計量經(jīng)濟學模型的貝葉斯估計
——以經(jīng)典單方程為例

趙 健

（1. 中南財經(jīng)政法大學 統(tǒng)計與數(shù)學學院，湖北 武漢 430074；2. 黃淮學院 經(jīng)濟管理系，河南 駐馬店 463000）

計量經(jīng)濟學模型的貝葉斯估計
——以經(jīng)典單方程為例

趙 健1,2

（1. 中南財經(jīng)政法大學 統(tǒng)計與數(shù)學學院，湖北 武漢 430074；2. 黃淮學院 經(jīng)濟管理系，河南 駐馬店 463000）

文章以正態(tài)線性單方程為例，介紹了貝葉斯統(tǒng)計方法在計量經(jīng)濟學模型中的應用，并分析了該問題中貝葉斯估計與普通最小二乘估計的區(qū)別和聯(lián)系．

貝葉斯估計；貝葉斯定理；損失函數(shù)

0 引言

貝葉斯統(tǒng)計是由T. R. Bayes于19世紀創(chuàng)立的數(shù)理統(tǒng)計的一個重要分支．20世紀50年代，以H. Robins為代表的學者將經(jīng)驗貝葉斯方法用于計量經(jīng)濟學模型并與經(jīng)典方法相結合，此后這種方法得到了廣泛應用．貝葉斯估計對經(jīng)典計量經(jīng)濟學模型估計方法的擴展在于它不僅利用樣本信息，同時也利用非樣本信息．本文以正態(tài)線性單方程為例，分析貝葉斯估計方法在計量經(jīng)濟學模型中的應用．

貝葉斯估計是與經(jīng)典估計方法相對的一種估計方法，它的基本思路是：要估計的模型參數(shù)是服從一定分布的隨機變量，先根據(jù)經(jīng)驗給出待估參數(shù)的先驗分布信息——先驗信息，然后將這些先驗信息與樣本信息相結合，應用貝葉斯定理求出待估參數(shù)的后驗分布，再應用損失函數(shù)得出后驗分布的一些特征值并將其作為待估參數(shù)的估計量．貝葉斯估計與傳統(tǒng)估計方法的不同之處在于：

1)關于參數(shù)的觀點不同．經(jīng)典估計方法認為待估參數(shù)θ∈Θ具有確定性；貝葉斯估計方法認為待估參數(shù)θ具有隨機性，即在具體進行觀測（得到樣本x）之前人們根據(jù)經(jīng)驗對參數(shù)θ積累了一些知識，雖然θ的具體值未知，但它服從Θ上的概率分布f()θ（ f()θ稱為θ的先驗分布）．

2)利用的信息不同．經(jīng)典方法只利用樣本信息；貝葉斯方法要求事先提供一個參數(shù)的先驗信息（一般根據(jù)專家經(jīng)驗提供）即非樣本信息，在參數(shù)估計過程中，這些非樣本信息與樣本信息一起被利用．

3)對隨機誤差項的要求不同．經(jīng)典方法中，除了最大似然法，在參數(shù)估計過程中并不要求知道隨機誤差項的具體分布形式，但在假設檢驗與區(qū)間估計時是需要的；貝葉斯方法需要知道隨機誤差項的具體分布形式．

4)選擇參數(shù)估計量的準則不同．經(jīng)典方法一般以最小二乘和最大似然為準則求參數(shù)估計量；貝葉斯方法需要構造一個損失函數(shù)（一般采用二次損失函數(shù)），并以損失函數(shù)最小化為準則求參數(shù)估計量．

1 貝葉斯統(tǒng)計方法

1.1 貝葉斯統(tǒng)計方法的理論基礎

定理1 設 A1，A2，…，An，… 是一完備事件組，則對P(B)＞ 0的任一事件B，有

(1)式稱為貝葉斯公式，其中： P(Ai)和分別稱為原因的先驗概率和后驗概率，i=1，2，… .P(Ai)是在不知道事件B是否發(fā)生情況下諸事件發(fā)生的概率，在獲得新的信息后（事件B發(fā)生后）人們對諸事件發(fā)生的概率就有了新的估計．

