二維聲子晶體平板成像中的通道特征＊

李曉春 高俊麗 劉紹娥 周科朝 黃伯云

1)(中南大學物理科學與技術學院,長沙 410083)

2)(中南大學粉末冶金研究院,長沙 410083)

二維聲子晶體平板成像中的通道特征＊

李曉春1)2)?高俊麗1)劉紹娥1)周科朝2)黃伯云2)

1)(中南大學物理科學與技術學院,長沙 410083)

2)(中南大學粉末冶金研究院,長沙 410083)

(2009年4月18日收到;2009年5月10日收到修改稿)

利用多重散射理論分析了鋼/水聲子晶體平板成像過程.發(fā)現(xiàn)平板成像中的散射波會聚具有散射通道特征.對于確定的聲源位置,不同入射角信號對應不同的通道;耦合進入通道的信號強度也不相同.小角度入射波能較強地耦合進入通道;大角度入射波在入射表面受到強烈散射,較弱地耦合進入通道.非理想成像情況下,不同入射角信號通過平板成像的位置不同,因而形成像差.聲源位置改變,對應的通道亦隨之改變.散射通道與聲子晶體的各向異性能帶結構和多重散射密切相關.

聲子晶體,平板成像,負折射,散射通道

PACC:4320,4335

1.引言

1968年,Veselago提出了左手物質的概念[1].30多年過去,進展甚微.直到2000年,Smith等從實驗上實現(xiàn)負折射[2,3],才又引起人們的關注,而Pendry關于負折射平板可以突破衍射極限完美成像的建議[4],更是激起了研究者對負折射研究的空前興趣.但是,由于自然界沒有天然的左手物質存在,利用光子晶體實現(xiàn)光波負折射成像就成了現(xiàn)實的選擇[5,6],并進一步地將研究推廣到了聲子晶體[7—11].傳統(tǒng)的球面透鏡,加工難度大、精度差、存在衍射極限等缺點,而平板透鏡則加工方便,可人工設計,且能完美成像.因此,對周期結構平板負折射成像的研究具有科學和應用上的重要意義.

現(xiàn)已報道的聲子晶體平板成像方法中,大致可歸納為兩大類:一類是可用等效負折射率描述的成像,如雙負聲學材料、圓形等頻線帶結構等[7,8];另一類避免使用折射率概念,通過特殊的帶結構實現(xiàn)負折射特征成像,如波導或自準直效應[9]、canalization次波長近場成像[10]等.幾何光學中,折射率是用來描述各向同性均勻介質的光學性質的,無須考慮介質的微觀結構.但周期結構的聲子晶體是各向異性的,其結構常數(shù)與入射波波長處在同一數(shù)量級,很難看作是均勻介質,這樣就存在各向異性如何與負折射率等效的問題.而且對于等效負折射率成像,n= -1是理想的成像情況,更多的現(xiàn)實情況是折射率為負,但n≠-1的非理想成像情況.非理想成像具有怎樣的特征,目前也不清楚.自準直成像和等效負折射率成像是否存在統(tǒng)一的解釋也是有待探討的問題.但是無論何種成像方法,散射波的會聚是它們的共同特征,聲子晶體平板呈各向異性也是客觀存在的事實.本文以二維鋼/水聲子晶體平板為模型,借用幾何光學中光路成像方法,從散射波會聚的角度,分析平板成像中散射波的會聚特征,并由此探討周期結構平板負折射特征成像的機制和物理圖像.

2.基本模型與理論

二維鋼/水聲子晶體模型中,鋼圓柱按正三角形方式排列在基體水中,構成厚度為9層的平板.材料參數(shù),水:ρ=1.0×103kg·m-3,cl=1.49×103m· s-1,ct=0 m·s-1;鋼柱:ρ=7.67×103kg·m-3,cl= 6.01×103m·s-1,ct=3.23×103m·s-1.其中ρ,cl,ct分別為材料密度,縱波波速,橫波波速.首先用多重散射方法[11],計算無限周期情況下,鋼/水聲子晶體的帶結構,結果如圖1(a)所示.本文中,長度單位為正三角形邊長,頻率為歸一化頻率ω/2πcl水.在填充率為F=0.403的情況下,Γ—M,Γ—K,M—K三個方向對不同頻率的信號,導通情況是不一樣的.在頻率0.65—0.98之間,Γ—M,Γ—K方向為導帶, M—K方向為禁帶.這種同一頻率信號,在聲子晶體內不同方向的傳播特性,構成了負折射特征成像的基礎.有限層平板結構雖然與無限周期結構有些差異,但對9層平板透射譜的分析,發(fā)現(xiàn)兩者帶隙差異不大.圖1(b)給出了點源通過9層平板后的成像圖,所成之像明顯具有負折射特征.

