Duffing單邊碰撞系統的顫振分岔＊

馮進鈐 徐 偉 牛玉俊

1)(西北工業大學理學院應用數學系,西安 710072)

2)(西安工程大學理學院,西安 170048)

Duffing單邊碰撞系統的顫振分岔＊

馮進鈐1)2)?徐 偉1)牛玉俊1)

1)(西北工業大學理學院應用數學系,西安 710072)

2)(西安工程大學理學院,西安 170048)

(2009年3月27日收到;2009年4月26日收到修改稿)

針對碰撞系統中常見的顫振導致的彗尾碰撞問題,引入了彗尾映射的概念,提出了一種有效的研究碰撞系統中顫振現象的數值方法.并以典型的Duffing單邊碰撞系統為例,研究了系統中的完全顫振和不完全顫振現象,同時分析了系統的顫振分岔.

Duffing碰撞系統,彗尾映射,顫振分岔

PACC:0547

1.引言

非光滑動力系統作為動力學的一個分支,廣泛的存在于多個科學領域.近年來,關于非光滑系統動力學的研究引起了大量學者的關注[1—4].早期, Shaw,Holmes[5]研究了一個周期激勵的線性碰撞系統的混沌.隨后非光滑系統的研究掀起了一股熱潮,也取得了許多的成果,主要包括Brogliato[6], Kunze[7],Leine和Nijmeijer[8],金棟平和胡海巖[9], Bernardo等[10]專著.

非光滑系統中通常存在擦邊和顫振這兩種新穎的動力學特性,使得非光滑系統呈現出許多光滑系統中所沒有的復雜動力學行為,主要有非光滑分岔[11],碰撞系統中的顫振動力學[12].Alzate[13]分析了一個齒輪裝置的顫振現象.本文以一般的碰撞系統為模型,通過引入一個彗尾映射,有效的近似完全顫振中產生的彗尾碰撞.并以一個典型的Duffing單邊碰撞系統為例,分析了該系統中的兩類顫振分岔及其發生的機理.

2.彗尾映射

考慮一般的碰撞系統,其系統自由運動方程如下:

這里下標“-”和“+”分別表示碰撞前后時刻.映射R表示碰撞法則,通?？梢员硎緸?/p>

為了描述方便,引入約束面如下:

設自由運動時系統(1)第一式的軌線流為Φ(x,t),則系統軌線沿約束面Σ法線方向的速度和加速度分別為

在一定條件下,系統(1)除了自由運動和高速碰撞外,還可能緊貼約束面Σ,產生黏滑運動.由文獻[10],定義黏滑面如下:

當x∈ΣS時,對應的黏滑運動方程為

事實上,黏滑運動與系統的顫振有著緊密的關系.顫振通常包括完全顫振和不完全顫振.所謂完全顫振表示在有限時間間隔內系統發生了無窮次的碰撞;不完全顫振表示有限時間間隔內系統發生N(N為一個很大的有限數)次碰撞.

文獻[13]告訴我們,系統黏滑運動通常經歷一個從完全顫振到黏滑,再到逃離黏滑面的過程,完全顫振的結束點即為黏滑運動的開始點.對于完全顫振,從無窮次的碰撞到完全碰撞結束的過程中會產生所謂的“彗尾”碰撞,占用大量的計算資源.為了避免這種彗尾碰撞問題,我們引入一個彗尾映射.首先,我們定義一個完全顫振子空間

如圖1,取完全顫振子空間中的初始點x0∈ΣC,先經過碰撞映射R(x)到達x01,再自由運動到下一個碰撞點x1,如此無窮次碰撞后,最終到達完全顫振的結束點x＊,其滿足

我們定義彗尾映射為S,

令

由于0<ε?1,利用冪級數的展開,我們得到

其中T表示系統從狀態x01運動到狀態x1的時間.在完全顫振子空間中,系統從狀態x01到狀態x1的過程中,系統的法向速度必在某xv處改變符號,從而

得到近似時間

代入(9),(10)式,同時利用x01=R(x0),整理得到

圖1 彗尾映射示意圖

進一步,(12),(13)式可改寫為

其中

考慮到

由(14)式遞推整理得

由線性代數知識,矩陣D0的特征值為1和r,存在相似變換矩陣P,使得

進而得到

將(17)式代入(15)式,整理得

在(19)式中,我們定義一階修正項為

3.Duffing單邊碰撞系統的顫振分析

考察一個典型的Duffing單邊碰撞系統,系統描述如下:

