不同，與比值法和改進的層次分析法存在著一些差異，但基本符合樣本數據的權重規律。

3.2 基于投影尋蹤的改進型集對分析水質評價實例

淮北礦業集團渦北井田將進入建井開采進程，因此未來礦區的供水、水源保護等均與地下水的水質優劣密切相關，本次利用基于投影尋蹤的集對分析模型對礦區各含水層水質進行綜合評價，為礦區地下水資源管理提供依據。水質分級標準如表2所示。

根據式（3）～（8）的計算步驟對文獻[15]數據和表2分級標準進行集對分析，并結合式（9）得出加權集對分析結果，見表3。

表1 投影尋蹤確定權重與其他方法對比Table1 Projection pursuit of weight compared with other methods

表2 地下水水質分級標準表Table2 Groundwater quality grading standards

表3 渦北井田加權集對分析水質評價結果Table3 Wobei minefield water quality evaluation results with weighted to Set Pair Analysis

由表3可以看出，樣號1～5的地下水質等級為優，樣號6、7的地下水質等級為較好，需要當地相應職能部門加強管理，繼續保持這樣的勢態；而樣號8～10的地下水質等級為極差，樣號11的地下水質等級為超差，樣號12、13的地下水質等級為較差，需要加強地下水方面的技術建設，提高地下水科學管理和保護的能力，并增強對地下水水質的重要性和水質污染嚴重后果的認識。

4 評價結果及對照分析

將基于投影尋蹤的改進型集對分析模型（SPA）與人工神經網絡模型（BP）、灰色模型（GM）的結果做比較。如表4所示，集對分析法的評價結果與其他兩種評價方法的結果基本吻合，樣本5由于過多的指標在1級，導致聯系度的偏向優的評價結果。而樣本11則是其他兩種方法，在指標分級上沒有全面考慮到超V級的歸屬。樣本13由于指標權重的分配使結果和其他兩種方法稍有差別，但基本符合實際情況。用[J].水科學與工程技術,2008(5):52-54.

表4 評價結果比較Table4 Comparison of evaluation results

5 結論

通過基于投影尋蹤的改進型集對分析模型對渦北井田地下水進行綜合評價，得出以下結論：

a.運用投影尋蹤模型計算指標權重，是一種客觀計算權重的方法，避免了主觀因素的影響，在實際的應用中得到了滿意的結果，并與其他方法比較，證明利用最佳投影方向可以科學地確定各評價指標的權重。

b.通過完善V級相鄰級別聯系度為-1的不足，假設Ⅵ級的指標值為 2Si(5)－Si(4)，當 x∈[Si(5)，2Si(5)－Si(4)]時，得出μ＝1＋2（x－Si(5)）/（Si(5)－（2Si(5)－Si(4)））＝1＋2（x－Si(5)）/（2Si(4)－Si(5)）。改進的集對分析模型在對樣本7、8、9、11 數據評價時，出現了 x∈[Si(5)，2Si(5)－Si(4)]情況，結果表明改進的集對分析能夠使結果趨于準確化。

c.經過實例計算，改進后的模型概念清晰，評價結果直觀、準確可靠，信息利用率高，為水質評價提供了一種新的方法。

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