一類非線性初值問題的重正規(guī)化解＊

項麗麗,唐榮榮

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江湖州313000)

一類非線性初值問題的重正規(guī)化解＊

項麗麗,唐榮榮

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江湖州313000)

利用重正規(guī)化方法,討論了一類非線性初值問題.先用直接展開法求得方程:y″+py-εky3=f(x,ε),y (0)=A,y′(0)=B的帶有長期項的解的漸近展開式,再用重正規(guī)化方法將所求解一致化,并將結(jié)果應(yīng)用于文獻[9]所討論的問題,得到了文獻[9]中問題的其它形式的解.它們具有兩種不同的性態(tài),但在初值為x(0)=0,x′(0) =0時,它們又有共同的周期,從而豐富了文獻[9]中的相應(yīng)結(jié)論.

非線性;重正規(guī)化;漸近展開式;初值

MSC 2000:34E15

0 引言

非線性Duffing方程是一類振動方程,它在物理和工程等領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用.線性問題與非線性問題有著本質(zhì)的區(qū)別,處理非線性問題的主要方法有近似解分析法、數(shù)值計算方法等.近年來,對于非線性振動的研究和應(yīng)用已經(jīng)取得了不少顯著的成果.Nayfeh A H[1]、唐榮榮[2,3]、郝黎明等[4],曾利用攝動展開法,多尺度方法、匹配漸近展開法等解決了一些類型的非線性問題.

現(xiàn)行研究非線性振動問題的近似解法有如下幾種[5～8]:PL K法:包括基本攝動法、奇異攝動法(如頻率展開法、Poincare′、平均法、重正規(guī)化等);KBM法:這一類方法在非線性振動研究中又稱為漸近法;多尺度法:多尺度法的基本思想是將表示響應(yīng)的展開式考慮成為多變量(或多個尺度)的函數(shù).此外還有其它解法,如直接變分法、閃頻變分法,以及以積分微分方程為基礎(chǔ)的方法.

在文獻[9]中,石晶等通過引入Ans?tz方法[10],討論了非線性軟彈簧作用下作自由振動的方程x″+得到了方程的解

我們知道,Ans?tz方法在偏微分方程中應(yīng)用較多.石晶等是利用所討論方程的特殊性成功地得到了方程的解,考慮到0<ε?1時,石晶等得到的解是個大解,自然要問這個方程還有沒有其它形式的解.為探討這個方程,從數(shù)學(xué)上,我們首先研究比它更廣義的一類問題,然后用它的結(jié)果給出單自由度振動系統(tǒng)Duffing方程的其它形式的解.本文討論如下一類非線性的問題:

其中0<ε?1,p為任意常數(shù).函數(shù)f(x,ε)滿足如下條件:

[H1]f(x,ε)對x和ε均具有任意階連續(xù)導(dǎo)數(shù);

1 解的漸近展開式

1.1 解的直接展開式

設(shè)解的形式表達式為:

將(3)式代入(1)式和(2)式,得:

比較ε的同次冪系數(shù),有:

方程(5)的通解可以寫為:

將(9)式代入(7)式,并將非齊次項用Fourier級數(shù)表示,得:

對應(yīng)于(7)式的齊次方程的通解可表示為:

式中a1和b1是任意常數(shù),由于方程(10)是線性的,我們可以利用迭加原理將它的特解表示為分別對應(yīng)于三個非齊次項的三個特解之和,亦即可以通過求如下三個方程的特解,求得(10)的特解.

y″1+py1=的特解是:

y″1+py1=的特解是:

y″1+py1=的特解是:

由fi(x)=Aicosμix+Bisinμix可知,方程yi″+pyi=的特解一定可以確定.又因為μi≠所以方程的解必定不會產(chǎn)生長期項.所以(10)式的通解是:

由(9)式和(15)式,得出方程(1)如下形式的通解:

式中a0,b0,a1,b1,a2,b2是由初始條件(2)式確定的常數(shù),將(16)式代入(2)式得:

比較(17)、(18)式中的ε的同次冪系數(shù),可得:

ε0階

ε階

由(19)式和(20)式得:

類似地,可由(21)式和(22)式得出:

這樣,一旦從(23)式和(24)式得a0和b0,就可以從(25)式和(26)式中得a1與a2和b1與b2的關(guān)系.

注意到

式中a3cos b3=a1cos b1+a2cos b2,a3sin b3=a1sin b1+a2sin b2.考慮到

從(28)式和(29)式得出:

利用(27)、(30)式和(16)式,得:

1.2 解的重正規(guī)化

令t=τ+ω1τε+…=(1+ω1ε+…)τ=ωτ,那么(31)式變?yōu)?

由Taylo r級數(shù)展開,可得:

于是(32)式即為:

考慮到

那么

將(34)式代入(33)式,消去長期項,得原問題(1)-(2)的解:

2 結(jié)果應(yīng)用

為了探究文獻[9]中的方程是否還存在其它形式的解,下面討論方程(1)的特殊形式.

例

以上(35)～(36)式即為(1)式中的p>0,k=1,f(x,ε)=0的情形.

由(31)式得出方程的解為:

式中a、b是由初始條件(36)式確定的常數(shù).

令

將(38)式代入(37)式,重正規(guī)(37)式,得到:

利用初始條件,有:

得出α2=x(0)2.因此得到:

當(dāng)初始條件x(0)=0,x′(0)=0時,可確定所得解的周期為:

而文獻[9]中的方程所求解的周期為:

3 結(jié)論

(1)本文用重正規(guī)化方法討論了方程:y″+py-εky3=f(x,ε),y(0)=A,y′(0)=B,得出了它的漸近解的表達式:

(2)當(dāng)方程y″+py-εky3=f(x,ε)中p>0,k=1,f(x,ε)=0時,就是文獻[9]中所討論的方程,我們得到的解與文獻[9]所得到的解是兩個形式完全不同的解,它們的性態(tài)差異很大,當(dāng)ε是小量的時候,文獻[9]中的解是大解,而我們所求得的是更為一般的漸近解.本文的結(jié)果說明了文獻[9]中所討論的這種類型的方程除存在由文獻[9]得到的大解以外,還存在與大解具有完全不同性態(tài)的漸近解.

(3)在0<ε?1時,文[9]求得的是大解和用重正規(guī)法求得的漸近解有一個共同的特征,即在初始條件x(0)=0,x′(0)=0下,兩種類型的解具有相同的周期.

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Abstract:This paper,using the renormalization method,discusses a classof nonlinear initial value p roblem s.First,we obtain the asymp totic expansions of solution y″+py-εky3=f(x,ε),y(0)=A,y′(0)= B fo r the p roblem using the direct expansion method,and then use the reno rmalization method to confirm the solution for the p roblem,and finally app ly the resultsof this article for the p roblem that paper [9]has discussed,obtained the other fo rm s of solution fo r the p roblem of paper[9],they have two different behavio rs,but their solutions have common cycle w hen the initial value is x(0)=0,x′(0)=0,the correspondent results in paper[9]are popularized.

Key words:nonlinear;renormalization;asymp totic;initial value

MSC 2000:34E15

The Renormalization Solution for a Class of Nonlinear In itial Value Problem

XIANG Li-li,TANG Rong-rong
(Faculty of Science,Huzhou Teachers College,Huzhou 313000,China)

O175.14

A

1009-1734(2010)02-0039-05

2010-03-10

國家特色專業(yè)建設(shè)點“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)”資助;湖州師范學(xué)院高等教育研究項目(GJC10021,GJC10022).

項麗麗,湖州師范學(xué)院理學(xué)院2006級本科生,從事攝動理論研究.