在圖1(b)的成像過程中,點源發(fā)出的單一頻率聲波,首先在平板的左端面發(fā)生折射,形成平板內部的會聚像‘斑’,然后在平板右端面折射,最后在平板外部會聚成像.過程中,聲波的折射、會聚特征非常明顯,等效折射率約為-0.54,像在空間上呈‘線’分布.圖中物距為聲源到平板前表面之間的距離.

圖1 鋼/水聲子晶體帶結構與負折射成像(填充率F=0.403) (a)無限周期平板能帶結構(cl為水的波速);(b)9層平板負折射成像(物距u=7.794,頻率f=0.65)

圖2 負折射成像原理示意圖 (a)n=-1,理想成像;(b)n≠-1,非理想成像

借用幾何光學中‘光路’的概念,可對平板成像加以解釋.圖2給出了負折射成像的示意圖.

圖2(a)中,平板的厚度為d,點源S距平板左端面距離為物距u,平板右端面到外部像的距離為像距v,板的等效折射率為n.以α角入射的聲波,將會形成內部像點S0和外部像點S1.根據(jù)折射定律,得

n=-1時,(1),(2)式變?yōu)镾S0=2u,SS1=2d,像的位置與入射角無關,點物成點像,沒有像差,正如圖2(a)所示,是理想成像的情況.對于具有負等效折射率,但n≠-1的系統(tǒng),按照折射定律,入射角大的聲波,折射角亦大.因此,不同入射角的聲波,會聚的位置不一樣.在平板左端面折射時,大角入射的聲波會聚趨左,小角入射的聲波會聚趨右,具體位置由(1),(2)式確定,內部形成會聚的‘線’斑.聲波從平板內部經(jīng)右端面出射時,在平板右端面會出現(xiàn)類似的折射情況,最終,在平板右邊形成‘線’特征的像,正如圖2(b),是非理想成像的情況.非理想平板成像中,入射到平板的聲波角度不同而形成的像差,類似于幾何光學中球面透鏡的球差,可稱之為平面像差.圖1(b)中,n≈-0.54,像明顯具有‘線’的特征,正是圖2(b)平面像差的反映.

當入射角度α較小時,利用近軸近似,表達式(1),(2)簡化為

即小角入射時,成像位置與角度無關.幾何光學中,可通過透鏡前加光闌,消除球面像差,實現(xiàn)近軸光線成像.同理,在平板入射端加入‘聲’闌,只讓小角度聲波入射,也可以改善聲學成像的質量.

負折射成像的特點是平板內部存在像點.因此,平板內部像點位置應滿足約束條件:u

即當u取值在0—d/|n|范圍內,物點在平板內部有像點.對于理想成像,|n|=1,u取值在0—d范圍;對于非理想成像,物距可以大于板的厚度d.

物像位置的幾何關系滿足:SS1=u+d+v,將(4)代入該幾何關系,得

此即為近軸情況下,平板成像的物像位置與平板厚度之間的關系.對于理想成像,|n|=1,u+v=d,考慮物像之間夾有平板的厚度d,因此物像之間的距離是平板厚度的兩倍.對于非理想成像,u+v> d,即物像之間的距離超過平板厚度的兩倍.因此,圖2中的成像可以離開平板表面,實現(xiàn)較遠距離的聲學成像.

