重力場(chǎng)中理想氣體密度分布的Monte Carlo模擬

王 超,周艷麗,陳英才

(臺(tái)州學(xué)院物理系,浙江臺(tái)州318000)

重力場(chǎng)中理想氣體密度分布的Monte Carlo模擬

王 超,周艷麗,陳英才

(臺(tái)州學(xué)院物理系,浙江臺(tái)州318000)

利用Monte Carlo方法模擬了重力場(chǎng)中理想氣體的密度分布,直觀展現(xiàn)了重力場(chǎng)中氣體分子位置的改變和分布特點(diǎn),討論了分子質(zhì)量和系統(tǒng)溫度對(duì)氣體密度分布曲線以及重力勢(shì)能零點(diǎn)處密度n0的影響.模擬結(jié)果與玻耳茲曼分布律完全吻合.另外,模擬結(jié)果表明玻耳茲曼分布律不僅對(duì)純的理想氣體成立,而且對(duì)混合理想氣體中各成分氣體也成立.

理想氣體;密度分布;玻耳茲曼分布;Monte Carlo模擬

1 引 言

氣體分子運(yùn)動(dòng)論是大學(xué)物理熱學(xué)部分的重要知識(shí),其中涉及玻耳茲曼分布律.考慮到玻耳茲曼分布律難于用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,很多學(xué)校在講授時(shí)常采用純粹的數(shù)學(xué)推導(dǎo),這明顯不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握.為此,我們利用Monte Carlo方法[1-2]在計(jì)算機(jī)上對(duì)重力場(chǎng)中理想氣體系統(tǒng)進(jìn)行模擬,直觀展現(xiàn)氣體分子空間分布圖像,驗(yàn)證玻耳茲曼分布律.計(jì)算機(jī)模擬在現(xiàn)代教學(xué)過程中發(fā)揮著日益重要的作用[3-5],通過模擬可以幫助學(xué)生增加對(duì)所學(xué)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí),鞏固所學(xué)理論.

在重力場(chǎng)中,理想氣體系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí),分子分布會(huì)呈現(xiàn)上疏下密的特征.結(jié)合理想氣體狀態(tài)方程和氣柱模型[6-7],可以推出重力場(chǎng)中理想氣體分子數(shù)密度n隨高度h的變化規(guī)律,即玻耳茲曼分布律:

其中m為氣體分子的質(zhì)量,g為重力加速度,kB為玻耳茲曼常量,T為系統(tǒng)溫度,n0為高度h=0 (零重力勢(shì)能)處分子數(shù)密度.n0與分子質(zhì)量和系統(tǒng)溫度都有關(guān).假定h=0處的壓強(qiáng)為p0,則由理想氣體狀態(tài)方程可得p0=n0kBT;若氣柱的底面積為A,氣柱內(nèi)的分子數(shù)目為N,則p0又可表示

2 模型的建立及模擬方法

對(duì)于理想氣體系統(tǒng)而言,分子之間大量的隨機(jī)碰撞使系統(tǒng)平衡時(shí)分子具有特定的速度和數(shù)密度分布.考慮到分子速度分布和數(shù)密度分布是相互獨(dú)立的[6-7],因此可以撇開分子速度來(lái)討論分子的密度分布.分子之間的碰撞使分子空間位置的改變出現(xiàn)隨機(jī)性和無(wú)規(guī)性,因此在模擬中可用分子位置的隨機(jī)改變來(lái)描述分子之間的碰撞.重力場(chǎng)的加入使得分子選擇重力勢(shì)能小的位置的概率增大,選擇重力勢(shì)能大的位置的概率減小.在模擬中用Metropolis算法[1]來(lái)刻畫重力場(chǎng)對(duì)分子位置選擇概率的改變.另外,分子間的碰撞還反映了分子之間的不可侵入性,因此在模擬中采用排除體積作用來(lái)描述分子之間的相互作用,即2個(gè)或多個(gè)分子不能同時(shí)占據(jù)空間同一位置.具體的模型、模擬方法如下:

模型系統(tǒng)建立在二維正方格子點(diǎn)陣上(格子常量為a),重力加速度方向沿z軸負(fù)方向,如圖1所示.模擬區(qū)域在x和z方向的尺寸分別為L(zhǎng)和H+1.在z方向選取2個(gè)邊界z=-1和z=H,而在x方向上采用周期性邊界條件.理想氣體分子只能分布在高度z=-1到z=H區(qū)域內(nèi).氣體分子用質(zhì)點(diǎn)代替,每個(gè)分子只能占據(jù)1個(gè)格點(diǎn),分子與分子或分子與邊界不能同時(shí)共用1個(gè)格點(diǎn)(排除體積作用).假定每個(gè)分子的質(zhì)量為m,并選取z=0處重力勢(shì)能為零,那么處在高度z上的分子重力勢(shì)能可表示為E=mgz.

圖1 模型系統(tǒng)示意圖

在模擬中,分子的位置改變是通過分子嘗試運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的:假定氣體系統(tǒng)共有N個(gè)分子,對(duì)于每次嘗試運(yùn)動(dòng),先隨機(jī)選擇1個(gè)分子,然后再隨機(jī)選擇該分子周圍8個(gè)近鄰格點(diǎn)中的1個(gè)格點(diǎn)作為其新位置.假定新位置沒有被其他分子占據(jù),那么根據(jù)Metropolis算法[1]該嘗試運(yùn)動(dòng)成功的概率為min(1,e-ΔE/kBT),其中ΔE代表分子嘗試運(yùn)動(dòng)所伴隨的重力勢(shì)能的增加量.定義1個(gè)Monte Carlo步長(zhǎng)為時(shí)間單位,在1個(gè)Monte Carlo步長(zhǎng)內(nèi)共有N次分子嘗試運(yùn)動(dòng).當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)過一定時(shí)間演化達(dá)到平衡后,便終止抽樣模擬并對(duì)模擬空間每一高度(z)上的分子數(shù)目(NI)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),進(jìn)而計(jì)算得到每一高度上的分子數(shù)密度n(z)=NI/L.本文所給出的結(jié)果都由200次獨(dú)立抽樣模擬平均得到.

本文分別選取正方格子常量a、溫度T0= 300 K和氫原子質(zhì)量m0=1.67×10-27kg為長(zhǎng)度、溫度和質(zhì)量單位,并用z,T＊和m＊表示高度、溫度和質(zhì)量.假定格子常量a=100 m,同時(shí)取重力加速度g=10 m/s2、玻耳茲曼常量kB=1.38× 10-23J/K,則式(1)可作如下變換:其中無(wú)量綱常數(shù)C=4.0×10-4.選擇模擬區(qū)域尺寸L=1 000,H=499.如果不做特別說(shuō)明,模擬區(qū)域的理想氣體分子數(shù)目均為N=1 000.

3 模擬結(jié)果及討論

首先模擬了溫度T＊=1.000時(shí)氧氣分子的空間分布.在無(wú)重力情形下,模擬區(qū)域內(nèi)的每個(gè)分子向各個(gè)位置運(yùn)動(dòng)具有相同的概率,因此系統(tǒng)平衡時(shí)分子在模擬區(qū)域內(nèi)呈均勻分布,如圖2所示.這與實(shí)際氣體系統(tǒng)在無(wú)重力條件下分子空間分布特點(diǎn)相一致.