定理2 設θ為待估參數(shù)，θ的先驗分布為g(θ)，X為樣本觀測信息，X的密度函數(shù)記作為θ的后驗分布密度函數(shù)，則有即后驗信息正比于樣本信息與先驗信息的乘積．

例 設 X ～ N(θ，σ2)，σ2已知，θ ～ N(μ，τ2)（先驗分布），μ和 τ2已知，求θ的后驗分布、數(shù)學期望和方差．

解：由題意知

1.2 損失函數(shù)

常用的損失函數(shù)有線性函數(shù)和二次函數(shù)，不同的損失函數(shù)得到的參數(shù)估計值是不同的．

定理3 設待估函數(shù)h(θ)的取值于R1，損失函數(shù)為L(θ，d)=λ(θ)[h (θ)?d ]2，0＜λ(θ)＜∞，θ∈Θ，則當λ(θ)=1時h(θ)的貝葉斯估計為

2 單方程計量經(jīng)濟學模型貝葉斯估計的過程

單方程計量經(jīng)濟學模型貝葉斯估計的過程如下：

1)確定模型的形式，指出待估參數(shù)β．

2)給出待估參數(shù)β的先驗分布．β是一個多維向量，需要給出多參數(shù)的聯(lián)合先驗信息，若無先驗信息，可取β為均勻分布．實際上常用的先驗分布為自然共軛分布，即β的密度函數(shù)（先驗信息）、X的密度函數(shù)（樣本信息）以及兩者結合后產(chǎn)生的函數(shù)（后驗分布）服從同一分布規(guī)律．

3)利用樣本信息修正先驗分布，并利用貝葉斯定理導出β的后驗密度函數(shù)．

4)選擇二次損失函數(shù)，并利用β的后驗密度函數(shù)和定理3進一步推斷出β的點估計．

3 正態(tài)線性單方程計量經(jīng)濟學模型的貝葉斯估計

正態(tài)線性單方程計量經(jīng)濟學模型為

3.1 有先驗信息的貝葉斯估計

這種情況下，

β的先驗分布為自然共軛分布，即取正態(tài)密度函數(shù)

由貝葉斯定理，可得到β的后驗密度函數(shù)為

（b是β的OLS估計值），舍去(9)式右邊第二項后將其代入(8)式，則有

3.2 無先驗信息的貝葉斯估計

在待估參數(shù)一無所知的情況下，求貝葉斯估計時，一般選取待估參數(shù)的先驗分布為(? ∞，+∞)上的均勻分布，且互不相關，于是

這種情況下，β的后驗密度函數(shù)仍然呈正態(tài)分布，均值為 b，協(xié)方差矩陣為 σ2(X ′X)?1，即

因此，β的貝葉斯估計為b，b是β的OLS估計值．可見，無信息先驗得到的β的貝葉斯估計與樣本信息的OLS估計相同，但是兩者的含義不同．貝葉斯結論中的β是隨機的，而均值b在樣本確定后是固定的；樣本信息的結論中，β是期望值，而b是隨機變量，即有 b ～N (β，σ2(X ′X)?1)．

與(15)式相同．

[1] 陳希孺．數(shù)理統(tǒng)計引論[M]．北京：科學出版社，1997．

[2] 李子奈．高等計量經(jīng)濟學[M]．北京：清華大學出版社，2000．

[3] 李子奈．計量經(jīng)濟學[M]．2版．北京：高等教育出版社，2000．

[4] [美]James O．Berger,Statistical decision theory and Bayesian analysis[M]．Springer-Verlag,2ndEdi，1985．

[5] [美]威廉H.格林．經(jīng)濟計量分析[M]．北京：中國社會科學出版社，2000．

〔責任編輯 張繼金〕

Bayesian Estimation of Classical Econometric Linear Model

ZHAO Jian1,2

(1. Zhongnan University of Economic and Law,Wuhan Hubei 430074,China;
2. Huanghuai University,Zhumadian Henan 463000,China)

The application of Bayesian estimation methods are introduced by using normal linear single-equation econometric model as an example. The distinction between Bayesian estimation and ordinary least squares estimation (OLS)of this econometric model are analyzed.

Bayesian estimation; Bayesian theory; loss function

F224.0

A

1006-5261(2010)05-0017-03

2009-12-11

趙健（1977―），女，河南新野人，講師，博士研究生．