幾何光學中,借助‘光路’,可以畫出其成像位置.與此類似,聲子晶體平板成像中,借助圖2中的‘波路’圖,也可以宏觀(等效)地畫出其成像位置.但是,圖2中的波路,并不像幾何光學中的光線那樣,高度‘集中’和‘定向’,而是明顯地帶有散射特征.本文將這種帶有散射特征的方向性傳播通路稱之為散射通道.形成散射通道的‘微觀’機理,與平板的各向異性能帶結構及多重散射密切相關,本質上來源于周期結構具有的各向異性傳播特征,而傳播方向的形成是多重散射的結果.至于聲波通過散射通道是否會形成負折射特征的會聚成像,還與聲波的入射方向、入射的平板表面方向有關.為進一步確認通道的存在和分析通道的散射特征,有必要對不同入射角信號的會聚過程進行分析.

3.不同入射角信號的會聚特征

為考察單個入射信號的會聚特征,在平板的左端有選擇地加入聲吸收層(即聲闌).吸收層緊貼平板入射表面,僅讓選擇的入射角信號通過.圖3給出了僅開放x軸上下第二入口時,點源通過平板的成像情況.入口序號見圖2(b)中的標記.圖3中,只有物距不同,其他參數(shù)同圖1.

圖3 第二入口獨立成像(物距u見圖中標示.填充率F=0.403,信號頻率f=0.65)

圖3表明,在平板上的入射位置較低、入射角較小的情況下,聲源在滿足(5)式的物距范圍內,平板內部都有會聚點,平板后方也都能成像.信號傳播過程中的散射通道特征也很明顯,類似于幾何光學成像中的‘光線’.圖3(c),(d)中,由于物距較近,入射角相對較大,入射波在平板入射面上受到較大的散射,能量通過散射耦合進入通道的面更大一些,但傳播的散射通道特征依然存在.圖3中,自左至右,物距u從9.791,7.791到4.791,2.791依次減小,像也依次右移,物、像位置關系基本滿足(6)式.

圖4給出了獨立開放第三、四入口時的成像圖,其他情況同圖3.自左至右,各獨立入口的成像規(guī)律基本同圖3,散射性通道特征也很明顯.散射通道的方向大體與能帶允許的傳播方向一致.縱向比較圖3,4中,同一物距、不同入口的獨立成像情況,發(fā)現(xiàn):在入射角不太大的情況下,如圖4中的(a1),(b1), (c1),(d1),(a2),(b2),(c2)圖,不同的入射角信號,平板內部都有會聚像點,位置關系也基本符合(6)式,都可近似看作近軸成像.

但圖4(d2)中,信號從平板高位的第四入口入射時,物距又很小,入射角太大(接近90°),內部像點位置幾乎接近于平板左端面,超出了圖2(b)所描述的范圍.這時,入射波在入射口受到強烈的散射,內部未及匯聚,就尋找能帶允許的傳播方向,在平板內部較大范圍內出現(xiàn)散射性通道傳播,并通過平板右端面折射成像,散射性通道特征依然存在.

圖4 第三、四入口獨立成像(物距u見圖中標示.上圖:第三入口;下圖;第四入口)

若物距過大,超出(5)式所描述的范圍,成像也會超出圖2(b)所描述的范圍.本文中的系統(tǒng),n≈-0.54,因此,按照(5)式,u取值最大在12.8.物距超過此范圍時,散射波在平板內部就不能會聚了.圖5 (a)中,物距u=12.794,接近最大值,平板內部幾近無像,外部成像也在非常靠近平板右端面的位置,但成像的散射通道特征依舊.可以設想,隨著點源物距的增大,球面波傳播距離增大,聲波達到平板位置時,能量已極度分散,而且波陣面趨向于平面,通過平板不一定能會聚成像,而是在能帶允許的方向上,形成自準直式的通過(見圖5(b)).

圖5 遠物距成像 (a)物距u在d/|n|附近成像;(b)物距u大于d/|n|時成像;(c)平行波垂直入射

如果點源物距為無窮遠,即平行波沿x方向入射平板,聲波自準直式的通過更明顯.圖5(c)給出了相同頻率下,高斯波沿x方向,垂直入射平板的成像過程.圖中表明,垂直入射的平行波,宏觀看來,也是垂直通過平板的,即自準直式的通過.但從板內的聲強分布來看,仍然體現(xiàn)了散射和散射通道的特征.而且,由于部分能量被散射到其他方向,出板后的聲波,在原來的傳播方向上,強度有所減弱.