令x=(x1,x2,x3),對比(1)式有

對應的法向速度和加速度分別為

當固定系統參數α1=-1,α2=1,β=0.2,f= 1.5,ω=0.2,Δ=1,r=0.8,完全顫振子空間(7)式中取ε=10-8,初始條件為(0.8,-0.2,0)T,圖2(a)表示P(∞,1)運動(這里符號P(m,n)表示n個周期中發生m次碰撞),時間歷程圖(圖2(b))給出了從完全顫振到黏滑的過程,圖2(b)的局部放大(圖2 (c),(d))呈現了完全顫振中的彗尾映射S:xC→xS1.其中彗尾開始點為

圖2 系統(22)式的完全顫振到黏滑運動的彗尾映射 (a)相圖(符號■表示Poincaré映射點);(b)時間歷程圖(實線為x2關于t變化曲線,虛線為x1關于t變化曲線,xS1和xS2分別表示黏滑開始點和結束點);(c),(d)為(b)的局部放大(對應(19)式中x0=xC,x＊=xS1)

由(19)—(21)式求得完全顫振結束點(即為黏滑開始點)為

彗尾時間和修正項分別為

t＊=7.18×10-10,

可見,彗尾映射不僅保證了較高的數值精度,同時有效地避免了數值計算中的“彗尾”問題.

3.1.完全顫振到不完全顫振分岔

圖3 頻閃分岔圖 (a)x1隨r變化;(b)x2隨r變化

當系統的其他參數與圖2一樣,考察恢復系數對系統的顫振的影響.圖3給出了系統狀態關于恢復系數r的頻閃分岔圖.從圖3可以看到,當r

從系統的時間歷程圖來看,當r=0.873

圖4 時間歷程圖 (a)r=0.873;(b)r=0.874

為了更清晰的呈現這種分岔現象,圖5給出了黏滑時間τ(圖2中狀態xS1到狀態xS2的時間)關于分岔參數r的變化圖.當r

圖5 黏滑時間關于恢復系數r的變化圖

3.2.不完全顫振中擦邊誘導的周期運動到擬周期運動的分岔

從圖3,我們看到,當增大恢復系數到r>rⅠ時,系統表現為不完全顫振的周期1運動.但是,其Poincare映射不動點不再隨分岔參數r連續的變化,而是呈現出間斷的不連續性.隨著參數r的繼續增大,系統出現了逐漸增大的具有自相似結構的不連續窗口,在這些不連續窗口中,我們可以清楚地看到從周期1運動突然變為擬周期運動的分岔現象.為了分析這種突然的躍遷,我們選擇圖3中rⅡ≈0.89210附近進行研究.當參數r=0.89209

圖6 Poincare截面圖和時間歷程圖 (a)r=0.89209,Poincare截面圖;(b)r=0.89209,時間歷程圖;(c)r=0.89210,Poincare截面圖;(d)r=0.89210,時間歷程圖

圖7 最小碰撞時間間隔與參數r的關系

為了更進一步研究圖3中出現的逐步增大的結構,我們給出了每兩次碰撞之間的最小時間間隔Δ τ關于參數r的變化關系,見圖7.當存在黏滑運動時,我們定義Δ τ=0.圖7告訴我們,Δ τ從零變為非零值對應系統從完全顫振到不完全顫振的轉折點.隨著r的增大,Δ τ也不斷的增大,說明系統在逐漸的遠離顫振運動.此外,我們發現,Δ τ并不是隨著r連續變化的,存在一系列的不連續點,隨著r的越大,這種間斷的不連續性也呈現出逐步放大的自相似結構,實際上這與圖3中的自相似不連續窗口是一致的.這也表明,在不完全顫振中,系統顫振越劇烈,對分岔參數更加敏感.

