L’ Hospital法則的應用及其常見問題

陳 敏

（黃淮學院 數學科學系，河南 駐馬店 463000）

L’ Hospital法則的應用及其常見問題

陳 敏

（黃淮學院 數學科學系，河南 駐馬店 463000）

介紹了L’ Hospital法則在未定式極限求解方面的應用，討論了L’ Hospital法則的應用中易出現的問題并給出了相應的解決方法．在用L’ Hospital法則求極限時，必須對L’ Hospital法則成立的條件進行驗證，否則可能得到錯誤的結果．

L’ Hospital法則；未定式；極限

L’ Hospital法則是求解未定式極限的重要方法，它可以求解的未定式極限的主要類型有0/0，∞/∞，0·∞，∞?∞，1∞，∞0和00型．由于表示這些極限的函數或變量形式多樣，變化無窮，在運用L’ Hospital法則時，必須注意是否符合法則成立的條件，否則可能導致運算的繁瑣甚至得到錯誤結果．

1 L’ Hospital法則

2 0/0型和∞/∞型極限的求解

例1 求下列極限[1―2]：

解：1)該極限屬于0/0型未定式，可直接用L’ Hospital法則求解．

2)該極限屬于∞/∞型未定式，也可以直接用L’ Hospital法則求解．

由例1可知，對于符合L’ Hospital法則要求的0/0型及∞/∞型未定式，可結合極限的運算法則及等價無窮小代換等方法，使運算過程得到簡化．

3 0·∞型和∞?∞型極限的求解

對于0·∞型及∞?∞型未定式極限，一般首先作代數恒等變形，將其化為 0/0型或∞/∞型未定式極限，然后應用 L’Hospital法則求解．

例2 求下列極限[3]：

解：1)該極限屬于0·∞型，可以化為0/0或∞/∞型．

2)該極限是∞?∞型未定式，對極限表達式的兩分式通分后可化為0/0型未定式．

4 1∞型、∞0型和00型極限的求解

對于1∞型、∞0型和00型未定式極限，一般可先用對數的性質、代數恒等變形等方法把極限表達式的冪指數函數化為lim uv=exp(limv lnu)的初等函數形式，再對limv lnu恒等變形后應用L’ Hospital法則求解．

例3 求下列極限[2―3]：

由例3可知，在應用L’ Hospital法則求冪指函數的極限時，用代數替換等方法可簡化計算．

5 L’ Hospital法則的應用中應注意的問題

應用L’ Hospital法則求極限時，應注意以下問題：

(1)只有未定式極限，才能用L’ Hospital法則求解，否則會得到錯誤的結果．

(2)由于L’ Hospital法則的條件是充分而非必要的，因此limu′/v′不存在并不說明limu/v也不存在，可運用其他方法求解．

(3)若分子、分母多次求導后極限表達式出現循環，并不代表極限不存在，可通過恒等變形等方法求解．

(4)在應用L’ Hospital法則時，可綜合應用恒等變形、變量代換、因式分解、等價無窮小替換等方法，從而簡化求解過程．

(5)對于一些多元函數的極限，可以通過變量代換將其變換為一元函數的極限函數，然后用L’ Hospital法則求解．

分析：原極限是存在的，但不適合用L’ Hospital法則求解．此問題可用無窮小性質求解．

這種解法較為繁瑣，稍不注意就會出現錯誤．

例7的另一種解法如下：

綜上所述，在用 L’ Hospital法則求極限時，必須對 L’Hospital法則成立的條件進行驗證，否則可能得到錯誤的結果．另外，對所求極限表達式的形式進行靈活變換，根據極限表達式的特點將L’ Hospital法則與其他方法相結合，可以簡化極限的求解．

[1] 周誓達．微積分（經濟類與管理類）[M]．北京：中國人民大學出版社，2005．

[2] 費定暉．吉米多維奇數學分析習題集題解[M]．濟南：山東科學技術出版社，2003．

[3] 傅英定，謝云蓀．微積分：上冊[M]．北京：高等教育出版社，2003.

〔責任編輯 張繼金〕

O171

A

1006-5261(2010)05-0028-02

2009-11-18

陳敏（1982―），女，河南正陽人，助教．