4.結 論

對于本文的聲子晶體平板模型,負折射特征的成像與平板的各向異性能帶、多重散射以及入射的平板表面方向等密切相關.聲子晶體平板的周期性結構導致方向性導帶的出現(xiàn).不同的方向性通帶,導致了入射波傳播的各向異性.這種各向異性在聲波通過時,表現(xiàn)為平板中出現(xiàn)散射性通道.如果入射波的方向與能帶允許的傳播方向一致時,就會形成波導或自準直式的成像.如果入射波的方向與可傳播方向不一致,就會通過多重散射在可傳播方向上形成散射性通道.點源信號入射到表面方向適當?shù)钠桨搴?聲波可通過散射性通道,形成負折射特征的成像.這種成像,在一定的物距和入射角范圍內,可借用幾何光學中的折射定律,用等效負折射率來描述.因此,從成像的‘宏觀’結果看,各向異性的聲子晶體平板可等效為具有一定負折射率大小的均勻聲學平板.這種等效,也反映了聲波、光波在波動上的共性.因此,對聲波成像特征的分析,也可以加深對光學成像、微波成像的微觀的、本質的理解.自準直成像和負折射成像應該有共同的散射機理.當然,若點源信號入射結構相同、表面方向不同的其他平板,聲波通過散射性通道,也可能形成發(fā)散傳播.以上結論對其他結構是否也適用,有待進一步的探討.

[1]Veselago V G1968Sov.Phys.Usp.10 509

[2]Smith D R,Padilla WJ,Vier D C,Nemat-Nasser S C,Schultz S 2000Phys.Rev.Lett.84 4184

[3]Shelby R A,Smith D R,Schultz S 2001Science292 77

[4]PendryJ B 2000Phys.Rev.Lett.85 3966

[5]Cubukcu E,Aydin K,Ozbay E,Foteinopoulou S,Soukoulis C M 2003Nature423 604

[6]Moussa R,Foteinopoulou S,Zhang L,Tuttle G,Guven K,Ozbay E, Soukoulis C M 2005Phys.Rev.B 71 085106

[7]Ke M Z,Liu Z Y,Cheng Z G,Li J,Peng P,Shi J 2007Solid State Commu.142 177

[8]Yang S X,Page J H,Liu Z Y2004Phys.Rev.Lett.93 024301 [9]Chen L S,Kuo C H,Ye Z 2004Appl.Phys.Lett.85 1072

[10]He ZJ,Cai F Y,Ding YQ,Liu Z Y2008Appl.Phys.Lett.93 233503

[11]Qiu C Y,Liu Z Y,Mei J,Ke M Z2005Solid State Commun.134 765

PACC:4320,4335

Scattering channel in focus imaging of two-dimensional phononic crystal panel＊

Li Xiao-Chun1)2)?Gao Jun-Li1)Liu Shao-E1)Zhou Ke-Chao2)Huang Bo-Yun2)

1)(School of Physics and Technology,Central South University,Changsha 410083,China)
2)(Powder Metallurgy Research Institute,Central South University,Changsha 410083,China)

18 April 2009;revised manuscript

10 May 2009)

By using multiple-scattering theory(MST),the imaging process was investigated in steel/water phononic crystal panel with negative refraction.It was found there are some channels for the scattering waves propagating in the panel.For a given source location,the scattering channel changes with incident angle and so does the strength of signal coupled to the channel.While small-angle incident wave can be coupled into the channel perfectly,large-angle incident wave which is strongly scattered in the incident surface can be coupled into the channel only weakly.In the non-ideal imaging case,imaging position changes with the angle of incidence signal,it further causes imaging aberration.These scattering channels are closely related to the anisotropic band structure of the crystal panel and multiple scattering of the rods,and vary with position change of the sound source.

phononic crystals,panel focus,negative refraction,scattering channels

＊中南大學博士后科學基金資助的課題.

?E-mail:lxc4805@mail.csu.edu.cn

＊Project supported by the Central South University Science Foundation for Post-doctoral Scientists of China.

?E-mail:lxc4805@mail.csu.edu.cn