4.結論

在一定條件下,碰撞系統中通常存在由于完全顫振導致的彗尾碰撞問題,不僅占用大量的計算資源,而且使得一般的數值積分方法失效.為此,本文借助一種彗尾映射,在指定精度下給出了一種有效的近似.同時,以一個典型的Duffing單邊碰撞系統為例,我們對該系統中的顫振進行了分析.研究表明,系統存在兩種常見的包含顫振的分岔:一種為完全顫振到不完全顫振的分岔,這種分岔是以黏滑過程的突然產生或消失作為標準;另一種為不完全顫振中的周期運動到擬周期運動的分岔,這種分岔是由于不完全顫振的末端碰撞軌不斷的發生擦邊引起的,形成了一種自相似的逐漸放大的分岔結構.同時,通過考察最小碰撞時間間隔,我們發現,系統顫振越劇烈,對分岔參數越敏感.可見,顫振分岔是非光滑系統中所特有的分岔,具有許多光滑系統中分岔所沒有的特性.本文的研究適用于一般的碰撞系統,包括線性碰撞系統,弱或強非線性碰撞系統的顫振研究,為更進一步的理論分析提供有效的指導.

[1]Niu YJ,Xu W,Rong H W,Wang L,Feng J Q 2008Acta Phys. Sin.57 7535(in Chinese)[牛玉俊、徐 偉、戎海武、王 亮、馮進鈐2008物理學報57 7535]

[2]Feng J Q,Xu W,Wang R 2006Acta Phys.Sin.55 5733(in Chinese)[馮進鈐、徐 偉、王 蕊2006物理學報55 5733]

[3]Li GJ,Xu W,WangL,FengJ Q 2008Acta Phys.Sin.57 2107(in Chinese)[李高杰、徐 偉、王 亮、馮進鈐2008物理學報57 2107]

[4]Li M,Ma X K,Dai D,Zhang H 2005Acta Phys.Sin.54 1084(in Chinese)[李 明、馬西奎、戴 棟、張 浩2005物理學報54 1084]

[5]Shaw S W,Holmes PJ 1983Phys.Rev.Lett.51 623

[6]Brogliato B 1999Nonsmooth Mechanics:Models,Dynamics and Control(London:Springer-Verlag)

[7]Kunze M 2000Non-Smooth Dynamical Systems(Berlin:Springer)

[8]Leine R I,Nijmeijer H 2004Dynamics and Bifurcations in Non-Smooth Mechanical Systems(Berlin:Springer)

[9]Jin D P,Hu H Y2005Vibration and Control of collision(Beijing: Science Press)(in Chinese)[金棟平、胡海巖2005碰撞振動與控制(北京:科學出版社)]

[10]di Bernardo M,Budd C,Champneys A R,K owalczyk P 2007 Piecewise-smoothDynamicalSystems:TheoryandApplications (London:Springer-Verlag)

[11]di Bernardo M,Budd C,Champneys A R,K owalczyk P,Nordmark A B,Olivar G,Piiroinen P T 2008SIAM Review50 629

[12]Budd C,Dux F 1992The dynamics of impact oscillators(Bristol:Ph. D.thesis,University of Bristol)

[13]Alzate R 2008Analysis and application of bifurcations in systems with impacts and chattering(Italy:Ph.D.thesis,University of Naples-FedericoⅡNaples)

PACC:0547

Chattering bifurcations in a Duffing unilateral vibro-impact system＊

Feng Jin-Qian1)2)?Xu Wei1)Niu Yu-Jun1)
1)(Department of Applied Mathematics,Northwestern Polytechnical University,Xi'an 710072,China)
2)(College of Science of Xi'an Polytechnic University,Xi'an710048,China)

27 March 2009;revised manuscript

26 April 2009)

A tail-mapping is introduced to deal with the tail impacts caused by the chattering,and based on which,an effective numerical method is suggested to simulate the chattering in the vibro-impact system.As an illustrative example,a Duffing unilateral vibro-impact system is investigated.The results show the evidence of complete and incomplete chattering.We also investigate two novel chattering bifurcations,including transitions from complete to incomplete chattering and incomplete chattering period to aperiodic motion.

Duffing vibro-impact system,tail mapping,chattering bifurcation

＊國家自然科學基金(批準號:10872165)資助的課題.

?E-mail:fengjinqian@mail.nwpu.edu.cn

＊Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.10872165).

?E-mail:fengjinqian@mail.nwpu.edu.cn