圖2 無(wú)重力時(shí)氧氣分子的空間平衡分布

加入重力場(chǎng)后,分子向重力勢(shì)能減小方向運(yùn)動(dòng)的概率增大,而向勢(shì)能增大方向運(yùn)動(dòng)的概率減小,原來(lái)的均勻分布平衡被破壞.經(jīng)過一定時(shí)間的演化,體系將達(dá)到新的平衡,分子的空間位置也將出現(xiàn)新的分布.圖3給出了加入重力場(chǎng)后模擬區(qū)域內(nèi)幾個(gè)高度上的氧氣分子數(shù)目隨時(shí)間的演化(t=0對(duì)應(yīng)剛加入重力場(chǎng)),其中虛線對(duì)應(yīng)無(wú)重力場(chǎng)時(shí)各高度上的平均分子數(shù).由圖3可以看出,加入重力場(chǎng)后,模擬區(qū)域下部(z值小)各高度上分子數(shù)不斷增加,而上部(z值大)各高度分子數(shù)不斷減小.隨著下部分子數(shù)增多,分子之間的排除體積作用越來(lái)越強(qiáng).當(dāng)重力與分子之間的排除體積作用相平衡時(shí),各高度上的分子數(shù)達(dá)到飽和,系統(tǒng)也達(dá)到新的平衡,在整個(gè)模擬區(qū)域氧氣分子形成了上疏下密的空間分布,如圖4所示.系統(tǒng)達(dá)到平衡并不意味各高度上的分子數(shù)目恒定不變.由圖3還可以看出,各高度上的分子數(shù)達(dá)到飽和后,分子數(shù)仍存在一定的漲落,這說(shuō)明氣體系統(tǒng)的平衡是一種動(dòng)態(tài)平衡.為了進(jìn)一步說(shuō)明這一點(diǎn),當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí),隨機(jī)選擇1個(gè)氧氣分子,記錄其高度隨時(shí)間的演化,如圖5所示.由圖5可以看出,即便整個(gè)體系處于平衡,但就每個(gè)分子而言其高度仍可在很大的范圍內(nèi)變化,只不過分子處在低位置的概率要比高位置的大.當(dāng)溫度T＊=1.000時(shí),由式(3)可以得到氧氣(m＊=32)的密度隨高度的變化關(guān)系:n/n0= exp(-0.012 8z).圖6給出了氧氣分子數(shù)密度分布的模擬結(jié)果,其中曲線是由上述理論公式得到的結(jié)果.由圖6可以看出,模擬結(jié)果與理論曲線幾乎完全吻合.

圖3 不同高度上分子數(shù)目隨時(shí)間的演化

圖4 有重力時(shí)氧氣分子的空間平衡分布

圖5 平衡態(tài)下氧氣分子的高度隨時(shí)間的演化

由式(1)可以看出分子質(zhì)量以及系統(tǒng)溫度都會(huì)對(duì)氣體密度分布產(chǎn)生影響.為了驗(yàn)證這一問題,分別模擬了相同分子數(shù)(N=1 000)的氧氣(O2)、二氧化碳(CO2)和二氧化硫(SO2)3種氣體在一定溫度下的密度分布,同時(shí)模擬了一定分子數(shù)(N=1 000)的氧氣(O2)在不同溫度下的密度分布,圖7和圖8分別給出了對(duì)應(yīng)的模擬結(jié)果.可以直觀看到:質(zhì)量和溫度都會(huì)對(duì)密度分布圖線的陡峭程度產(chǎn)生影響.分子質(zhì)量越大,密度分布圖線越陡峭;系統(tǒng)溫度越高,密度分布圖線越平緩.處在重力場(chǎng)中的氣體分子一方面做無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng),一方面受重力作用.質(zhì)量越大,分子受到的重力越大,向下運(yùn)動(dòng)的概率就越大,從而使模擬區(qū)域下部的分子數(shù)越多,密度分布曲線越陡峭;溫度越高,分子的熱運(yùn)動(dòng)就越劇烈,克服重力作用而達(dá)到模擬區(qū)域上部的分子數(shù)目也就越多,從而使得密度分布曲線越平緩.

圖7 不同質(zhì)量的氣體分子的密度分布圖線

圖6 氧氣分子的密度分布圖線

圖8 不同溫度下氧氣分子的密度分布圖線

由圖7和圖8容易看出,質(zhì)量和溫度不僅會(huì)對(duì)密度分布圖線的陡峭程度產(chǎn)生影響,而且對(duì)n0也有影響.質(zhì)量越大,處在z=0高度的分子越多,n0就越大;溫度越高,處在z=0高度的分子越少,n0就越小.式(2)表明n0與質(zhì)量成正比,與溫度成反比.為了驗(yàn)證這一關(guān)系,我們分別模擬研究了n0隨m＊以及T＊的變化,如圖9和圖10所示.由圖可以看出,隨著分子質(zhì)量(m＊)增大或溫度(T＊)減小,n0不斷增大.另外,由模擬結(jié)果可以直觀得到:n0∝m＊,n0∝1/T＊,這就很好地驗(yàn)證了式(2).

圖9 lgn0與lgm＊的關(guān)系

圖10 lgn0與lgT＊的關(guān)系

上面討論了純的理想氣體在重力場(chǎng)中的密度分布.很明顯,模擬不僅直觀展現(xiàn)了氣體分子位置改變和分布特點(diǎn),而且定量驗(yàn)證了玻耳茲曼分布律.接下來(lái)模擬研究混合理想氣體在重力場(chǎng)中的密度分布.在實(shí)際模擬中,同時(shí)將氧氣(O2)、二氧化碳(CO2)和二氧化硫(SO2)3種氣體各1 000個(gè)分子放入模擬區(qū)域,考查溫度T＊=1.000時(shí)各種成分氣體以及混合氣體平衡態(tài)分子密度分布,模擬結(jié)果如圖11所示,其中插圖代表混合氣體總的分子數(shù)密度分布.由圖可以看出:當(dāng)系統(tǒng)處于平衡時(shí),混合氣體和各種成分氣體分子數(shù)密度分布都保持上疏下密的特點(diǎn),這說(shuō)明在重力場(chǎng)中不管是純的氣體還是混合氣體,氣體分子都會(huì)向重力勢(shì)能小的地方聚集.另外,通過對(duì)比圖11和圖3發(fā)現(xiàn)混合氣體中各成分氣體分子數(shù)密度分布與對(duì)應(yīng)的純氣體分子數(shù)密度分布幾乎完全相同,這說(shuō)明玻耳茲曼分布關(guān)系不僅適用于重力場(chǎng)中純的理想氣體,而且適用于混合氣體中各成分氣體.

圖11 混合氣體中各成分氣體密度分布圖線(插圖為混合氣體總的密度分布圖線)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文用Monte Carlo方法模擬了重力場(chǎng)中理想氣體的密度分布.模擬直觀展現(xiàn)了重力場(chǎng)中氣體分子位置的演化,揭示了氣體分子位置的改變和分布特點(diǎn).模擬得到的氣體密度分布曲線與玻耳茲曼分布律完全一致.模擬結(jié)果表明,分子質(zhì)量(m＊)和系統(tǒng)溫度(T＊)對(duì)分子密度分布產(chǎn)生重要影響,m＊和T＊不僅影響分布曲線的陡峭程度而且影響重力勢(shì)能零點(diǎn)處分子密度n0的大小. n0與分子質(zhì)量成正比,與溫度成反比.模擬結(jié)果與理論結(jié)果描述的關(guān)系完全吻合.另外,我們還討論了混合理想氣體密度分布,模擬結(jié)果顯示混合氣體中各成分氣體的密度分布與純的理想氣體的密度分布相一致,這說(shuō)明玻耳茲曼分布律不僅對(duì)純的理想氣體成立,而且對(duì)混合理想氣體中各成分氣體也成立.

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Monte Carlo simulation of density distribution of ideal gas in gravity field

WANG Chao,ZHOU Yan-li,CHEN Ying-cai
(Department of Physics,Taizhou University,Taizhou 318000,China)

The density distribution of ideal gas in gravity field is simulated using the Monte Carlo method.The characteristics of the moving process and distribution of ideal gas molecules in gravity field are displayed.The influence of molecule mass and system temperature on the density distribution and the densityn0at the position where the gravity potential energy is defined zero are discussed.The simulation results are in good agreement with the Boltzmann distribution.In addition,the simulation results indicate that the Boltzmann distribution hold true not only for pure ideal gas,but also for each component in mixed ideal gas.

ideal gas;density distribution;Boltzmann distribution;Monte Carlo simulation

O4-39;O552.3

A

1005-4642(2010)10-0024-05

[責(zé)任編輯:郭 偉]

2009-12-28;修改日期:2010-04-05

王 超(1981-),男,河南南陽(yáng)人,臺(tái)州學(xué)院物理系講師,碩士,主要從事物理教學(xué)及高分子模擬研究工作.